建筑工程之結(jié)構(gòu)力學(xué)講義兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)(參考2)課件

1（1）主振型m1m2Y21Y11Y12Y22最小圓頻率稱為第一(基本)圓頻率：——第二圓頻率特征方程頻率方程§14-4兩自由度體系的自由振動(dòng)一、剛度法1（1）主振型m1m2Y21Y11Y12Y22最小圓頻率稱為2令主振型二、柔度法2令主振型二、柔度法3三、主振型及主振型的正交性

m1m2Y11Y21由功的互等定理：整理得：m1m2Y12Y22因，則存在：兩個(gè)主振型相互正交，因與質(zhì)量有關(guān)，稱為第一正交關(guān)系。第一主振型第二主振型3三、主振型及主振型的正交性m1m2Y11Y21由功的互等4由功的互等定理：上式分別乘以ω12、ω22，則得：第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它主振型上，不會(huì)引起其它主振型的振動(dòng)；各個(gè)主振型能單獨(dú)存在，而不相互干擾。4由功的互等定理：上式分別乘以ω12、ω22，則得：第一主振5§14-5兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點(diǎn)也作簡諧振動(dòng)：Y1=D1/D0Y2=D2/D0如果荷載頻率θ與任一個(gè)自振頻率ω1、ω2重合，則D0=0,當(dāng)D1、D2不全為零時(shí)，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象....5§14-5兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)y1(t6m2m1k2k1例：質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2當(dāng)m1=m2=m，k1=k2=k6m2m1k2k1例：質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移73.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移動(dòng)力系數(shù)不同。當(dāng)趨于無窮大?？梢娫趦蓚€(gè)自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況73.0-2.0-3.000.6183.01.6182.018l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下。與ω2相應(yīng)的振型是12k2211mkw--2212YY==－1當(dāng)θ=ω2

，D0=0，也有：不會(huì)趨于無窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個(gè)。

對(duì)稱體系在對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振；當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)不會(huì)發(fā)生共振。同理可知：對(duì)稱體系在反對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振。

8l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對(duì)稱結(jié)9kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力yst1=yst2=P/k層間剪力:

Qst1=P動(dòng)荷載產(chǎn)生的位移幅值和內(nèi)力幅值θ2mY2θ2mY1由此可見，在多自由度體系中，沒有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。層間動(dòng)剪力:9kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力10例14-9：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2這說明在右圖結(jié)構(gòu)上，適當(dāng)加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動(dòng)（動(dòng)力吸振器原理）。吸振器不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動(dòng)時(shí)才有必要設(shè)置。設(shè)計(jì)吸振器時(shí)，先根據(jù)m2的許可振幅Y2，選定，再確定10例14-9：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m211例：如圖示梁中點(diǎn)放一電動(dòng)機(jī)。重2500N，電動(dòng)機(jī)使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉(zhuǎn)速為300r/min，產(chǎn)生的動(dòng)荷載幅值P=1kN，問：1）應(yīng)加動(dòng)力吸振器嗎？2）設(shè)計(jì)吸振器。(許可位移為1cm)Psinθt解：1）頻率比在共振區(qū)之內(nèi)應(yīng)設(shè)置吸振器。2）由k2m2彈簧剛度系數(shù)為：N/m=102kg11例：如圖示梁中點(diǎn)放一電動(dòng)機(jī)。重2500N，電動(dòng)機(jī)使梁中點(diǎn)12§14-9近似法求自振頻率1、能量法求第一頻率——Rayleigh法根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)不考慮阻尼自由振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)體系在任何時(shí)刻的動(dòng)能T和應(yīng)變能U

之和應(yīng)等于常數(shù)。根據(jù)簡諧振動(dòng)的特點(diǎn)可知：在體系通過靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動(dòng)能具有最大值），動(dòng)位移為零（應(yīng)變能為零）；當(dāng)體系達(dá)到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動(dòng)能為零）。對(duì)這兩個(gè)特定時(shí)刻，根據(jù)能量守恒定律得：Umax=Tmax

ω求Umax

，Tmax

求頻率

如梁上還有集中質(zhì)量mi，位移幅值.Yi為集中質(zhì)量mi處的位移幅值。12§14-9近似法求自振頻率1、能量法求第一頻率——13假設(shè)位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點(diǎn)：1、必須滿足運(yùn)動(dòng)邊界條件：（鉸支端：Y=0；固定端：Y=0，Y′=0）盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計(jì)。2、所設(shè)位移幅值函數(shù)應(yīng)與實(shí)際振型形狀大致接近；如正好與第

n

主振型相似，則可求的ωn的準(zhǔn)確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計(jì)算高頻率誤差較大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。3、相應(yīng)于第一頻率所設(shè)的振型曲線，應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小，拐點(diǎn)少。4、通?？扇〗Y(jié)構(gòu)在某個(gè)靜荷載q（x）（如自重）作用下的彈性曲線作為Y（x）的近似表達(dá)式。此時(shí)應(yīng)變能可用相應(yīng)荷載q（x）所作的功來代替，即13假設(shè)位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點(diǎn)：1、必須滿足運(yùn)142）假設(shè)均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x)例12試求等截面簡支梁的第一頻率。1）假設(shè)位移形狀函數(shù)為拋物線lyx滿足邊界條件且與第一振型相近3）假設(shè)第一振型的精確解。精確解142）假設(shè)均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x)例1215xh0l例13求楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁截面寬度為1，高度為h=h0x/l。解：單位長度的質(zhì)量：設(shè)位移形狀函數(shù)：滿足邊界條件：

Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設(shè)了一振型曲線代替實(shí)際振型曲線，迫使梁按照這種假設(shè)的形狀振動(dòng)，相當(dāng)于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當(dāng)所設(shè)振型越接近于真實(shí)，則相當(dāng)于對(duì)體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實(shí)，即偏高量越小。截面慣性矩：相比誤差為3%與精確解15xh0l例13求楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁截面寬161、假設(shè)多個(gè)近似振型都滿足前述兩個(gè)條件。2、將它們進(jìn)行線性組合（a1、a2、?????????、an是待定常數(shù)）nnaaaxY┉+++=2211)(jjj3、確定待定常數(shù)的準(zhǔn)則是：獲得最佳的線性組合，這樣的Y（x）代入頻率計(jì)算公式中得到的ω2的值雖仍比精確解偏高，但對(duì)所有的a1，a2，…，an的可能組合，確實(shí)獲得了最小的ω2值。所選的a1，a2，…，an使ω2獲得最小值的條件是這是以a1，a2，…，an為未知量的n個(gè)奇次線性代數(shù)方程。令其系數(shù)行列式等于零，得到頻率方程，可以解出原體系最低n階頻率來。階次越低往往越準(zhǔn)。為了使假設(shè)的振型盡可能的接近真實(shí)振型，盡可能減小假設(shè)振型對(duì)體系所附加的約束，Ritz

提出了改進(jìn)方法：161、假設(shè)多個(gè)近似振型都滿足前述兩個(gè)條件。2、將它172w2w2w2w2w172w2w2w2w2w18例14用Rayleigh—Ritz

法求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。xl解：懸臂梁的位移邊界條件為：（在左端）Y’=0Y=0只取第一項(xiàng)代入：代入頻率方程：其精確解：與精確解相比，誤差為27%。18例14用Rayleigh—Ritz法求等截面懸臂19例14用Rayleigh—Ritz法求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。xl解：取兩項(xiàng)代入：代入頻率方程：求得kij，mij：求得最初兩個(gè)頻率近似值：（0.48%）（58%）說明說明：1)由于φ1、φ2均近似于第一振型，由它們組合的第二振型自然很差，故第二頻率不準(zhǔn)。2)Rayleigh—Ritz法所得結(jié)果仍然偏高，其原因同瑞利法。19例14用Rayleigh—Ritz法求等截面懸臂梁202、集中質(zhì)量法在計(jì)算無限自由度體系的自振頻率時(shí)，可以用若干個(gè)集中質(zhì)量來代替連續(xù)分布的質(zhì)量。關(guān)于質(zhì)量的集中方法有多種，最簡單的是靜力等效的集中質(zhì)量法。該法既可求基本頻率，也可求較高頻率。且適用于各類結(jié)構(gòu)。集中質(zhì)量的數(shù)目越多結(jié)果越精確，但工作量也就越大。等效原則：使集中后的重力與原重力互為靜力等效，即兩者的合力相等。作法：將桿分為若干段，將每段質(zhì)量集中于其質(zhì)心或集中于兩端。l例15試用集中質(zhì)量法求簡支梁自振頻率。202、集中質(zhì)量法在計(jì)算無限自由度體系的自振21ll/3l/3(－0.7%）l/3l/3l/3l/3l/3l/3l/3(－0.1%）(－3.1%）(－0.05%）(－4.8%）(－0.7%）21ll/3l/3(－0.7%）l/3l/3l/3l/3l/22對(duì)于對(duì)稱剛架，可分別用不同的集中質(zhì)量方案求出對(duì)稱振動(dòng)和反對(duì)稱振動(dòng)的自振頻率。2ll2ll最小頻率對(duì)應(yīng)著反對(duì)稱振型22對(duì)于對(duì)稱剛架，可分別用不同的集中質(zhì)量方案求出對(duì)稱23（1）主振型m1m2Y21Y11Y12Y22最小圓頻率稱為第一(基本)圓頻率：——第二圓頻率特征方程頻率方程§14-4兩自由度體系的自由振動(dòng)一、剛度法1（1）主振型m1m2Y21Y11Y12Y22最小圓頻率稱為24令主振型二、柔度法2令主振型二、柔度法25三、主振型及主振型的正交性

m1m2Y11Y21由功的互等定理：整理得：m1m2Y12Y22因，則存在：兩個(gè)主振型相互正交，因與質(zhì)量有關(guān)，稱為第一正交關(guān)系。第一主振型第二主振型3三、主振型及主振型的正交性m1m2Y11Y21由功的互等26由功的互等定理：上式分別乘以ω12、ω22，則得：第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它主振型上，不會(huì)引起其它主振型的振動(dòng)；各個(gè)主振型能單獨(dú)存在，而不相互干擾。4由功的互等定理：上式分別乘以ω12、ω22，則得：第一主振27§14-5兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點(diǎn)也作簡諧振動(dòng)：Y1=D1/D0Y2=D2/D0如果荷載頻率θ與任一個(gè)自振頻率ω1、ω2重合，則D0=0,當(dāng)D1、D2不全為零時(shí)，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象....5§14-5兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動(dòng)y1(t28m2m1k2k1例：質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2當(dāng)m1=m2=m，k1=k2=k6m2m1k2k1例：質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移293.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移動(dòng)力系數(shù)不同。當(dāng)趨于無窮大。可見在兩個(gè)自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況73.0-2.0-3.000.6183.01.6182.0130l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下。與ω2相應(yīng)的振型是12k2211mkw--2212YY==－1當(dāng)θ=ω2

，D0=0，也有：不會(huì)趨于無窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個(gè)。

對(duì)稱體系在對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振；當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)不會(huì)發(fā)生共振。同理可知：對(duì)稱體系在反對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振。

8l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對(duì)稱結(jié)31kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力yst1=yst2=P/k層間剪力:

Qst1=P動(dòng)荷載產(chǎn)生的位移幅值和內(nèi)力幅值θ2mY2θ2mY1由此可見，在多自由度體系中，沒有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。層間動(dòng)剪力:9kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力32例14-9：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2這說明在右圖結(jié)構(gòu)上，適當(dāng)加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動(dòng)（動(dòng)力吸振器原理）。吸振器不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動(dòng)時(shí)才有必要設(shè)置。設(shè)計(jì)吸振器時(shí)，先根據(jù)m2的許可振幅Y2，選定，再確定10例14-9：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m233例：如圖示梁中點(diǎn)放一電動(dòng)機(jī)。重2500N，電動(dòng)機(jī)使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉(zhuǎn)速為300r/min，產(chǎn)生的動(dòng)荷載幅值P=1kN，問：1）應(yīng)加動(dòng)力吸振器嗎？2）設(shè)計(jì)吸振器。(許可位移為1cm)Psinθt解：1）頻率比在共振區(qū)之內(nèi)應(yīng)設(shè)置吸振器。2）由k2m2彈簧剛度系數(shù)為：N/m=102kg11例：如圖示梁中點(diǎn)放一電動(dòng)機(jī)。重2500N，電動(dòng)機(jī)使梁中點(diǎn)34§14-9近似法求自振頻率1、能量法求第一頻率——Rayleigh法根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)不考慮阻尼自由振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)體系在任何時(shí)刻的動(dòng)能T和應(yīng)變能U

之和應(yīng)等于常數(shù)。根據(jù)簡諧振動(dòng)的特點(diǎn)可知：在體系通過靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動(dòng)能具有最大值），動(dòng)位移為零（應(yīng)變能為零）；當(dāng)體系達(dá)到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動(dòng)能為零）。對(duì)這兩個(gè)特定時(shí)刻，根據(jù)能量守恒定律得：Umax=Tmax

ω求Umax

，Tmax

求頻率

如梁上還有集中質(zhì)量mi，位移幅值.Yi為集中質(zhì)量mi處的位移幅值。12§14-9近似法求自振頻率1、能量法求第一頻率——35假設(shè)位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點(diǎn)：1、必須滿足運(yùn)動(dòng)邊界條件：（鉸支端：Y=0；固定端：Y=0，Y′=0）盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計(jì)。2、所設(shè)位移幅值函數(shù)應(yīng)與實(shí)際振型形狀大致接近；如正好與第

n

主振型相似，則可求的ωn的準(zhǔn)確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計(jì)算高頻率誤差較大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。3、相應(yīng)于第一頻率所設(shè)的振型曲線，應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小，拐點(diǎn)少。4、通常可取結(jié)構(gòu)在某個(gè)靜荷載q（x）（如自重）作用下的彈性曲線作為Y（x）的近似表達(dá)式。此時(shí)應(yīng)變能可用相應(yīng)荷載q（x）所作的功來代替，即13假設(shè)位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點(diǎn)：1、必須滿足運(yùn)362）假設(shè)均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x)例12試求等截面簡支梁的第一頻率。1）假設(shè)位移形狀函數(shù)為拋物線lyx滿足邊界條件且與第一振型相近3）假設(shè)第一振型的精確解。精確解142）假設(shè)均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x)例1237xh0l例13求楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁截面寬度為1，高度為h=h0x/l。解：單位長度的質(zhì)量：設(shè)位移形狀函數(shù)：滿足邊界條件：

Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設(shè)了一振型曲線代替實(shí)際振型曲線，迫使梁按照這種假設(shè)的形狀振動(dòng)，相當(dāng)于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當(dāng)所設(shè)振型越接近于真實(shí)，則相當(dāng)于對(duì)體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實(shí)，即偏高量越小。截面慣性矩：相比誤差為3%與精確解15xh0l例13求楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁截面寬381、假設(shè)多個(gè)近似振型都滿足前述兩個(gè)條件。2、將它們進(jìn)行線性組合（a1、a2、?????????、an是待定常數(shù)）nnaaaxY┉+++=2211)(jjj3、確定待定常數(shù)的準(zhǔn)則是：獲得最佳的線性組合，這樣的Y（x）代入頻率計(jì)算公式中得到的ω2的值雖仍比精確解偏高，但對(duì)所有的a1，a2，…，an的可能組合，確實(shí)獲得了最小的ω2值。所選的a1，a2，…，an使ω2獲得最小值的條件是這是以a1，a2，…，an為未知量的n個(gè)奇次線性代數(shù)方程。令其系數(shù)行列式等于零，得到頻率方程，可以解出原體系最低n階頻率來。階次越低往往越準(zhǔn)。為了使假設(shè)的振型盡可能的接近真實(shí)振型，盡可能減小假設(shè)振型對(duì)體系所附加的約束，Ritz

提出了改進(jìn)方