概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識分享課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》，魏宗舒等編，高等教育出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》，魏宗舒等編第一章隨機事件及其概率隨機事件及其運算概率與頻率古典概率與幾何概率概率公理化的定義及其性質條件概率、全概率公式和貝葉斯公式事件的獨立性貝努里概型

第一章隨機事件及其概率隨機事件及其運算1.1隨機事件及其運算一些試驗的例

E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;

E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；

E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);

E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；

E5:記錄某網(wǎng)站一分鐘內受到的點擊次數(shù)；

E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;

E7:任選一人，記錄他的身高和體重。一、隨機試驗(簡稱“試驗”)1.1隨機事件及其運算一些試驗的例一、隨機試驗(簡稱“試1.可在相同條件下重復進行；2.每次試驗可能結果不止一個,但能確定所有的可能結果;

3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結果出現(xiàn)。

隨機試驗可表為E

隨機試驗的特點(p3)1.可在相同條件下重復進行；隨機試驗的特點(p3)

1、樣本空間：試驗的所有可能結果所組成的集合稱為樣本空間，記為?(或S)={e}；2、樣本點:試驗的每一個結果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為e.

3.由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件,也記為e.

EX給出E1-E7的樣本空間二、樣本空間(p3)1、樣本空間：試驗的所有可能結果所組成的集合稱為樣本空間

(1).定義(p4)試驗中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機事件”,簡稱“事件”.記作A、B、C等

任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發(fā)生當且僅當試驗的結果是子集A中的元素

(2).兩個特殊事件:必然事件S、不可能事件.(p4-5)

例：

對于試驗E2

，以下A、B、C即為三個隨機事件:

A＝“至少出一個正面”

＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“三次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}；C=“恰好出現(xiàn)一次正面”

={HTT，THT，TTH}

例：試驗E6中，D＝“燈泡壽命超過1000小時”

＝{x:1000<x<T(小時）}。3隨機事件(1).定義(p4)試驗中可能出現(xiàn)或可能不三、事件的關系

1.包含關系（子事件）(p5)：A發(fā)生必導致B發(fā)生，記為AB

相等關系（p6）：A＝BAB且BA.三、事件的關系1.包含關系（子事件）(p5)：A發(fā)(p6)：事件A與B至少有一個發(fā)生，記作AB2’n個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作2.和事件(p6)：事件A與B至少有一個發(fā)生，記作AB2’n個事件A

(p6):A與B同時發(fā)生，記作

AB＝AB3’n個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作

A1A2…An3.積事件(p6):A與B同時發(fā)生，記作AB＝AB3’n個4.差事件(p7)：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生4.差事件(p7)：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)5.互斥的事件(p7)：AB＝

5.互斥的事件(p7)：AB＝6.互逆的事件(p8)

AB＝,且AB＝

6.互逆的事件(p8)AB＝,且AB＝四、事件的運算律(p5)1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶(DeMorgan)律：四、事件的運算律(p5)1、交換律：AB＝BA，AB＝B

例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別練習1.寫出隨機試驗E的樣本空間、樣本點及所列出的隨機事件（1）擲一顆骰子.A={出現(xiàn)偶數(shù)點}；（2）5件產品中有一件廢品，從中任取兩件.B={從中任取兩件得一件廢品}；（3）向xoy面上的單位圓內投點.C={投點落在單位圓內}練習1.寫出隨機試驗E的樣本空間、樣本點及所列出的隨機事件2.某地區(qū)有1000人是1925年出生的，E：考察到2005年還有幾個人活著。

（1）寫出E的樣本空間；（2）設A={只有10個人活著}，B={至少有30個人活著}，C={最多有5個人活著}，問：A與B、A與C、B與C是否互不相容？A、B、C的對立事件是什么？2.某地區(qū)有1000人是1925年出生的，E：考察到20051.2概率與頻率

1、概率：從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值），記作P（A）2、頻率

定義:(p14)在相同條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA稱為的A頻數(shù)

，比值nA/n稱為事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).即

fn(A)＝nA/n.

歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。1.2概率與頻率1、概率：從直觀上來看，事件A的頻率的性質(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).

3、概率與頻率

實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率。因此，概率應具有與頻率同樣的性質。頻率的性質3、概率與頻率一、古典概型(p16)若某實驗E滿足：1.有限性：樣本空間S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：P(e1)=P(e2)=…=P(en).則稱E為古典概型也叫等可能概型。1.3古典概型一、古典概型(p16)1.3古典概型

設事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點總數(shù)，則有P(A)具有如下性質：(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則

P(AB

)＝P(A)＋P(B)二、古典概型中的概率設事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(S)例1:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?

例1:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,例1.6：在盒子中有十個相同的球，分別標為號碼1、2、…、10，從中任取一球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率。例1.6：在盒子中有十個相同的球，分別標為號碼

乘法公式：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法。復習：排列與組合的基本概念三、古典概型的幾類基本問題

加法公式：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。乘法公式：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,

有重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結果后放回，將記錄結果排成一列，共有nk種排列方式.

無重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.有重復排列：從含有n個元素的集合中隨機無重復排

組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，共有種取法.組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，種取法.1、抽球問題

例1:設盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。

答:取到一紅一白的概率為3/5

一般地，設盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是1、抽球問題答:取到一紅一白的概率為3/5

例2：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？2、分球入盒問題(分房問題)一般地，把n個球隨機地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：例2：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：2、分球入盒

例3：30名學生中有3名運動員，將這30名學生平均分成3組，求：

（1）每組有一名運動員的概率；

（2）3名運動員集中在一個組的概率。3.分組問題

一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i

組恰有ni個球(i=1,…m)，共有分法：例3：30名學生中有3名運動員，將這30例4:從1到200這200個自然數(shù)中任取一個,(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率；(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率;(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率。4隨機取數(shù)問題例4:從1到200這200個自然數(shù)中任取一個,4隨機取數(shù)問1.4幾何概率

一、幾個例子例1：某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待時間短于10分鐘的概率(半點報時)。

1.4幾何概率一、幾個例子

例2：如果在一個5萬平方公里的海域里有表面積達40平方公里的大陸架儲藏著石油，假如在這海域里隨意選定一點鉆探，問鉆到石油的概率是多少？

例3：在40毫升自來水里有一個細菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)細菌的概率。例2：如果在一個5萬平方公里的海域里有表面積二、定義若記A={在區(qū)域S中隨機地任取一點，而該點落在區(qū)域g中}，則這一類概率稱為幾何概率。二、定義若記A={在區(qū)域S中隨機地任取一點

例1.11：甲乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去。求兩人會面的概率。

解：以x和y分別表示甲乙兩人到達約會地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件為在平面上建立直角坐標系如圖，

則

15601560Y=x+15Y=x-15例1.11：甲乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，三、幾何概率的基本性質

（1）0P(A)1；（2）P(S)＝1；P()=0；（3）若，A1,A2,…An…兩兩互不相容，則

（可列可加性）。

三、幾何概率的基本性質（1）0P(A)1；1.5概率的公理化定義1.5概率的公理化定義1.定義(p29)

若對隨機試驗E所對應的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)P(A)≥0；(2)P()＝1； (3)可列可加性：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)則稱P(A)為事件A的概率。1.定義(p29)若對隨機試驗E所對應的樣本空間中的每2.概率的性質

P(29-31)

(1)有限可加性：設A1，A2，…An,是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n則有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差

：A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)單調不減性：若事件AB，則P(A)≥P(B)2.概率的性質P(29-31)(4)加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形；(5)互補性：P(A)＝1－P(A);(6)可分性：對任意兩事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋P(AB).

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例：某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.例：某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人1.6條件概率1.6條件概率一般地，設A、B是S中的兩個事件，P(A)>0,則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。一般地，設A、B是S中的兩個事件，P(A)>0,則稱為事件A

例2.一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。例2.一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白二、乘法公式

設A、B，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.6.2)式(1.6.2)就稱為事件A、B的概率乘法公式。

式(1.6.2)還可推廣到三個事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.6.3)

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.6.4)二、乘法公式設A、B，P（A）>0,則

例3盒中有3個紅球，2個白球，，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設Ai為第i次取球時取到白球，則例3盒中有3個紅球，2個白球，，每次從袋中任取一只，三、全概率公式與貝葉斯公式

例4.市場上有甲、乙、丙三家工廠生產的同一品牌產品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產品的次品率。三、全概率公式與貝葉斯公式例4.市場上有甲、乙、丙三

定義：事件組A1，A2，…，An(n可為)，稱為樣本空間S的一個劃分，若滿足：A1A2……………AnB定義：事件組A1，A2，…，An(n可為)

定理1：設A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對S的任何事件B有

式(1.6.5)就稱為全概率公式定理1：設A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai例5有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球．這六個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？例5有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，定理2：設A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對S的任何事件B，有

式(1.6.6)就稱為貝葉斯公式。定理2：設A1，…,An是S的一個劃分，例：設某一工廠有A、B、C三個車間，他們生產同一種螺釘，每個車間的產量分別占該廠生產螺釘總產量的25﹪,35﹪,40﹪,每個車間的次品率分為5﹪，4﹪，2﹪。求（1）從全廠總產品中抽取一件產品，得到次品的概率；（2）如果從全廠總產品中抽取一件產品，得到次品，那么它是車間A生產的概率。解：A1={是A車間生產的}，A2={是車間B生產的}，A3={是C車間生產的}，B={從全廠總產品中抽取一件產品，得到次品}。（1）（2）例：設某一工廠有A、B、C三個車間，他們生產1.7事件的獨立性

一、兩事件獨立

定義1：設A、B是兩事件，P(A)≠0,若

P(B)＝P(B|A)(1.7.1)則稱事件A與B相互獨立。式(1.5.1)等價于：

P(AB)＝P(A)P(B)(1.7.2)1.7事件的獨立性

一、兩事件獨立定義1：設A、

定理：以下四件事等價：(1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立；(3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。證明：（1）推出（2）由A與B相互獨立，有即A、B相互獨立定理：以下四件事等價：證明：（1）推出（2二、多個事件的獨立定義2、(p46)

若三個事件A、B、C滿足：(1)

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立；若在此基礎上還滿足：(2)

P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),(1.7.3)則稱事件A、B、C相互獨立。二、多個事件的獨立定義2、(p46)若三個事件A、B、C滿

一般地，設A1，A2，…，An是n個事件，如果對任意k(1kn),任意的1i1i2…

ik

n，具有等式

P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)(1.7.4)則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立。

一般地，設A1，A2，…，An是n個事件，如三、事件獨立性的應用1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，…，An相互獨立,則

(1.7.5)2、在可靠性理論上的應用例1：如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。三、事件獨立性的應用1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，…

例2:一工人照看三臺機器，在一小時內甲、乙、丙三個機器需照看的概率分別為0.9、0.8、0.85，求（1）在一小時內沒有一臺機器需照看的概率；（2）至少有一臺機器不需照看的概率。例2:一工人照看三臺機器，在一小時內甲、乙、丙三個機

1.8貝努里概型

一、貝努里試驗

1、定義：如果試驗只有兩個可能結果：及且，則稱E為貝努里試驗。

將貝努里試驗獨立地重復n次的試驗，稱為n重貝努里試驗。1.8貝努里概型

一、貝努里試驗1、定義

2、定理：在貝努里試驗中，A發(fā)生的概率為，則在n次獨立重復試驗中，A恰好發(fā)生k次的概率為2、定理：在貝努里試驗中，A發(fā)生的概率為二、應用

例1.24（P49）：金工車間有10臺同類型的機床，每臺機床配備的電動機功率為10千瓦，已知每臺機床工作時，平均每小時實際開動12分鐘，且開動與否是相互獨立的?，F(xiàn)因當?shù)仉娏o張，供電部門只提供50千瓦的電力給這10臺機床，問這10臺機床能夠正常工作的概率為多大？

解：設A={10臺機床能夠正常工作}，Ai={第i臺機床開動}，X表示10臺機床中正在開動著的機床臺數(shù)。則P(Ai)=12|60=1|5=0.2。于是，有二、應用

例1.24（P49）：金工車例1.25：某大學校乒乓球隊與數(shù)學系乒乓球隊舉行對抗賽。校隊的實力較系隊較強，當一個校隊運動員與一個系隊運動員比賽時，校隊運動員獲勝的概率為0.6?，F(xiàn)在校、系雙方商量對抗賽的方式，提出了三種方案：（1）雙方各出3人；（2）雙方各出5人；（3）雙方各出7人。三種方案中均以比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝。問：對系隊來說，哪一種方案有利？

解：設系隊得勝的人數(shù)為X，則在上述三種方案中系隊得勝的概率為：

例1.25：某大學校乒乓球隊與數(shù)學系乒乓球隊舉行對抗

三、練習1、某電燈泡使用時數(shù)在1000以上小時的概率為0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后，最多只有一個壞的概率。三、練習

2、設有5門高射炮同時獨立地向敵人射擊一發(fā)炮彈，每門炮射擊一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率均為0.6，若至少有2發(fā)炮彈擊中敵機，敵機才被擊落，求敵機被擊落的概率。2、設有5門高射炮同時獨立地向敵人射擊一發(fā)炮彈，每門THANKYOU此課件下載可自行編輯修改，僅供參考！

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第一章隨機事件及其概率隨機事件及其運算1.1隨機事件及其運算一些試驗的例

E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;

E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；

E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);

E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；

E5:記錄某網(wǎng)站一分鐘內受到的點擊次數(shù)；

E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;

E7:任選一人，記錄他的身高和體重。一、隨機試驗(簡稱“試驗”)1.1隨機事件及其運算一些試驗的例一、隨機試驗(簡稱“試1.可在相同條件下重復進行；2.每次試驗可能結果不止一個,但能確定所有的可能結果;

3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結果出現(xiàn)。

隨機試驗可表為E

隨機試驗的特點(p3)1.可在相同條件下重復進行；隨機試驗的特點(p3)

1、樣本空間：試驗的所有可能結果所組成的集合稱為樣本空間，記為?(或S)={e}；2、樣本點:試驗的每一個結果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為e.

3.由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件,也記為e.

EX給出E1-E7的樣本空間二、樣本空間(p3)1、樣本空間：試驗的所有可能結果所組成的集合稱為樣本空間

(1).定義(p4)試驗中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機事件”,簡稱“事件”.記作A、B、C等

任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發(fā)生當且僅當試驗的結果是子集A中的元素

(2).兩個特殊事件:必然事件S、不可能事件.(p4-5)

例：

對于試驗E2

，以下A、B、C即為三個隨機事件:

A＝“至少出一個正面”

＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“三次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}；C=“恰好出現(xiàn)一次正面”

={HTT，THT，TTH}

例：試驗E6中，D＝“燈泡壽命超過1000小時”

＝{x:1000<x<T(小時）}。3隨機事件(1).定義(p4)試驗中可能出現(xiàn)或可能不三、事件的關系

1.包含關系（子事件）(p5)：A發(fā)生必導致B發(fā)生，記為AB

相等關系（p6）：A＝BAB且BA.三、事件的關系1.包含關系（子事件）(p5)：A發(fā)(p6)：事件A與B至少有一個發(fā)生，記作AB2’n個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作2.和事件(p6)：事件A與B至少有一個發(fā)生，記作AB2’n個事件A

(p6):A與B同時發(fā)生，記作

AB＝AB3’n個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作

A1A2…An3.積事件(p6):A與B同時發(fā)生，記作AB＝AB3’n個4.差事件(p7)：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生4.差事件(p7)：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)5.互斥的事件(p7)：AB＝

5.互斥的事件(p7)：AB＝6.互逆的事件(p8)

AB＝,且AB＝

6.互逆的事件(p8)AB＝,且AB＝四、事件的運算律(p5)1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶(DeMorgan)律：四、事件的運算律(p5)1、交換律：AB＝BA，AB＝B

例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別練習1.寫出隨機試驗E的樣本空間、樣本點及所列出的隨機事件（1）擲一顆骰子.A={出現(xiàn)偶數(shù)點}；（2）5件產品中有一件廢品，從中任取兩件.B={從中任取兩件得一件廢品}；（3）向xoy面上的單位圓內投點.C={投點落在單位圓內}練習1.寫出隨機試驗E的樣本空間、樣本點及所列出的隨機事件2.某地區(qū)有1000人是1925年出生的，E：考察到2005年還有幾個人活著。

（1）寫出E的樣本空間；（2）設A={只有10個人活著}，B={至少有30個人活著}，C={最多有5個人活著}，問：A與B、A與C、B與C是否互不相容？A、B、C的對立事件是什么？2.某地區(qū)有1000人是1925年出生的，E：考察到20051.2概率與頻率

1、概率：從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值），記作P（A）2、頻率

定義:(p14)在相同條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA稱為的A頻數(shù)

，比值nA/n稱為事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).即

fn(A)＝nA/n.

歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。1.2概率與頻率1、概率：從直觀上來看，事件A的頻率的性質(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).

3、概率與頻率

實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率。因此，概率應具有與頻率同樣的性質。頻率的性質3、概率與頻率一、古典概型(p16)若某實驗E滿足：1.有限性：樣本空間S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：P(e1)=P(e2)=…=P(en).則稱E為古典概型也叫等可能概型。1.3古典概型一、古典概型(p16)1.3古典概型

設事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點總數(shù)，則有P(A)具有如下性質：(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則

P(AB

)＝P(A)＋P(B)二、古典概型中的概率設事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(S)例1:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?

例1:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,例1.6：在盒子中有十個相同的球，分別標為號碼1、2、…、10，從中任取一球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率。例1.6：在盒子中有十個相同的球，分別標為號碼

乘法公式：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法。復習：排列與組合的基本概念三、古典概型的幾類基本問題

加法公式：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。乘法公式：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,

有重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結果后放回，將記錄結果排成一列，共有nk種排列方式.

無重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.有重復排列：從含有n個元素的集合中隨機無重復排

組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，共有種取法.組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，種取法.1、抽球問題

例1:設盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。

答:取到一紅一白的概率為3/5

一般地，設盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是1、抽球問題答:取到一紅一白的概率為3/5

例2：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？2、分球入盒問題(分房問題)一般地，把n個球隨機地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：例2：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：2、分球入盒

例3：30名學生中有3名運動員，將這30名學生平均分成3組，求：

（1）每組有一名運動員的概率；

（2）3名運動員集中在一個組的概率。3.分組問題

一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i

組恰有ni個球(i=1,…m)，共有分法：例3：30名學生中有3名運動員，將這30例4:從1到200這200個自然數(shù)中任取一個,(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率；(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率;(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率。4隨機取數(shù)問題例4:從1到200這200個自然數(shù)中任取一個,4隨機取數(shù)問1.4幾何概率

一、幾個例子例1：某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待時間短于10分鐘的概率(半點報時)。

1.4幾何概率一、幾個例子

例2：如果在一個5萬平方公里的海域里有表面積達40平方公里的大陸架儲藏著石油，假如在這海域里隨意選定一點鉆探，問鉆到石油的概率是多少？

例3：在40毫升自來水里有一個細菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)細菌的概率。例2：如果在一個5萬平方公里的海域里有表面積二、定義若記A={在區(qū)域S中隨機地任取一點，而該點落在區(qū)域g中}，則這一類概率稱為幾何概率。二、定義若記A={在區(qū)域S中隨機地任取一點

例1.11：甲乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去。求兩人會面的概率。

解：以x和y分別表示甲乙兩人到達約會地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件為在平面上建立直角坐標系如圖，

則

15601560Y=x+15Y=x-15例1.11：甲乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，三、幾何概率的基本性質

（1）0P(A)1；（2）P(S)＝1；P()=0；（3）若，A1,A2,…An…兩兩互不相容，則

（可列可加性）。

三、幾何概率的基本性質（1）0P(A)1；1.5概率的公理化定義1.5概率的公理化定義1.定義(p29)

若對隨機試驗E所對應的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)P(A)≥0；(2)P()＝1； (3)可列可加性：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)則稱P(A)為事件A的概率。1.定義(p29)若對隨機試驗E所對應的樣本空間中的每2.概率的性質

P(29-31)

(1)有限可加性：設A1，A2，…An,是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n則有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差

：A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)單調不減性：若事件AB，則P(A)≥P(B)2.概率的性質P(29-31)(4)加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形；(5)互補性：P(A)＝1－P(A);(6)可分性：對任意兩事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋P(AB).

概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識分享課件

例：某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.例：某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人1.6條件概率1.6條件概率一般地，設A、B是S中的兩個事件，P(A)>0,則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。一般地，設A、B是S中的兩個事件，P(A)>0,則稱為事件A

例2.一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。例2.一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白二、乘法公式

設A、B，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.6.2)式(1.6.2)就稱為事件A、B的概率乘法公式。

式(1.6.2)還可推廣到三個事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.6.3)

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.6.4)二、乘法公式設A、B，P（A）>0,則

例3盒中有3個紅球，2個白球，，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設Ai為第i次取球時取到白球，則例3盒中有3個紅球，2個白球，，每次從袋中任取一只，三、全概率公式與貝葉斯公式

例4.市場上有甲、乙、丙三家工廠生產的同一品牌產品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產品的次品率。三、全概率公式與貝葉斯公式例4.市場上有甲、乙、丙三

定義：事件組A1，A2，…，An(n可為)，稱為樣本空間S的一個劃分，若滿足：A1A2……………AnB定義：事件組A1，A2，…，An(n可為)

定理1：設A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對S的任何事件B有

式(1.6.5)就稱為全概率公式定理1：設A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai例5有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球．這六個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？例5有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，定理2：設A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對S的任何事件B，有

式(1.6.6)就稱為貝葉斯公式。定理2：設A1，…,An是S的一個劃分，例：設某一工廠有A、B、C三個車間，他們生產同一種螺釘，每個車間的產量分別占該廠生產螺釘總產量的25﹪,35﹪,40﹪,每個車間的次品率分為5﹪，4﹪，2﹪。求（1）從全廠總產品中抽取一件產品，得到次品的概率；（2）如果從全廠總產品中抽取一件產品，得到次品，那么它是車間A生產的概率。解：A1={是A車間生產的}，A2={是車間B生產的}，A3={是C車間生產的}，B={從全廠總產品中抽取一件產品，得到次品}。（1）（2）例：設某一工廠有A、B、C三個車間，他們生產1.7事件的獨立性

一、兩事件獨立

定義1：設A、B是兩事件，P(A)≠0,若

P(B)＝P(B|A)(1.7.1)則稱事件A與B相互獨立。式(1.5.1)等價于：

P(AB)＝P(A)P(B)(1.7.2)1.7事件的獨立