主題14 算法與傳統(tǒng)文化（解析版）

2020屆高考數(shù)學(xué)23題對對碰【二輪精品】第二篇主題14算法與傳統(tǒng)文化【主題考法】本主題的考查形式為選擇題或填空題，常與傳統(tǒng)文化、函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計、不等式等知識結(jié)合，考查對三種基本邏輯結(jié)構(gòu)、基本算法語句及算法應(yīng)用案例的理解應(yīng)用，重點考查形式有已知程序框圖或算法程序，求輸入或輸出結(jié)果或已知結(jié)果補全框圖或補全算法程序，考查輾轉(zhuǎn)相除、法更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法，秦九韶算法，各種進位制之間的轉(zhuǎn)換方法，考查運算求解能力、讀圖識圖能力，難度為中等，分值為5分.【主題考前回扣】1.程序框圖的結(jié)構(gòu)類型及作用名稱內(nèi)容順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)從某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體由若干個依次執(zhí)行的步驟組算法的流程根據(jù)條件是否成立成的，這是任何一個算法都有不同的流向，條件結(jié)構(gòu)就是定義離不開的基本結(jié)構(gòu)處理這種過程的結(jié)構(gòu)程序框圖2．三種語句的一般格式和功能語句一般格式功能輸入語句INPUT“提示內(nèi)容”；變量輸入信息輸出語句式PRINT“提示內(nèi)容”；表達輸出結(jié)果將表達式的值賦給變量賦值語句變量＝表達式3.條件語句（1）條件語句與程序框圖中的條件結(jié)構(gòu)相對應(yīng)．（2）條件語句的格式及框圖．①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式3．循環(huán)語句（1）算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的．（2）循環(huán)語句的格式及框圖①UNTIL語句②WHILE語句【易錯點提醒】1.在解決含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖時，要弄清停止循環(huán)的條件．注意理解循環(huán)條件中“≥”與“＞”的區(qū)別．2．解決程序框圖問題時，要注意流程線的指向與其上文字“是”“否”的對應(yīng)．3.在循環(huán)結(jié)構(gòu)中，易錯誤判定循環(huán)體結(jié)束的條件，導(dǎo)致錯求輸出的結(jié)果．4.控制循環(huán)結(jié)構(gòu)的是計數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律以及循環(huán)結(jié)束的條件.在解答這類題目時，易混淆兩變量的變化次序，且容易錯誤判定循環(huán)體結(jié)束的條件.【主題考向】考向一程序框圖【解決法寶】解答程序框圖(流程圖)問題的方法(1)首先要讀懂程序框圖，要熟練掌握程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)，特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)，在累加求和、累乘求積、多次輸入等有規(guī)律的科學(xué)計算中，都有循環(huán)結(jié)構(gòu)．(2)準(zhǔn)確把握控制循環(huán)的變量，變量的初值和循環(huán)條件，弄清在哪一步結(jié)束循環(huán)；弄清循環(huán)體和輸入條件、輸出結(jié)果．(3)對于循環(huán)次數(shù)比較少的可逐步寫出，對于循環(huán)次數(shù)較多的可先依次列出前幾次循環(huán)結(jié)果，找出規(guī)律．例1【2020屆五岳湖南、河南、江西高三3月線上聯(lián)考】如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運行結(jié)果為31時，則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)程序框圖的運行，循環(huán)算出當(dāng)時，結(jié)束運行，總結(jié)分析即可得出答案.【解析】由題可知，程序框圖的運行結(jié)果為31，當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，；時，；時，；時，；時，.此時輸出，故選C.考向二算法語句【解決法寶】1.解答算法程序問題的方法(1)首先要讀懂算法程序，要熟練掌握算法程序的五種基本語句和，特別是條件語句和循環(huán)語句，在累加求和、累乘求積、多次輸入等有規(guī)律的科學(xué)計算中，都有循環(huán)語句．(2)準(zhǔn)確把握控制循環(huán)的變量，變量的初值和循環(huán)條件，弄清在哪一步結(jié)束循環(huán)；弄清循環(huán)體和輸入條件、輸出結(jié)果．學(xué)%科網(wǎng)(3)對于循環(huán)次數(shù)比較少的可逐步寫出，對于循環(huán)次數(shù)較多的可先依次列出前幾次循環(huán)結(jié)果，找出規(guī)律．2．循環(huán)語句的三個注意點：(1)注意區(qū)分計數(shù)變量與循環(huán)變量．(2)注意哪一步結(jié)束循環(huán).（3）要分清循環(huán)語句類型.例2【2020江蘇省鹽城市一中等四校聯(lián)考】如圖是一個算法偽代碼，則輸出的的值為________.【分析】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果.【解析】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得考向三算法案例,結(jié)束循環(huán)，輸出.【解決法寶】1.輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟：第一步，給定兩個正整數(shù)m，n.第二步，計算m除以n所得的余數(shù)r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則返回第二步．2.進位制的轉(zhuǎn)化的方法：①將十進制數(shù)化為進制數(shù)，常用除取余法，即用連續(xù)除或所得商，然后取余數(shù)，直到商為0，從最后一個余數(shù)開始依次為進制的第1為到最后一位，就得到進制數(shù)；②將進制化為十進制，先將進制數(shù)寫成不同位置上的數(shù)字與的冪（冪指數(shù)為該數(shù)字在進制中從右向左數(shù)的位數(shù)減1）的乘積的和，再按十進制的運算規(guī)則計算出來的結(jié)果就是對應(yīng)的十進制數(shù).3.秦九韶算法的步驟：第一步，改寫多項式第二步，計算，當(dāng)為=時，由內(nèi)到外依次計算；第三步，，當(dāng)時，的值為.例3【2020山西省長治第一次聯(lián)考】秦九韶算法是中國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項式簡化算法。秦九韶算法是一種將一元次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化為個一次式的算法。其大大簡化了計算過程，即使在現(xiàn)代，利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法。用秦九韶算法計算當(dāng)（）時函數(shù)的值時，需要進行加法運算的次數(shù)及函數(shù)值分別為A．3，5.6426B．4，5.6426C．3，5.6416D．4，5.6416【分析】由秦九韶算法的原理，可把多項式而得到函數(shù)的值。變形計算出加法的運算次數(shù)，從，所以進行了三次加法運算，由于【解析】根據(jù)秦九韶算法的原理，可得，所以函數(shù)的值為5.6416，故選C例4【2020屆遼寧省丹東3月線上監(jiān)測】中國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”.如圖，一位古人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進一，用來記錄捕魚條數(shù)，由圖可知，這位古人共捕魚（）A．89條B．113條C．324條D．445條【分析】利用進位制的定義可得答案.【解析】該圖的五進制數(shù)為324，根據(jù)進位制的定義將五進制轉(zhuǎn)換成十進制計算可得：324(5)＝4×50+2×51+3×52＝89，故選A考向四算法與傳統(tǒng)文化【解題法寶】認(rèn)真閱讀試題，將傳統(tǒng)文化給出的算法問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用算法的知識求解.例5【2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷（二)】李冶，真定欒城（今河北省石家莊市欒城區(qū)）人.金元時期的數(shù)學(xué)家.與楊輝、秦九韶、朱世杰并稱為“宋元數(shù)學(xué)四大家”.在數(shù)學(xué)上的主要貢獻是天元術(shù)（設(shè)未知數(shù)并列方程的方法），用以研究直角三角形內(nèi)切圓和旁切圓的性質(zhì).李治所著《測圓海鏡》中有一道題：甲乙同立于乾隅，乙向東行不知步數(shù)而立，甲向南直行，多于乙步，望見乙復(fù)就東北斜行，與乙相會，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，問通弦?guī)缀?翻譯過來是：甲乙兩人同在直角頂點處，乙向東行走到處，甲向南行走到處，甲看到乙，便從走到處，甲乙二人共行走1600步，比長80步，若按如圖所示的程序框圖執(zhí)行求，則判斷框中應(yīng)填入的條件為()A．B．C．D．【分析】根據(jù)題意得，則，所以，再根據(jù)為直角三角形求解.【解析】由題意得，則，所以，符合程序框圖所示，又為直角三角形，且，所以，故選A【主題集訓(xùn)】1.【2020屆百校聯(lián)考百日沖刺金卷（三)】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為()A．31B．39C．47D．60【答案】D【解析】根據(jù)題意，，；，；，；，，；；，；，；，；，；，；，，故輸出的結(jié)果為，故選D.2.【2019屆河北省唐山一中沖刺（一)】設(shè)為區(qū)間后，輸出的值落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）]內(nèi)的均勻隨機數(shù)，則計算機執(zhí)行下列程序A．【答案】C【解析】根據(jù)題意知，當(dāng)x∈[﹣2，0]時，y＝2x∈[，1]，當(dāng)x∈（0，2]時，y＝2x+1∈（1，5]，所以當(dāng)B．C．D．y∈[，3]時，x∈[﹣1，1]，其區(qū)間長度為2，所求的概率為P，故選C．3.【【2020屆百校聯(lián)考百日沖刺金卷（二)】如圖給出的是計算的值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出運行過程，的值，模擬程序的可得，，，，，，，，，，，故選C.4.【2019屆貴州省凱里一中模擬考(二)】若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)框圖循環(huán)，可得每一步的值；；；；發(fā)現(xiàn)的值有周期，周期為3，而的時，的值與的下標(biāo)相同，當(dāng)時，循環(huán)終止，輸出的值，此時為，故選A項.5.【2020安徽六安一中月考】馬林●梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一3位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如2P﹣1（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】模擬程序的運行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結(jié)束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5，故選C．6.【2019屆河北省衡水二中期中】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的（）A．【答案】B【解析】根據(jù)題意，循環(huán)體為“直到型”循環(huán)結(jié)構(gòu)，輸入B．C．D．，第一次循環(huán)，，；第二次循環(huán)，，；第三次循環(huán)，，結(jié)束循環(huán)，輸出，故選B.7.【2020江西省紅色七校第二次聯(lián)考】下邊程序框圖的算法思路源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)行該程序框圖（圖中“mMODn”表示除以的余數(shù)），若輸入的m，n分別為485，135，則輸出的m=（）A．0B．5C．25D．45【答案】B【解析】當(dāng)時，，此時，進入循環(huán)，，，進入循環(huán)，，，進入循環(huán)，，，進入循環(huán)，，此時退出循環(huán)，，故選B.8.【2019屆遼寧省丹東市測試（一)】計算機在數(shù)據(jù)處理時使用的是二進制，例如十進制數(shù)1,2,3,4的二進制數(shù)分別表示為1,10,11,100，二進制數(shù)…化為十進制數(shù)的公式為…，例如二進制數(shù)11等于十進制數(shù)，下圖是某同學(xué)設(shè)計的將二進制數(shù)11111化為十進制數(shù)的程序，又如二進制數(shù)101等于十進制數(shù)框圖，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在將二進制數(shù)化為十進制數(shù)的程序中，循環(huán)次數(shù)由循環(huán)變量決定，共有5位，因此要循環(huán)4次才能完成整個轉(zhuǎn)換過程，退出循環(huán)的條件根據(jù)程序框圖和答案選項,應(yīng)設(shè)為故選A項.，9.【2020貴州省貴陽一中第五次月考】K進制的一般形式為，其中A．，，…，B．.已知，則（）C．D．【答案】A【解析】因為，，所以，即.因為，，所以當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，不合題意，所以，，故選A.10.【2019屆安徽省六安市一中模擬（四)】執(zhí)行如下的程序框圖，最后輸出結(jié)果為k=10，那么判斷框應(yīng)該填入的判斷可以是A．B．C．D．【答案】D【解析】模擬程序的運行，可得當(dāng)k＝10，s＝1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45由題意，此時應(yīng)該滿足判斷框內(nèi)的條件，輸出k的值為10，可得判斷框內(nèi)應(yīng)該填入的判斷可以是s≥45？，故選D．11.【2020屆河南省頂級名校月量測】框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，實際生活中的一些問題1在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，則圖中空白框中應(yīng)填入（，，，，，，）A．【答案】A【解析】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差，即輸出的，B．C．，D．，，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選A.12.【2020屆廣西桂林、崇左、賀州二?！亢芏嚓P(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】輸入，不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)不成立，則不成立，是偶數(shù)成立，則，；，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則不成立，是偶數(shù)成立，則，，；；成立，跳出循環(huán)，輸出的值為，故選B.13.【2019屆四川省宜賓市第一次診斷】按下面的流程圖進行計算若輸出的，則輸入的正實數(shù)x的值的個數(shù)最多為A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由程序框圖可知：當(dāng)，解得；即輸入時，輸出結(jié)果205．，解得；即輸入時，輸出結(jié)果205．，解得，輸入時，輸出結(jié)果205．解得，輸入時，輸出結(jié)果205．此時可解得x為負(fù)值，綜上，共有4個不同的x值，故選B．14.【2020屆百校聯(lián)盟精練模擬】秦九韶是我國南寧時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入、的值分別為、，則輸出的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得：輸入第一次循環(huán)，，，，；，，，，繼續(xù)循環(huán)；，繼續(xù)循環(huán)；，跳出循環(huán)；第二次循環(huán)，，，第三次循環(huán)，，輸出，故選B.15.【2019屆湖南師大附中月考（七)】宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入，，則輸出的等于（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】模擬程序的運行，可得a＝4，b＝1，n＝1，a＝6，b＝2不滿足條件a≤b，執(zhí)行循環(huán)體，n＝2，a不滿足條件a≤b，執(zhí)行循環(huán)體，n＝3，a，b＝4，，b＝8，不滿足條件a≤b，執(zhí)行循環(huán)體，n＝4，a不滿足條件a≤b，執(zhí)行循環(huán)體，n＝5，a，b＝16，，b＝32，滿足條件a≤b，退出循環(huán)，輸出n的值為5，故C．16.【2020屆云南陸良第二次適應(yīng)性考】宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等．下圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】當(dāng)時，，，滿足進行循環(huán)的條件，當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，，滿足進行循環(huán)的條件，滿足進行循環(huán)的條件，不滿足進行循環(huán)的條件，時，時，，，故輸出的n值為4，故選B．17.【2020山西省長治市第二次聯(lián)考】秦九韶算法是中國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶提岀的一種多項式簡化算法。秦九韶算法是一種將一元n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化為n個一次式的算法。其大大簡化了計算過程，即便在現(xiàn)代，利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法。用秦九韶算法計算當(dāng)）時函數(shù)的值時，需要進行加法運算的次數(shù)及函數(shù)值分別為（A．3，5.6426B．4，5.6426C．3，5.6416D．4，5.6416【答案】C【解析】因為，所以加法運算次數(shù)為：，且，故選C.18.【2019屆山東省青島市一模】“結(jié)繩計數(shù)”是遠古時期人類智慧的結(jié)晶，即人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量.如圖所示的是一位農(nóng)民