材料力學(xué)Ⅰ電子教案7

第六章簡單的超靜定問題§6-1

超靜定問題及其解法§6-2

拉壓超靜定問題§6-3

扭轉(zhuǎn)超靜定問題§6-4

簡單超靜定梁1§6-1超靜定問題及其解法Ⅰ.關(guān)于超靜定問題的概述第六章簡單的超靜定問題(a)(b)2圖a所示靜定桿系為減小桿1,2中的內(nèi)力或節(jié)點(diǎn)A的位移(如圖b)而增加了桿3。此時有三個未知內(nèi)力FN1,FN2,FN3，但只有二個獨(dú)立的平衡方程──一次超靜定問題。第六章簡單的超靜定問題(a)(b)3圖a所示簡支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖b增加了中間支座C成為連續(xù)梁。此時有四個未知約束力FAx,FA,FB,FC，但只有三個獨(dú)立的靜力平衡方程──一次超靜定問題。

超靜定問題(staticallyindeterminateproblem)：單憑靜力平衡方程不能求解約束力或構(gòu)件內(nèi)力的問題。第六章簡單的超靜定問題FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxABqFBFA4Ⅱ.解超靜定問題的基本思路例1超靜定結(jié)構(gòu)(staticallyindeterminatestructure)解除“多余”約束基本靜定系(primarystaticallydeterminatesystem)(例如桿3與接點(diǎn)A的連接)第六章簡單的超靜定問題5在基本靜定系上加上原有荷載及“多余”未知力并使“多余”約束處滿足變形(位移)相容條件相當(dāng)系統(tǒng)(equivalentsystem)12BCAFFN3FN3AD第六章簡單的超靜定問題6于是可求出多余未知力FN3。由位移相容條件

，利用物理關(guān)系(位移或變形計算公式)可得補(bǔ)充方程：第六章簡單的超靜定問題12BCAFFN3FN3AD7基本靜定系A(chǔ)Bl補(bǔ)充方程為于是可求出多余未知力FC。第六章簡單的超靜定問題位移相容條件ΔCq+ΔCFC=0相當(dāng)系統(tǒng)ABl/2qlFC例2超靜定梁yxl/2l/2CABq8Ⅲ.注意事項

(1)超靜定次數(shù)=“多余”約束數(shù)=“多余”未知力=位移相容條件數(shù)=補(bǔ)充方程數(shù)，因而任何超靜定問題都是可以求解的。(2)求出“多余”未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計算。

(3)無論怎樣選擇“多余”約束，只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力情況和約束條件確實(shí)與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終結(jié)果是一樣的。第六章簡單的超靜定問題9

(4)“多余”約束的選擇雖然是任意的，但應(yīng)以計算方便為原則。如上所示連續(xù)梁若取B處鉸支座為“多余”約束，則求解比較復(fù)雜。第六章簡單的超靜定問題xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq10§6-2拉壓超靜定問問題Ⅰ.拉壓超靜定基基本問題例題6-1求圖a所示等直桿AB上,下端的約束力，并求C截面的位移。。桿的拉壓剛剛度為EA。解:1.有兩個未知約束力FA,FB(見圖a)，但只有一個獨(dú)獨(dú)立的平衡方方程FA+FB-F=0故為一次超靜靜定問題。第六章簡單單的超靜定問問題112.取固定端B為“多余”約約束。相應(yīng)的的相當(dāng)系統(tǒng)如如圖b，它應(yīng)滿足相容容條件ΔBF+ΔBB=0，參見圖c，d。第六章簡單單的超靜定問問題3.補(bǔ)充方程為由此求得所得FB為正值，表示示FB的指向與假設(shè)設(shè)的指向相符符，即向上。。12得FA=F-Fa/l=Fb/l。5.利用相當(dāng)系統(tǒng)統(tǒng)(如圖)求得4.由平衡方程FA+FB-F=0第六章簡單單的超靜定問問題13例題求圖a所示結(jié)構(gòu)中桿1,2,3的內(nèi)力FN1,FN2,FN3。桿AB為剛性桿，桿桿1,2,3的拉壓剛度均均為EA。第六章簡單單的超靜定問問題aaaACDB132EFF(a)a14解：1.共有五個未知知力，如圖b所示，但只有有三個獨(dú)立的的靜力平衡方方程，故為二二次超靜定問問題。2.取桿1與結(jié)點(diǎn)C處的連接以及及桿2與結(jié)點(diǎn)D處的連接為多多余約束，得得基本靜定系系如圖c。CD3(c)第六章簡單單的超靜定問問題FFAyFAxFN1FN3FN2(b)153.相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿滿足的變形相相容條件如圖圖d所示為FN2DDl2FFCADl1Dl3Dl2FBFN2DFN13(d)第六章簡單單的超靜定問問題FN1CDl1E4.根據(jù)相容條件件，利用物理理方程得補(bǔ)充充方程：即FN1=2FN3,FN2=2FN1=4FN3165.將上述二個補(bǔ)補(bǔ)充方程與由由平衡條件ΣMA=0所得平衡方程程聯(lián)立求解得第六章簡單單的超靜定問問題FN1=2FN3,FN2=2FN1=4FN3FFAyFAxFN1FN3FN2(b)17Ⅱ.裝配應(yīng)力和溫溫度應(yīng)力(1)裝配應(yīng)力超靜定桿系(結(jié)構(gòu))由于存在“多多余”約束，，因此如果各各桿件在制造造時長度不相相匹配，則組組裝后各桿中中將產(chǎn)生附加加內(nèi)力──裝配內(nèi)力，以及相應(yīng)的的裝配應(yīng)力。第六章簡單單的超靜定問問題18圖a中所示桿系(E1A1=E2A2)中桿3的長度較應(yīng)有有長度短了De，裝配后各桿的的位置將如圖圖中虛線所示示。此時，桿桿3在結(jié)點(diǎn)A'處受到裝配力力FN3作用(圖b)，而桿1,2在匯交點(diǎn)A'處共同承受與與桿3相同的裝配力力FN3作用(圖b)。第六章簡單單的超靜定問問題(a)(b)19求算FN3需利用位移(變形)相容條件(圖a)列出補(bǔ)充方程程由此可得裝配配力FN3，亦即桿3中的裝配內(nèi)力力為第六章簡單單的超靜定問問題(拉力）(a)20至于各桿橫截截面上的裝配配應(yīng)力只需將將裝配內(nèi)力(軸力)除以桿的橫截截面面積即得得。由此可見，計計算超靜定桿桿系(結(jié)構(gòu))中的裝配力和和裝配應(yīng)力的的關(guān)鍵,仍在于根據(jù)位位移(變形)相容條件并利利用物理關(guān)系系列出補(bǔ)充方方程。而桿1和桿2中的裝配內(nèi)力力利用圖b中右側(cè)的圖可可知為第六章簡單單的超靜定問問題21例題6-3兩端用剛性塊塊連接在一起起的兩根相同同的鋼桿1,2(圖a)，其長度l=200mm，直徑d=10mm。試求將長度為為200.11mm，亦即De=0.11mm的銅桿3(圖b)裝配在與桿1和桿2對稱的位置后后(圖c)各桿橫截面上上的應(yīng)力。已已知：銅桿3的橫截面為20mm××30mm的矩形，鋼的的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量量E3=100GPa。第六章簡單單的超靜定問問題22解：1.如圖d所示有三個未未知的裝配內(nèi)內(nèi)力FN1,FN2,FN3，但對于平行力力系卻只有二二個獨(dú)立的平平衡方程，故故為一次超靜靜定問題。也也許有人認(rèn)為為，根據(jù)對稱稱關(guān)系可判明明FN1=FN2，故未知內(nèi)力只有有二個，但要要注意此時就就只能利用一一個獨(dú)立的靜靜力平衡方程程：所以這仍然是是一次超靜定定問題。第六章簡單單的超靜定問問題(d)232.變形相容條件件(圖c)為這里的Dl3是指桿3在裝配后的縮短短值，不帶負(fù)負(fù)號。3.利用物理關(guān)系系得補(bǔ)充方程程：第六章簡單單的超靜定問問題244.將補(bǔ)充方程與與平衡方程聯(lián)聯(lián)立求解得：：所得結(jié)果為正正，說明原先先假定桿1,2的裝配內(nèi)力為為拉力和桿3的裝配內(nèi)力為為壓力是正確確的。5.各桿橫截面上上的裝配應(yīng)力力如下：第六章簡單單的超靜定問問題（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）25(2)溫度應(yīng)力也是由于超靜靜定桿系存在在“多余”約約束，桿件會會因溫度變化化產(chǎn)生的變形形受到限制而而產(chǎn)生溫度內(nèi)內(nèi)力及溫度應(yīng)應(yīng)力。鐵路上無縫縫線路的長鋼鋼軌在溫度變變化時由于不不能自由伸縮縮，其橫截面面上會產(chǎn)生相相當(dāng)可觀的溫溫度應(yīng)力。第六章簡單單的超靜定問問題26例題6-4試求兩端與剛剛性支承連接接的等截面桿桿(圖a)當(dāng)溫度升高Dt時橫截面上的的溫度應(yīng)力。。桿的橫截面面面積為A，材料的彈性模模量為E，線膨脹系數(shù)為為l。第六章簡單單的超靜定問問題(a)27解:1.由平衡方程只只能知道桿兩兩端的軸向支支約束力數(shù)值值相等而指向向相反，但不不能給出約束力的值，可見這這是一次超靜靜定問題。2.以剛性支撐B為“多余”約約束后的基本本靜定系由于于溫度升高產(chǎn)產(chǎn)生的伸長變變形Dlt和“多余”未未知力FN產(chǎn)生的縮短變變形DlF分別如圖所示示。第六章簡單單的超靜定問問題283.變形相容條件件為4.補(bǔ)充方程為5.由此得多余未未知力6.桿的橫截面上上的溫度應(yīng)力力為29若該桿為鋼桿而而l=1.2×10-5/(?C)，E=210GPa，則當(dāng)溫度升高高Dt=40?時有第六章簡單單的超靜定問問題（壓應(yīng)力）30§6-3扭轉(zhuǎn)超靜定問問題例題6-5兩端固定的圓圓截面等直桿桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角角。第六章簡單單的超靜定問問題(a)31解:1.有二個未知約束力偶矩MA,MB，但只有一個獨(dú)獨(dú)立的靜力平平衡方程故為一次超靜定問問題。第六章簡單單的超靜定問問題(a)MAMB322.以固定端B為“多余”約約束，約束力偶矩MB為“多余”未未知力。在解解除“多余””約束后基本本靜定系上加加上荷載Me和“多余”未未知力偶矩MB，如圖b；它應(yīng)滿足的的位移相容條條件為注：這里指的的是兩個扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角的絕對值相等。第六章簡單單的超靜定問問題33另一約束力偶矩MA可由平衡方程程求得為3.根據(jù)位移相容容條件利用物物理關(guān)系得補(bǔ)補(bǔ)充方程：由此求得“多多余”未知力力，亦即約束力偶矩MB為第六章簡單單的超靜定問問題344.桿的AC段橫截面上的的扭矩為第六章簡單單的超靜定問問題從而有(a)35例題6-6由半徑為a的銅桿和外半半徑為b的鋼管經(jīng)緊配配合而成的組組合桿，受扭扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼鋼管橫截面上上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫橫截面上切應(yīng)應(yīng)力沿半徑的的變化情況。。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題(a)36解:1.銅桿和和鋼管管的橫橫截面面上各各有一一個未未知內(nèi)內(nèi)力矩──扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有有一個個獨(dú)立立的靜靜力平平衡方方程Ta+Tb=Me，故為為一次超靜定定問題題。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題TaTb(b)2.位移相相容條條件為為373.利用物物理關(guān)關(guān)系得得補(bǔ)充充方程程為4.聯(lián)立求求解補(bǔ)補(bǔ)充方方程和和平衡衡方程程得：：第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題TaTb(b)38第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題5.銅桿橫橫截面面上任任意點(diǎn)點(diǎn)的切切應(yīng)力力為鋼管橫橫截面面上任任意點(diǎn)點(diǎn)的切切應(yīng)力力為39上圖示示出了了銅桿桿和鋼鋼管橫橫截面面上切切應(yīng)力力沿半半徑的的變化化情況況。需需要注注意的的是，，由于于銅的的切變變模量量Ga小于鋼鋼的切切變模模量Gb，故銅桿和鋼管在在r=a處切應(yīng)力并并不相相等，，兩者者之比就等等于兩兩種材材料的的切變變模量量之比比。這這一結(jié)結(jié)果與與銅桿桿和鋼鋼管由由于緊緊配合合而在在交界界處切切向的的切應(yīng)應(yīng)變應(yīng)應(yīng)該相相同是是一致致的。。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題40§6-4簡單超超靜定定梁Ⅰ.超靜定定梁的的解法法第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題解超靜定定梁的的基本思思路與與解拉拉壓超超靜定定問題題相同同。求求解圖圖a所示一一次超超靜定定梁時時可以以鉸支支座B為“多多余””約束束，以以約束力力FB為“多多余””未知知力。。解除除“多多余””約束束后的的基本本靜定定系為為A端固定定的懸懸臂梁梁?；眷o靜定系系41基本靜定系在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當(dāng)滿足位移相容條件(參見圖c,d)

時該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。若該梁梁為等等截面面梁，，根據(jù)據(jù)位移移相容容條件件利用用物理理關(guān)系系(參見教教材中中的附附錄Ⅳ)所得的的補(bǔ)充充方程程為第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題42從而解解得““多余余”未未知力力第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題所得FB為正值值表示示原來來假設(shè)設(shè)的指指向(向上)正確。。固定定端的的兩個個約束力力利用相相當(dāng)系系統(tǒng)由由靜力力平衡衡條件件求得得為43該超靜靜定梁梁的剪剪力圖和和彎矩矩圖亦亦可利利用相相當(dāng)系系統(tǒng)求求得，，如圖圖所示。思考1.該梁的的反彎彎點(diǎn)(彎矩變變換正正負(fù)號號的點(diǎn)點(diǎn))距梁的的左端端的距距離為為多少少？2.該超靜靜定梁梁可否否取簡簡支梁梁為基基本靜靜定系系求解解？如如何求求解？？第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題44例題6-7試求圖圖a所示系系統(tǒng)中中鋼桿桿AD內(nèi)的拉拉力FN。鋼梁和和鋼桿桿的材材料相相同，，彈性性模量量E已知；；鋼桿桿的橫橫截面面積A和鋼梁梁橫截截面對對中性性軸的的慣性性矩I亦為已已知。。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題45解:1.該系統(tǒng)統(tǒng)共有有三個個未知知力(圖b)FN,FB,FC，但平面平平行力力系僅僅有兩兩個獨(dú)獨(dú)立的的平衡衡方程程，故故為一一次超超靜定定問題題。2.取桿和和梁在在點(diǎn)A處的連連接鉸鉸為““多余余”約約束，，相應(yīng)應(yīng)的““多余”未未知力力為FN。位移(變形)相容條條件(參見圖圖b)為wA=DlDA。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題463.物理關(guān)關(guān)系(參見圖圖c,d)為需要注意，因DlDA亦即圖b中的是向下的，故上式中wAF為負(fù)的。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題474.于是根根據(jù)位位移(變形)相容條條件得得補(bǔ)充充方程程：由此求求得第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題48例題6-8試求圖圖a所示等等截面面連續(xù)續(xù)梁的的約束力力FA,FB,FC，并繪出該該梁的剪力圖和和彎矩矩圖。。已知知梁的的彎曲曲剛度度EI=5×106N·m2。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題49解:1.兩端鉸鉸支的的連續(xù)續(xù)梁其其超靜靜定次次數(shù)就就等于于中間間支座座的數(shù)數(shù)目。。此梁梁為一一次超超靜定定梁。。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題502.為便于于求解解，對對于連連續(xù)梁梁常取取中間間支座座截面面處阻阻止左左,右兩側(cè)側(cè)梁相相對轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動的的內(nèi)部部角約約束為為“多多余””約束束，從從而以以梁的的中間間支座座截面面上的的彎矩矩作為為“多多余””未知知力，，如圖圖b。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題此時基基本靜靜定系系為兩兩跨相相鄰的的簡支支梁，，它們們除承承受原原超靜靜定梁梁上的的荷載載外，，在中中間支支座B處的梁梁端還還分別別作用用有等等值反反向的的“多多余””未知知力矩矩───彎矩MB，圖b中的““多余余”未未知力力矩為為一對對正彎彎矩。。位移移相容容條件件(參見圖圖b)為513.利用教教材中中的附附錄Ⅳ可得物物理關(guān)關(guān)系為為應(yīng)該注意，在列出轉(zhuǎn)角

的算式時每一項的正負(fù)號都必須按同一規(guī)定(例如順時針為正，逆時針為負(fù))確定。第六章章簡簡單的的超靜靜定問問題524.將物理關(guān)關(guān)系代入入位移相相容條件件補(bǔ)充方方程，從從而解得得這里的負(fù)負(fù)號表示示實(shí)際的的中間支支座處梁梁截面上上的彎矩矩與圖b中所設(shè)相相反，即即為負(fù)彎彎矩。第六章簡簡單的的超靜定定問題5.利用圖b可得約束力：53第六章簡簡單的的超靜定定問題(c)(d)然后繪出出剪力圖圖和彎矩矩圖如圖圖c,d。54*Ⅱ.支座沉陷陷和溫度度變化對對超靜定定梁的影影響超靜定梁由于有““多余””約束存存在，因因而支座座的不均均勻沉陷陷和梁的的上,下表面溫溫度的差差異會對對梁的約束力和內(nèi)力產(chǎn)產(chǎn)生明顯顯影響，，在工程程實(shí)踐中中這是一一個重要要問題。。第六章簡簡單的的超靜定定問題55(1)支座不均均勻沉陷陷的影響響圖a所示一次次超靜定定梁，在在荷載作作用下三三個支座座若發(fā)生生沉陷A,B,C，而沉陷陷后的支支點(diǎn)A1,B1,C1不在同一一直線上上時(即沉陷不不均勻時時)，支座約束力和梁的內(nèi)內(nèi)力將不不同于支支座均勻勻沉陷時時的值。。而支座座均勻沉沉陷時梁梁的約束力和內(nèi)力，，由于支支座沉陷陷量與梁梁的跨度度相比是是微小的的，故可可認(rèn)為與與支座無無沉陷時時相同。。第六章簡簡單的的超靜定定問題(a)56第六章簡簡單的的超靜定定問題(a)現(xiàn)按如圖a中所示各各支點(diǎn)沉沉陷B>C>A的情況進(jìn)進(jìn)行分析析。此時時，支座座B相對于支支座A,C沉陷后的的點(diǎn)A1,C1的連線有有位移57于是，如如以支座座B1作為“多多余”約約束，以以約束力FB為“多余余”未知知力，則則作為基基本靜定定系的簡簡支梁A1C1(參見圖b)在荷載q和“多余余”未知知力FB共同作用用下應(yīng)滿滿足的位位移相容容條件就就是第六章簡簡單的的超靜定定問題(b)58于是得補(bǔ)補(bǔ)充方程程由此解得第六章簡簡單的的超靜定定問題其中的wB按疊加原理理有(參見圖c,d):59第六章簡簡單的的超靜定定問題再由靜力力平衡方程程可得(a)60(2)梁的上,下表面溫溫度差異異的影響響圖a所示兩端端固定的的梁AB在溫度為為t0時安裝就位位，其后后，由于于梁的頂面溫度升升高至t1，底面溫度升升高至t2，且t2>t1，從而產(chǎn)生生約束力如圖中所所示。由于未知知的約束力有6個，而獨(dú)獨(dú)立的平平衡方程程只有3個，故為為三次超超靜定問問題。第六章簡簡單的的超靜定定問