教學(xué)設(shè)計 完整版：正態(tài)分布

正態(tài)分布教學(xué)目標（1）通過實際問題，借助直觀（如實際問題的直方圖），了解什么是正態(tài)分布曲線和正態(tài)分布；（2）認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；（3）會查標準正態(tài)分布表，求滿足標準正態(tài)分布的隨機變量在某一個范圍內(nèi)的概率．重點，難點（1）認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；（2）求滿足標準正態(tài)分布的隨機變量在某一個范圍內(nèi)的概率．教學(xué)過程一．問題情境1．復(fù)習(xí)頻率分布直方圖、頻率分布折線圖的意義、作法；回顧曲邊梯形的面積的意義．2．從某中學(xué)男生中隨機地選出84名，測量其身高，數(shù)據(jù)如下（單位：）：175170163168161177173165181155178161174177175168170169174164176181167178168169159174167171176172174180154173170171174172171185164172167168170174172169182167165172171157174164168173166172161178162172161160175169169175161155156182182上述數(shù)據(jù)的分布有怎樣的特點？二．學(xué)生活動為了研究身高的分布，可以先根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖．第一步對數(shù)據(jù)分組（取組距）；第二步列出頻數(shù)（或頻率）分布表；第三步作出頻率分布直方圖，如圖2-6-2．由圖2-6-2可以看出，上述數(shù)據(jù)的分布呈“中間高，兩邊底，左、右大致對稱”的特點．可以設(shè)想，若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率直方圖的頂邊無限縮小乃至形成一條光滑的曲線，我們將此曲線稱為概率密度曲線．再觀察此概率密度曲線的特征．三、復(fù)習(xí)引入：總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積．觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：式中的實數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線．四、講解新課：1.正態(tài)分布一般地，如果對于任何實數(shù)，隨機變量X滿足,則稱X的分布為正態(tài)分布（normaldistribution)．正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為X～.經(jīng)驗表明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．例如，高爾頓板試驗中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機地向左或向右下落，因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標X是眾多隨機碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布．在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似地服從正態(tài)分布．例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布．因此，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實際之中．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位．說明:1)參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標準差去估計．2).早在1733年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正態(tài)分布．之后，德國數(shù)學(xué)家高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它，并研究了它的性質(zhì)，因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布．2．正態(tài)分布）是由均值μ和標準差σ唯一決定的分布通過固定其中一個值，討論均值與標準差對于正態(tài)曲線的影響3．通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補上講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標準差對圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì)4．正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交在正態(tài)曲線下方和軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1．（2）曲線關(guān)于直線x=μ對稱（3）當(dāng)x=μ時，曲線位于最高點（4）當(dāng)x＜μ時，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)x＞μ時，曲線下降（減函數(shù)）并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近（5）μ一定時，曲線的形狀由σ確定σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越?。€越“瘦高”．總體分布越集中：五條性質(zhì)中前三條學(xué)生較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時應(yīng)運用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學(xué)5．標準正態(tài)曲線:當(dāng)μ=0、σ=l時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（-∞＜x＜+∞）其相應(yīng)的曲線稱為標準正態(tài)曲線標準正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布的概率問題6．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取得的概率值：具體地，如圖所示，隨機變量取值（1）落在區(qū)間上的概率約為，即；（2）落在區(qū)間上的概率約為，即；（3）落在區(qū)間上的概率約為，即(4).小概率事件的含義發(fā)生概率一般不超過5％的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生假設(shè)檢驗方法的基本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進行分析假設(shè)檢驗方法的操作程序，即“三步曲”一是提出統(tǒng)計假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計假設(shè)總體是正態(tài)總體；二是確定一次試驗中的a值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判斷．7．原則：服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱為原則．8．標準正態(tài)分布：事實上，就是隨機變量的均值，就是隨機變量的方差，它們分別反映取值的平均大小和穩(wěn)定程度．我們將正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布．通過查標準正態(tài)分布表（見附表1）可以確定服從標準正態(tài)分布的隨機變量的有關(guān)概率．1).標準正態(tài)總體的概率問題:對于標準正態(tài)總體N（0，1），是總體取值小于的概率，即，其中，圖中陰影部分的面積表示為概率只要有標準正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時，；而當(dāng)時，Φ（0）=2).標準正態(tài)分布表標準正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標準正態(tài)分布表”．在這個表中，對應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即，．若，則．利用標準正態(tài)分布表，可以求出標準正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積．9．非標準正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布：非標準正態(tài)分布可通過轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布．可以通過轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)總體，然后查標準正態(tài)分布表即可在這里重點掌握如何轉(zhuǎn)化首先要掌握正態(tài)總體的均值和標準差，然后進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化五、典例分析例1．給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達式，請找出其均值μ和標準差σ（１）（２）（３）例2求標準正態(tài)總體在（-1，2）內(nèi)取值的概率．例3.若x～N(0,1),求(l)P<x<；(2)P(x>2).例4．利用標準正態(tài)分布表，求標準正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率：(1)在N(1,4)下，求（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）例5．某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體落入?yún)^(qū)間（－，）之間的概率例6．在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成