教學(xué)第二章一元函數(shù)微分學(xué)課件

2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.3微分2.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二章一元函數(shù)微分學(xué)

第二章微分學(xué)發(fā)展史2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.3微分2.412.1.1引例2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.1.4函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1導(dǎo)數(shù)的概念

第二章2.1.1引例2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義2.1.3導(dǎo)數(shù)22.1.1引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度描述物體下落位置的函數(shù)為改變量之比的極限稱為導(dǎo)數(shù)，路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是速度。有增量則物體在內(nèi)的平均速度為即可得物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度令即給以增量,(

),2.1.1引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度描述物體下落位置的函32.1.2導(dǎo)數(shù)的定義即定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義即定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極4否則，就說在點(diǎn)處不可導(dǎo)或說

在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在.由導(dǎo)數(shù)定義可知，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)

對(duì)自變量的變化率.導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義：右可導(dǎo)與左可導(dǎo)：否則，就說在點(diǎn)處不可導(dǎo)或說在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在.由導(dǎo)數(shù)定義可知5若函數(shù)在開區(qū)間

內(nèi)處處可導(dǎo),則稱它在

上可導(dǎo).若函數(shù)與則稱在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).且都存在，對(duì)應(yīng)于內(nèi)的每一點(diǎn)都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，于是和其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值之間便構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱此函數(shù)為的記為導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo),則稱它在6求導(dǎo)的步驟2.算比值3.取極限1.求增量對(duì)于內(nèi)的每一點(diǎn)有而在處的導(dǎo)數(shù)即為在處的函數(shù)值，即求導(dǎo)的步驟2.算比值3.取極限1.求增量對(duì)于內(nèi)的每一點(diǎn)有而在7例1.求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)解：所以，例1.求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)解：所以，8例2.求函數(shù)為常數(shù))解：所以，的導(dǎo)數(shù).例2.求函數(shù)為常數(shù))解：所以，的導(dǎo)數(shù).9例3.處的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)解：例3.處的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)解：10導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)是曲線上過點(diǎn)x0處切線的斜率當(dāng)時(shí),亦即N無限靠近M時(shí),如果存在,那么割線就將趨向于曲線上過點(diǎn)的曲線的切線,即有時(shí),于是1.有切線可導(dǎo)切線存在為無窮大2.切線不存在不可導(dǎo)注意:曲線割線MN

的斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)是曲線當(dāng)時(shí),亦即N無限靠近M時(shí),如果存在,11例4

求過點(diǎn)(0，-1)且與相切的直線方程.解：由例1知設(shè)切點(diǎn)為則該直線的斜率為又知從而有解得從而知過點(diǎn)(0，-1)可作兩條直線與相切，其斜率分別為二直線方程分別為例4求過點(diǎn)(0，-1)且與相切的直線方程.解：由例1122.1.4函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)不一定可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).2.1.4函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系注意:函數(shù)在點(diǎn)x132.2.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

2.2.3

復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則2.2.4對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

第二章2.2.5反函數(shù)求導(dǎo)法

2.2.6高階導(dǎo)數(shù)

2.2.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則142.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

2.2.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

二、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0三、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.2.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、冪函152.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

法則的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),且下面對(duì)（3）加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則法則的和、差、積、商(除分16(3)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁17推論1:(C為常數(shù))推論2:例5.

已知解：推論1:(C為常數(shù))推論2:例5.已知解：18例6.

已知解：例7.解：例8.解：例6.已知解：例7.解：例8.解：192.2.3復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法在點(diǎn)x處也可導(dǎo),且定理1.設(shè)函數(shù)在處有導(dǎo)數(shù)

,函數(shù)在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo),

,則或復(fù)合函數(shù)上述復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可推廣到多層復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo),

在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo),而

在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處也可導(dǎo),則在

處也可導(dǎo),且2.2.3復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法在點(diǎn)x20例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知求解：令例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知21例12.已知,求例13.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),且解：解：設(shè)注意：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵是搞清符合關(guān)系，從外層到里層一層一層地求導(dǎo)，不要漏層。例12.已知,求例13.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),且解：解：設(shè)注意：22y與x的函數(shù)關(guān)系隱含在中，這種形式的例如如果我們把y看成中間變量，則可運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)稱為隱函數(shù)。等等。法則求出y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。例14.

y是由所確定的關(guān)于x的函數(shù)，求y’解：設(shè)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，則即最后得二、隱函數(shù)求導(dǎo)法y與x的函數(shù)關(guān)系隱含在中，這種形式的例如如果我們把y看成中23例15.求函數(shù)y是由所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的x的函數(shù)，例16.

已知y是由解：等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得解得試求解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得從而又由函數(shù)方程知所以當(dāng)時(shí)，故例15.求函數(shù)y是由所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的x的函242.2.4對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指數(shù)函數(shù)或連乘函數(shù)例17.已知下列各函數(shù)，分別求其導(dǎo)數(shù)y’為任意實(shí)數(shù))

解:

(1)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得因而2.2.4對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指數(shù)函數(shù)或連乘函數(shù)例25

(2)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得因而即對(duì)任意實(shí)數(shù)，有

(3)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得所以即特別地，當(dāng)時(shí)，(2)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得因而即對(duì)任意實(shí)262.2.5反函數(shù)求導(dǎo)法在處可導(dǎo)，且則

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

處也可導(dǎo)，證略[定理2]對(duì)于函數(shù)它在某個(gè)開區(qū)間嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，它的反函數(shù)且2.2.5反函數(shù)求導(dǎo)法在處可導(dǎo)，且則在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處也可導(dǎo)，27例18.已知解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且由定理2知在x所對(duì)應(yīng)的區(qū)間(-1,1)內(nèi),有即類似可得例18.已知解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且由定理2知在x所對(duì)應(yīng)28例19.已知解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且即類似可得由定理2知在x所對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi),例19.已知解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且即類似可得由定理2知292.2.6高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為y的高階導(dǎo)數(shù)。

如果的導(dǎo)數(shù)也存在，則稱其為的二階導(dǎo)數(shù)，記為三階導(dǎo)數(shù)或三階以上導(dǎo)數(shù)可類似定義。例20.已知解：2.2.6高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為y的高30例21.

y是由所確定的x的函數(shù)，求解：兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得所以對(duì)上述等式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，得整理并將代入得例21.y是由所確定的x的函數(shù)，求解：兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)312.3.1微分的定義2.3.2微分的幾何意義

2.3.3

微分的計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.3微分

第二章2.3.1微分的定義2.3.2微分的幾何意義2.3322.3微分問題提出：面積增量為的高階無窮小正方形邊長為給邊長增量，，面積為2.3微分問題提出：面積增量為的高階無332.3.1微分的定義定義2.設(shè)函數(shù)

在x的某個(gè)臨域內(nèi)有定義，

可以表示為其中A是不依賴于

的x的函數(shù)，

是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)x處可微，并稱為函數(shù)

在x處的微分，記作如果函數(shù)的增量即如果

在點(diǎn)x處可微，在

兩端同除以

，得兩邊同時(shí)求極限得即有2.3.1微分的定義定義2.設(shè)函數(shù)在x的某個(gè)臨域內(nèi)342.3.2微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.3.2微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也352.3.2微分的計(jì)算一、微分的四則運(yùn)算法則2.3.2微分的計(jì)算一、微分的四則運(yùn)算法則36二、一階微分的形式不變性設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)，即則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的微分為二、一階微分的形式不變性設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)，即則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的微分37例22求在時(shí)的微分.解：例23已知解：例22求在時(shí)的微分.解：例23已知解：382.3.4*微分在誤差估計(jì)及近似計(jì)算中的應(yīng)用一、函數(shù)值的誤差估計(jì)設(shè)是的函數(shù)，的測量值為且測量誤差為計(jì)算時(shí)將產(chǎn)生誤差把與分別稱為和的絕對(duì)誤差，而把與分別稱為和的相對(duì)誤差。當(dāng)很小時(shí)，有如下近似公式2.3.4*微分在誤差估計(jì)及近似計(jì)算中的應(yīng)用一、函數(shù)值的誤差39利用以上兩式可以計(jì)算實(shí)際應(yīng)用中常遇到的兩類誤差估計(jì)問題。的誤差(1)已知測量所產(chǎn)生的誤差，估計(jì)由所引起的的誤差。(2)根據(jù)所允許的誤差，近似地確定測量時(shí)所允許的誤差。例24設(shè)已測得一圓的半徑為21.5厘米，且測量的絕對(duì)誤差不超過0.1厘米，求計(jì)算圓面積時(shí)所產(chǎn)生的絕對(duì)誤差。解：已知的測量值為厘米，絕對(duì)誤差厘米，因此S的絕對(duì)誤差為利用以上兩式可以計(jì)算實(shí)際應(yīng)用中常遇到的兩類的誤差(1)已知測40例25從一批密度均勻的藥丸中，把所有直徑等于0.1厘米的膠丸挑出來，如果挑出來的膠丸在半徑上允許有3%的相對(duì)誤差，并且選擇的方法以重量為依據(jù)，試問在挑選時(shí)稱量重量的相對(duì)誤差應(yīng)不超過多少？解：設(shè)膠丸的密度為半徑為r(單位為厘米)，重量為W，則有由于因而從而要使只要因而例25從一批密度均勻的藥丸中，把所有直徑等于0.1厘米的膠41二、函數(shù)值的近似計(jì)算當(dāng)很小時(shí)，由式(2-33)可得上式可用于計(jì)算在附近的近似值。例26計(jì)算sin44o的近似值。解：設(shè)所以二、函數(shù)值的近似計(jì)算當(dāng)很小時(shí)，由式(2-33)可得上式可用于42例27求的近似值。解：設(shè)則取有所以例27求的近似值。解：設(shè)則取有所以432.4.1拉格朗日中值定理2.4.2洛必達(dá)法則2.4.3

函數(shù)增減性和函數(shù)的極值機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第二章2.4.4

函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)2.4.1拉格朗日中值定理2.4.2洛必達(dá)法則2.4442.4.1拉格朗日中值定理定理3如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在使得

開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)拉格朗日簡介2.4.1拉格朗日中值定理定理3如果函數(shù)在閉區(qū)間[45推論3

如果函數(shù)在區(qū)間（a,b）上每一點(diǎn)的，則函數(shù)（a,b）上恒等于一個(gè)常數(shù)。與點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都相等，則與上僅相差一個(gè)常數(shù)。導(dǎo)數(shù)都為零，即在區(qū)間推論4

如果兩個(gè)函數(shù)在（a,b）上每一在區(qū)間（a,b）例28

證明對(duì)一切都成立。證：

設(shè)區(qū)間應(yīng)用定理則等號(hào)成立，因而對(duì)于一切命題成立推論3如果函數(shù)在區(qū)間（a,b）上每一點(diǎn)的，則函數(shù)（46例28

試證證：

設(shè)則由推論3知y在(-1,1)內(nèi)恒為常數(shù)，即又由于y在[-1,1]上連續(xù)，因而上式在[-1,1]內(nèi)成立，令即得從而結(jié)論成立。例28試證證：設(shè)則由推論3知y在(-1,1)內(nèi)恒為常數(shù)472.4.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)是法國數(shù)學(xué)家.1661年生于巴黎；1704年2月2日卒于巴黎.洛必達(dá)出生于法國貴族家庭，青年時(shí)期一度任騎兵軍官，因眼睛近視而自行告退，轉(zhuǎn)向從事學(xué)術(shù)研究.

15歲時(shí)解決了帕斯卡所提出的一個(gè)擺線難題.他是萊布尼茨微積分的忠實(shí)信徒，并且是約伯努利的高徒，法國科學(xué)院院士.

2.4.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)是法國數(shù)學(xué)家.16648函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)本節(jié)研究:洛必達(dá)法則2.4.2洛必達(dá)法則函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限轉(zhuǎn)化(或492.4.2洛必達(dá)法則2.4.2洛必達(dá)法則502.4.2洛必達(dá)法則2.4.2洛必達(dá)法則51洛畢達(dá)法則可以多次使用直到不再是不定式時(shí)為止洛畢達(dá)法則可以多次使用直到不再是不定式時(shí)為止52第二章一元函數(shù)微分學(xué)課件53第二章一元函數(shù)微分學(xué)課件54例題30求解:原試注意:不是不定式不能用洛必達(dá)法則!例題30求解:原試注意:不是不定式不能用洛必達(dá)法則!55例題31求解:例題31求解:56例題32求解:例題32求解:57其他不定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化其他不定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化58例題33求將上試通分后即可化為型例題33求將上試通分后即可化為型59例34.求解:

原式例34.求解:原式60例題35求例題35求61例題36求

注意：在應(yīng)用洛畢達(dá)法則時(shí)，如果兩個(gè)函數(shù)之比的極限不存在且不為無窮大，則不能應(yīng)用該法則例題36求注意：62第二章一元函數(shù)微分學(xué)課件632.4.3函數(shù)增減性和函數(shù)的極值一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、函數(shù)的極值及其判定方法2.4.3函數(shù)增減性和函數(shù)的極值一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、64一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),證畢注意：定理6只是判斷函數(shù)增減性的充分條件，而非必要條件一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.設(shè)函數(shù)則65例題38試證當(dāng)證：設(shè)例題38試證當(dāng)證：設(shè)66例題38試證當(dāng)證：證畢例題38試證當(dāng)證：證畢67例39.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例39.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)68說明:

例40單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

駐點(diǎn)說明:例40單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除外,也可69駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做駐點(diǎn)返回駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做駐點(diǎn)返回70二、函數(shù)的極值及其判定方法定義3:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大點(diǎn),稱為函數(shù)的極大值;(2)則稱為的極小點(diǎn),稱為函數(shù)的極小值.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).二、函數(shù)的極值及其判定方法定義3:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱71注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如例39為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局72定理7（必要條件）如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且取極值，則使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值必定是它的駐點(diǎn)，反之則不一定。判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)要判斷該點(diǎn)左右的倒數(shù)符號(hào)是否發(fā)生變化，此外導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。定理7（必要條件）如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且取極值，則73證：僅就取極大值做出證明，取極小值時(shí)仿此證明當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)所以因此，證畢證：僅就取極大值做出證74定理8(極值第一判別法)(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(3)若不變號(hào)，則函數(shù)在處無極值定理8(極值第一判別法)(1)“左正右負(fù)”,(2)75證：若是鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，由拉格朗日中值定理，可知必在與之間存在一點(diǎn)，使對(duì)于條件(2)，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，，有，所以當(dāng)由負(fù)變正時(shí)，為極小值對(duì)于條件(1)，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，，有，所以當(dāng)由正變負(fù)時(shí)，為極大值如果滿足條件(3)，則在的某個(gè)鄰域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以不是極值，也不是極值點(diǎn)．證：若是鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，由拉格朗日中值定理，可知必76由定理7和定理8給出求函數(shù)極值的步驟如下：1、求導(dǎo)數(shù)2、找出駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)3、用定理8判定這些點(diǎn)是否為極值點(diǎn)由定理7和定理8給出求函數(shù)極值的步驟如下：1、求導(dǎo)數(shù)2、找出77例題41求函數(shù)的極值解：x-10.21y’+0+0-0+y增無增極大減極小增由表可知極值圖象例題41求函數(shù)的極值解：x-10.21y’+0+0-0+78返回返回79例42已知直線方程,是直線外的一點(diǎn),試求A到直線的距離解:設(shè)為直線方程上的任一點(diǎn),設(shè)A到B的距離為z,則令得到唯一駐點(diǎn)例42已知直線方程80例42已知直線方程,是直線外的一點(diǎn),試求A到直線的距離當(dāng)時(shí),,而當(dāng)時(shí),,從而為的極小值點(diǎn),此時(shí)的就是到直線的距離,將駐點(diǎn)值代入中的,化簡得例42已知直線方程813、若，則不能確定是否為定理9(第二充分條件)設(shè)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則：1、若，則是的極大值2、若，則是的極小值的極值，仍需判斷一階導(dǎo)數(shù)在左右的符號(hào)變化情況，然后再得出結(jié)論。3、若，則不能確定是否為定理9(第二充分條件)設(shè)在點(diǎn)82例題43應(yīng)用第二充分條件求函數(shù)的極值解:例題43應(yīng)用第二充分條件求函數(shù)的極值解:83例44求的極值解:則因此,由定理9判定,函數(shù)在x=0時(shí)有極小值0,在x=1,-1時(shí)由定理8判定例44求84例45血液由細(xì)胞和血漿構(gòu)成，血細(xì)胞的比重高于血漿構(gòu)成，血液在血管中迅速流動(dòng)時(shí)，血細(xì)胞有集中于血管中軸附近的傾向，而在靠近血管內(nèi)膜的邊緣部位則主要是一層血漿。邊緣部位由于血管壁的摩擦力而流速較慢，愈近中軸，流動(dòng)越快，此現(xiàn)象在流速相當(dāng)高的洗血管中最為顯著，稱為軸流問題。軸流理論認(rèn)為：血細(xì)胞速度與血漿速度的相對(duì)值依賴于血細(xì)胞的直徑與它通過小血管直徑之比，其關(guān)系式為其中（血細(xì)胞直徑/小血管直徑）<1,（血細(xì)胞速度/血漿速度）試求關(guān)于的一階導(dǎo)數(shù)的極值例45血液由細(xì)胞和血漿構(gòu)成，血細(xì)胞的比重高于血漿構(gòu)成，85解：令，得因?yàn)樗詴r(shí)取極小值。由于，所以他的絕對(duì)值在處達(dá)到極大值解：令，得因86例46求當(dāng)時(shí)得最大值與最小值解:該函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),可寫成如下形式該函數(shù)在[-5,5]內(nèi)連續(xù),但在x=3處不可導(dǎo)因?yàn)楫?dāng)時(shí)函數(shù)可導(dǎo)例46求當(dāng)87例46求當(dāng)時(shí)得最大值與最小值的導(dǎo)數(shù)為在討論的區(qū)間內(nèi)無駐點(diǎn),因此最大值和最小值只可能在及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x=3處取得,在這些點(diǎn)處的函數(shù)值分別為:由此知函數(shù)在[-5,5]的最大值為最小值為.例46求當(dāng)88最大值與最小值定義4設(shè)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，與比較，其數(shù)值最大與最在閉區(qū)間[a,b]上的最大與最小值。將區(qū)間內(nèi)所有極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值小者分別稱為函數(shù)最大值與最小值定義4設(shè)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，與比89例47在給定容積V的條件下，做一個(gè)有蓋圓柱形罐頭，問當(dāng)高和底半徑取多少時(shí)用料最省解:設(shè)底面半徑為r,高h(yuǎn),表面積為S,則例47在給定容積V的條件下，做一個(gè)有蓋圓柱形罐頭，問當(dāng)高和90所以S的最小值將S對(duì)r求導(dǎo)得所以S的最小值將S對(duì)r求導(dǎo)得912.4.4函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)一、函數(shù)曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)三、曲線的漸近線2.4.4函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)一、函數(shù)曲線的凹凸性二、曲線的拐92定義5如果一段曲線位于它上面任意一點(diǎn)的切線上方，我們就稱這段曲線是向上凹的，如果一段曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱這段曲線是向上凸的

一、函數(shù)曲線的凹凸性定義5如果一段曲線位于它上面任意一點(diǎn)的切線上方，我們就稱這93如果函數(shù)定理10在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)則在該區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，曲線向上凸，稱為凸函數(shù)時(shí)，曲線向上凹，并稱為凹函數(shù)；當(dāng)如果函數(shù)定理10在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)則在該區(qū)間上94二、函數(shù)的拐點(diǎn)如果函數(shù)在某點(diǎn)的凹凸性發(fā)生了變化，那么該點(diǎn)就稱為曲線的拐點(diǎn)。需要注意的是：拐點(diǎn)可能是二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；反之二階導(dǎo)數(shù)為0或者二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)卻不一定是拐點(diǎn)。返回二、函數(shù)的拐點(diǎn)如果函數(shù)95判斷函數(shù)曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的步驟如下：2、令求出其在定義域的根，同時(shí)找到在函數(shù)定義域內(nèi)部存在的二階導(dǎo)數(shù)；1、求3、對(duì)每個(gè)實(shí)根（或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)），如判斷在左右的符號(hào)，如果變號(hào)，則是拐點(diǎn)，否則不是拐點(diǎn)；使的那段區(qū)間為上凹區(qū)間，使的那段區(qū)間為上凸區(qū)間。判斷函數(shù)曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的步驟如下：2、令求出其在定義域的96例48討論曲線的凹凸性及拐點(diǎn)解:在定義域內(nèi)無零點(diǎn)x1y’’-不存在+y上凸拐點(diǎn)上凹例48討論曲線的凹凸性及拐點(diǎn)解:在定義域內(nèi)無零點(diǎn)x1y’97例49討論函數(shù)的單調(diào)性極值及拐點(diǎn)x-11y’-0+0-y減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)解:令y'=0,得x=-1,1,列表如下例49討論函數(shù)98例49討論函數(shù)的單調(diào)性極值及拐點(diǎn)解:x0y”-0+0-0+y上凸拐點(diǎn)上凹拐點(diǎn)上凸拐點(diǎn)上凹例49討論函數(shù)99三、曲線的漸近線定義6如果動(dòng)點(diǎn)沿某一條曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到一定直線的距離趨于零，這條直線就稱為該曲線的漸近線則曲線有水平漸近線如果，則曲線有垂直漸近線如果返回三、曲線的漸近線定義6如果動(dòng)點(diǎn)沿某一條曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，100例50討論的漸近線解:知x=0是垂直漸近線所以,y=x+3是一條斜漸近線例50討論的漸近線解:知x=0是垂101習(xí)題確定函數(shù)的單調(diào)性解:令y'=0得x=-1或x=2x-1(-1,2)2y’+0-0+y增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)習(xí)題確定函數(shù)102習(xí)題求函數(shù)的極值解:令y'=0,解得xy’-0+y極小值習(xí)題求函數(shù)103習(xí)題求函數(shù)的最大和最小值解:習(xí)題求函數(shù)104第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家Newton第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)1052.4.1拉格朗日中值定理拉格朗日，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利西北部的都靈，1813年4月10日卒于巴黎。19歲就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。在探討“等周問題”的過程中，他用純分析的方法發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。他的論著使他成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請(qǐng)說，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)二十年之久。在此期間他完成了《分析力學(xué)》一書，建立起完整和諧的力學(xué)體系。1786年，他接受法王路易十六的邀請(qǐng)，定居巴黎，直至去世。近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。

2.4.1拉格朗日中值定理拉格朗日，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家1062.4.5*幾個(gè)醫(yī)學(xué)常用圖形的描繪描繪函數(shù)圖形的一般步驟1確定函數(shù)定義域及不連續(xù)點(diǎn),求出函數(shù)在x軸和y軸上的截距2求出函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)及他們?yōu)榱愕母?；找出使一階二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；計(jì)算上述根與點(diǎn)的函數(shù)值

3根據(jù)2中的根與點(diǎn)把定義域分為幾個(gè)區(qū)間，列成一表

4判斷及的符號(hào)，由此確定函數(shù)圖形的升降、凹凸、極值及拐點(diǎn)

5確定函數(shù)漸近線

6根據(jù)表中所列函數(shù)的特殊點(diǎn)、升降、凹凸等有關(guān)特性，適當(dāng)補(bǔ)充一些點(diǎn)，然后用描點(diǎn)法把這些點(diǎn)連接成光滑曲線2.4.5*幾個(gè)醫(yī)學(xué)常用圖形的描繪描繪函數(shù)圖形的一般步驟107一、正態(tài)分布曲線一、正態(tài)分布曲線108一、正態(tài)分布曲線(4)列表減上凹拐點(diǎn)減上凸極大值增上凸拐點(diǎn)增上凹+0---0+---0+++一、正態(tài)分布曲線(4)列表減拐點(diǎn)減極大值增拐點(diǎn)增+0---109一、正態(tài)分布曲線(5)根究列表畫出圖象一、正態(tài)分布曲線(5)根究列表畫出圖象110二、邏輯斯諦曲線以下畫出它的大致圖形二、邏輯斯諦曲線以下畫出它的大致圖形111二、邏輯斯諦曲線二、邏輯斯諦曲線112(5)根據(jù)(1)~(4)畫圖

二、邏輯斯諦曲線(5)根據(jù)(1)~(4)畫圖二、邏輯斯諦曲線113三、貢柏茨曲線貢柏茨曲線用于描述腫瘤生長規(guī)律,其表達(dá)式為三、貢柏茨曲線貢柏茨曲線用于描述腫瘤生長規(guī)律,其表達(dá)式為114三、貢柏茨曲線貢柏茨曲線用于描述腫瘤生長規(guī)律,其表達(dá)式為正函數(shù)上凸拐點(diǎn)正函數(shù)上凹-0++++三、貢柏茨曲線貢柏茨曲線用于描述腫瘤生長規(guī)律,其表達(dá)式為正函115三、貢柏茨曲線貢柏茨曲線用于描述腫瘤生長規(guī)律,其表達(dá)式為(5)畫圖

三、貢柏茨曲線貢柏茨曲線用于描述腫瘤生長規(guī)律,其表達(dá)式為(51162.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.3微分2.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二章一元函數(shù)微分學(xué)

第二章微分學(xué)發(fā)展史2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.3微分2.41172.1.1引例2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.1.4函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1導(dǎo)數(shù)的概念

第二章2.1.1引例2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義2.1.3導(dǎo)數(shù)1182.1.1引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度描述物體下落位置的函數(shù)為改變量之比的極限稱為導(dǎo)數(shù)，路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是速度。有增量則物體在內(nèi)的平均速度為即可得物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度令即給以增量,(

),2.1.1引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度描述物體下落位置的函1192.1.2導(dǎo)數(shù)的定義即定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義即定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極120否則，就說在點(diǎn)處不可導(dǎo)或說

在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在.由導(dǎo)數(shù)定義可知，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)

對(duì)自變量的變化率.導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義：右可導(dǎo)與左可導(dǎo)：否則，就說在點(diǎn)處不可導(dǎo)或說在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在.由導(dǎo)數(shù)定義可知121若函數(shù)在開區(qū)間

內(nèi)處處可導(dǎo),則稱它在

上可導(dǎo).若函數(shù)與則稱在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).且都存在，對(duì)應(yīng)于內(nèi)的每一點(diǎn)都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，于是和其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值之間便構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱此函數(shù)為的記為導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo),則稱它在122求導(dǎo)的步驟2.算比值3.取極限1.求增量對(duì)于內(nèi)的每一點(diǎn)有而在處的導(dǎo)數(shù)即為在處的函數(shù)值，即求導(dǎo)的步驟2.算比值3.取極限1.求增量對(duì)于內(nèi)的每一點(diǎn)有而在123例1.求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)解：所以，例1.求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)解：所以，124例2.求函數(shù)為常數(shù))解：所以，的導(dǎo)數(shù).例2.求函數(shù)為常數(shù))解：所以，的導(dǎo)數(shù).125例3.處的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)解：例3.處的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)解：126導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)是曲線上過點(diǎn)x0處切線的斜率當(dāng)時(shí),亦即N無限靠近M時(shí),如果存在,那么割線就將趨向于曲線上過點(diǎn)的曲線的切線,即有時(shí),于是1.有切線可導(dǎo)切線存在為無窮大2.切線不存在不可導(dǎo)注意:曲線割線MN

的斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)是曲線當(dāng)時(shí),亦即N無限靠近M時(shí),如果存在,127例4

求過點(diǎn)(0，-1)且與相切的直線方程.解：由例1知設(shè)切點(diǎn)為則該直線的斜率為又知從而有解得從而知過點(diǎn)(0，-1)可作兩條直線與相切，其斜率分別為二直線方程分別為例4求過點(diǎn)(0，-1)且與相切的直線方程.解：由例11282.1.4函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)不一定可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).2.1.4函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系注意:函數(shù)在點(diǎn)x1292.2.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

2.2.3

復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則2.2.4對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

第二章2.2.5反函數(shù)求導(dǎo)法

2.2.6高階導(dǎo)數(shù)

2.2.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則1302.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

2.2.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

二、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0三、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.2.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、冪函1312.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

法則的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),且下面對(duì)（3）加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則法則的和、差、積、商(除分132(3)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁133推論1:(C為常數(shù))推論2:例5.

已知解：推論1:(C為常數(shù))推論2:例5.已知解：134例6.

已知解：例7.解：例8.解：例6.已知解：例7.解：例8.解：1352.2.3復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法在點(diǎn)x處也可導(dǎo),且定理1.設(shè)函數(shù)在處有導(dǎo)數(shù)

,函數(shù)在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo),

,則或復(fù)合函數(shù)上述復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可推廣到多層復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo),

在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo),而

在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處也可導(dǎo),則在

處也可導(dǎo),且2.2.3復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法在點(diǎn)x136例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知求解：令例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知137例12.已知,求例13.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),且解：解：設(shè)注意：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵是搞清符合關(guān)系，從外層到里層一層一層地求導(dǎo)，不要漏層。例12.已知,求例13.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),且解：解：設(shè)注意：138y與x的函數(shù)關(guān)系隱含在中，這種形式的例如如果我們把y看成中間變量，則可運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)稱為隱函數(shù)。等等。法則求出y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。例14.

y是由所確定的關(guān)于x的函數(shù)，求y’解：設(shè)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，則即最后得二、隱函數(shù)求導(dǎo)法y與x的函數(shù)關(guān)系隱含在中，這種形式的例如如果我們把y看成中139例15.求函數(shù)y是由所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的x的函數(shù)，例16.

已知y是由解：等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得解得試求解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得從而又由函數(shù)方程知所以當(dāng)時(shí)，故例15.求函數(shù)y是由所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的x的函1402.2.4對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指數(shù)函數(shù)或連乘函數(shù)例17.已知下列各函數(shù)，分別求其導(dǎo)數(shù)y’為任意實(shí)數(shù))

解:

(1)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得因而2.2.4對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指數(shù)函數(shù)或連乘函數(shù)例141

(2)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得因而即對(duì)任意實(shí)數(shù)，有

(3)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得所以即特別地，當(dāng)時(shí)，(2)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得因而即對(duì)任意實(shí)1422.2.5反函數(shù)求導(dǎo)法在處可導(dǎo)，且則

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

處也可導(dǎo)，證略[定理2]對(duì)于函數(shù)它在某個(gè)開區(qū)間嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，它的反函數(shù)且2.2.5反函數(shù)求導(dǎo)法在處可導(dǎo)，且則在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處也可導(dǎo)，143例18.已知解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且由定理2知在x所對(duì)應(yīng)的區(qū)間(-1,1)內(nèi),有即類似可得例18.已知解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且由定理2知在x所對(duì)應(yīng)144例19.已知解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且即類似可得由定理2知在x所對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi),例19.已知解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且即類似可得由定理2知1452.2.6高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為y的高階導(dǎo)數(shù)。

如果的導(dǎo)數(shù)也存在，則稱其為的二階導(dǎo)數(shù)，記為三階導(dǎo)數(shù)或三階以上導(dǎo)數(shù)可類似定義。例20.已知解：2.2.6高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為y的高146例21.

y是由所確定的x的函數(shù)，求解：兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得所以對(duì)上述等式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，得整理并將代入得例21.y是由所確定的x的函數(shù)，求解：兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)1472.3.1微分的定義2.3.2微分的幾何意義

2.3.3

微分的計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.3微分

第二章2.3.1微分的定義2.3.2微分的幾何意義2.31482.3微分問題提出：面積增量為的高階無窮小正方形邊長為給邊長增量，，面積為2.3微分問題提出：面積增量為的高階無1492.3.1微分的定義定義2.設(shè)函數(shù)

在x的某個(gè)臨域內(nèi)有定義，

可以表示為其中A是不依賴于

的x的函數(shù)，

是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)x處可微，并稱為函數(shù)

在x處的微分，記作如果函數(shù)的增量即如果

在點(diǎn)x處可微，在

兩端同除以

，得兩邊同時(shí)求極限得即有2.3.1微分的定義定義2.設(shè)函數(shù)在x的某個(gè)臨域內(nèi)1502.3.2微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.3.2微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也1512.3.2微分的計(jì)算一、微分的四則運(yùn)算法則2.3.2微分的計(jì)算一、微分的四則運(yùn)算法則152二、一階微分的形式不變性設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)，即則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的微分為二、一階微分的形式不變性設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)，即則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的微分153例22求在時(shí)的微分.解：例23已知解：例22求在時(shí)的微分.解：例23已知解：1542.3.4*微分在誤差估計(jì)及近似計(jì)算中的應(yīng)用一、函數(shù)值的誤差估計(jì)設(shè)是的函數(shù)，的測量值為且測量誤差為計(jì)算時(shí)將產(chǎn)生誤差把與分別稱為和的絕對(duì)誤差，而把與分別稱為和的相對(duì)誤差。當(dāng)很小時(shí)，有如下近似公式2.3.4*微分在誤差估計(jì)及近似計(jì)算中的應(yīng)用一、函數(shù)值的誤差155利用以上兩式可以計(jì)算實(shí)際應(yīng)用中常遇到的兩類誤差估計(jì)問題。的誤差(1)已知測量所產(chǎn)生的誤差，估計(jì)由所引起的的誤差。(2)根據(jù)所允許的誤差，近似地確定測量時(shí)所允許的誤差。例24設(shè)已測得一圓的半徑為21.5厘米，且測量的絕對(duì)誤差不超過0.1厘米，求計(jì)算圓面積時(shí)所產(chǎn)生的絕對(duì)誤差。解：已知的測量值為厘米，絕對(duì)誤差厘米，因此S的絕對(duì)誤差為利用以上兩式可以計(jì)算實(shí)際應(yīng)用中常遇到的兩類的誤差(1)已知測156例25從一批密度均勻的藥丸中，把所有直徑等于0.1厘米的膠丸挑出來，如果挑出來的膠丸在半徑上允許有3%的相對(duì)誤差，并且選擇的方法以重量為依據(jù)，試問在挑選時(shí)稱量重量的相對(duì)誤差應(yīng)不超過多少？解：設(shè)膠丸的密度為半徑為r(單位為厘米)，重量為W，則有由于因而從而要使只要因而例25從一批密度均勻的藥丸中，把所有直徑等于0.1厘米的膠157二、函數(shù)值的近似計(jì)算當(dāng)很小時(shí)，由式(2-33)可得上式可用于計(jì)算在附近的近似值。例26計(jì)算sin44o的近似值。解：設(shè)所以二、函數(shù)值的近似計(jì)算當(dāng)很小時(shí)，由式(2-33)可得上式可用于158例27求的近似值。解：設(shè)則取有所以例27求的近似值。解：設(shè)則取有所以1592.4.1拉格朗日中值定理2.4.2洛必達(dá)法則2.4.3

函數(shù)增減性和函數(shù)的極值機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第二章2.4.4

函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)2.4.1拉格朗日中值定理2.4.2洛必達(dá)法則2.41602.4.1拉格朗日中值定理定理3如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在使得

開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)拉格朗日簡介2.4.1拉格朗日中值定理定理3如果函數(shù)在閉區(qū)間[161推論3

如果函數(shù)在區(qū)間（a,b）上每一點(diǎn)的，則函數(shù)（a,b）上恒等于一個(gè)常數(shù)。與點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都相等，則與上僅相差一個(gè)常數(shù)。導(dǎo)數(shù)都為零，即在區(qū)間推論4

如果兩個(gè)函數(shù)在（a,b）上每一在區(qū)間（a,b）例28

證明對(duì)一切都成立。證：

設(shè)區(qū)間應(yīng)用定理則等號(hào)成立，因而對(duì)于一切命題成立推論3如果函數(shù)在區(qū)間（a,b）上每一點(diǎn)的，則函數(shù)（162例28

試證證：

設(shè)則由推論3知y在(-1,1)內(nèi)恒為常數(shù)，即又由于y在[-1,1]上連續(xù)，因而上式在[-1,1]內(nèi)成立，令即得從而結(jié)論成立。例28試證證：設(shè)則由推論3知y在(-1,1)內(nèi)恒為常數(shù)1632.4.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)是法國數(shù)學(xué)家.1661年生于巴黎；1704年2月2日卒于巴黎.洛必達(dá)出生于法國貴族家庭，青年時(shí)期一度任騎兵軍官，因眼睛近視而自行告退，轉(zhuǎn)向從事學(xué)術(shù)研究.

15歲時(shí)解決了帕斯卡所提出的一個(gè)擺線難題.他是萊布尼茨微積分的忠實(shí)信徒，并且是約伯努利的高徒，法國科學(xué)院院士.

2.4.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)是法國數(shù)學(xué)家.166164函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)本節(jié)研究:洛必達(dá)法則2.4.2洛必達(dá)法則函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限轉(zhuǎn)化(或1652.4.2洛必達(dá)法則2.4.2洛必達(dá)法則1662.4.2洛必達(dá)法則2.4.2洛必達(dá)法則167洛畢達(dá)法則可以多次使用直到不再是不定式時(shí)為止洛畢達(dá)法則可以多次使用直到不再是不定式時(shí)為止168第二章一元函數(shù)微分學(xué)課件169第二章一元函數(shù)微分學(xué)課件170例題30求解:原試注意:不是不定式不能用洛必達(dá)法則!例題30求解:原試注意:不是不定式不能用洛必達(dá)法則!171例題31求解:例題31求解:172例題32求解:例題32求解:173其他不定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化其他不定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化174例題33求將上試通分后即可化為型例題33求將上試通分后即可化為型175例34.求解:

原式例34.求解:原式176例題35求例題35求177例題36求

注意：在應(yīng)用洛畢達(dá)法則時(shí)，如果兩個(gè)函數(shù)之比的極限不存在且不為無窮大，則不能應(yīng)用該法則例題36求注意：178第二章一元函數(shù)微分學(xué)課件1792.4.3函數(shù)增減性和函數(shù)的極值一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、函數(shù)的極值及其判定方法2.4.3函數(shù)增減性和函數(shù)的極值一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、180一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),證畢注意：定理6只是判斷函數(shù)增減性的充分條件，而非必要條件一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.設(shè)函數(shù)則181例題38試證當(dāng)證：設(shè)例題38試證當(dāng)證：設(shè)182例題38試證當(dāng)證：證畢例題38試證當(dāng)證：證畢183例39.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例39.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)184說明:

例40單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

駐點(diǎn)說明:例40單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除外,也可185駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做駐點(diǎn)返回駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做駐點(diǎn)返回186二、函數(shù)的極值及其判定方法定義3:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大點(diǎn),稱為函數(shù)的極大值;(2)則稱為的極小點(diǎn),稱為函數(shù)的極小值.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).二、函數(shù)的極值及其判定方法定義3:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱187注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如例39為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局188定理7（必要條件）如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且取極值，則使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值必定是它的駐點(diǎn)，反之則不一定。判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)要判斷該點(diǎn)左右的倒數(shù)符號(hào)是否發(fā)生變化，此外導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。定理7（必要條件）如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且取極值，則189證：僅就取極大值做出證明，取極小值時(shí)仿此證明當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)所以因此，證畢證：僅就取極大值做出證190定理8(極值第一判別法)(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(3)若不變號(hào)，則函數(shù)在處無極值定理8(極值第一判別法)(1)“左正右負(fù)”,(2)191證：若是鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，由拉格朗日中值定理，可知必在與之間存在一點(diǎn)，使對(duì)于條件(2)，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，，有，所以當(dāng)由負(fù)變正時(shí)，為極小值對(duì)于條件(1)，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，，有，所以當(dāng)由正變負(fù)時(shí)，為極大值如果滿足條件(3)，則在的某個(gè)鄰域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以不是極值，也不是極值點(diǎn)．證：若是鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，由拉格朗日中值定理，可知必192由定理7和定理8給出求函數(shù)極值的步驟如下：1、求導(dǎo)數(shù)2、找出駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)3、用定理8判定這些點(diǎn)是否為極值點(diǎn)由定理7和定理8給出求函數(shù)極值的步驟如下：1、求導(dǎo)數(shù)2、找出193例題41求函數(shù)的極值解：x-10.21y’+0+0-0+y增無增極大減極小增由表可知極值圖象例題41求函數(shù)的極值解：x-10.21y’+0+0-0+194返回返回195例42已知直線方程,是直線外的一點(diǎn),試求A到直線的距離解:設(shè)為直線方程上的任一點(diǎn),設(shè)A到B的距離為z,則令得到唯一駐點(diǎn)例42已知直線方程196例42已知直線方程,是直線外的一點(diǎn),試求A到直線的距離當(dāng)時(shí),,而當(dāng)時(shí),,從而為的極小值點(diǎn),此時(shí)的就是到直線的距離,將駐點(diǎn)值代入中的,化簡得例42已知直線方程1973、若，則不能確定是否為定理9(第二充分條件)設(shè)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則：1、若，則是的極大值2、若，則是的極小值的極值，仍需判斷一階導(dǎo)數(shù)在左右的符號(hào)變化情況，然后再得出結(jié)論。3、若，則不能確定是否為定理9(第二充分條件)設(shè)在點(diǎn)198例題43應(yīng)用第二充分條件求函數(shù)的極值解:例題43應(yīng)用第二充分條件求函數(shù)的極值解:199例44求的極值解:則因此,由定理9判定,函數(shù)在x=0時(shí)有極小值0,在x=1,-1時(shí)由定理8判定例44求200例45血液由細(xì)胞和血漿構(gòu)成，血細(xì)胞的比重高于血漿構(gòu)成，血液在血管中迅速流動(dòng)時(shí)，血細(xì)胞有集中于血管中軸附近的傾向，而在靠近血管內(nèi)膜的邊緣部位則主要是一層血漿。邊緣部位由于血管壁的摩擦力而流速較慢，愈近中軸，流動(dòng)越快，此現(xiàn)象在流速相當(dāng)高的洗血管中最為顯著，稱為軸流問題。軸流理論認(rèn)為：血細(xì)胞速度與血漿速度的相對(duì)值依賴于血細(xì)胞的直徑與它通過小血管直徑之比，其關(guān)系式為其中（血細(xì)胞直徑/小血管直徑）<1,（血細(xì)胞速度/血漿速度）試求關(guān)于的一階導(dǎo)數(shù)的極值例45血液由細(xì)胞和血漿構(gòu)成，血細(xì)胞的比重高于血漿構(gòu)成，201解：令，得因?yàn)樗詴r(shí)取極小值。由于，所以他的絕對(duì)值在處達(dá)到極大值解：令，得因202例46求當(dāng)時(shí)得最大值與最小值解:該函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),可寫成如下形式該函數(shù)在[-5,5]內(nèi)連續(xù),但在x=3處不可導(dǎo)因?yàn)楫?dāng)時(shí)函數(shù)可導(dǎo)例46求當(dāng)203例46求當(dāng)時(shí)得最大值與最小值的導(dǎo)數(shù)為在討論的區(qū)間內(nèi)無駐點(diǎn),因此最大值和最小值只可能在及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x=3處取得,在這些點(diǎn)處的函數(shù)值分別為:由此知函數(shù)在[-5,5]的最大值為最小值為.例46求當(dāng)204最大值與最小值定義4設(shè)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，與比較，其數(shù)值最大與最在閉區(qū)間[a,b]上的最大與最小值。將區(qū)間內(nèi)所有極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值小者分別稱為函數(shù)最大值與最小值定義4設(shè)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，與比205例47在給定容積V的條件下，做一個(gè)有蓋圓柱形罐頭，問當(dāng)高和底半徑取多少時(shí)用料最省解:設(shè)底面半徑為r,高h(yuǎn),表面積為S,則例47在給定容積V的條件下，做一個(gè)有蓋圓柱形罐頭，問當(dāng)高和206所以S的最小值將S對(duì)r求導(dǎo)得所以S的最小值將S對(duì)r求導(dǎo)得2072.4.4函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)一、函數(shù)曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)三、曲線的漸近線2.4.4函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)一、函數(shù)曲線的凹凸性二、曲線的拐208定義5如果一段曲線位于它上面任意一點(diǎn)的切線上方，我們就稱這段曲線是向上凹的，如果一段曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱這段曲線是向上凸的

一、函數(shù)曲線的凹凸性定義5如果一段曲線位于它上面任意一點(diǎn)的切線上方，我們就稱這209如果函數(shù)定理10在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)則在該區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，曲線向上凸，稱為凸函數(shù)時(shí)，曲線