全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題(十六)

PAGE32頁全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（十六）學校: 姓名班級考號 評卷人得分評卷人得分．A 12x 4,B{∣ax2a}，且ABA，則a的取值范圍是∣ 8 ．已知向量a(cos,sin),b( 2, 7)，則|2ab|的最大值．函數(shù)fxcotx2cotcotx4cotx的最小值．曲線C的極坐標方程是1點A的極坐標是曲線C在平面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過區(qū)域的面積．、、、D14ABCD1ABCD體積的最大值．正整數(shù)數(shù)列

的前n項和是Sn

,

n1

(n2)Sn

，則a

2020

的最小值．圓周上有20個等分點，從中任取4個點，是某個梯形4個頂點的概率．在1246中取5個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，其中是27倍數(shù)最小數(shù)．已知多項式P(x

2020

x2020a

2019

x2019

a有2020（可以有重根，axax1其中a0

,a1

,a2020

為非負整數(shù)，求P2020的最小值．評卷人得分評卷人得分求所有的正實數(shù)a，使得存在實數(shù)x滿足a2sinacos2x2．在平面直角坐標系xOy為橢圓:x2a2AB與橢圓相切，且AOB為正三角形．求橢圓的方程；

y21)y直線lx2y2r2(1ra和橢圓都相切，求直線l面積的取值范圍．是O的垂直平分線交O于MNABD為O內(nèi)一點，DMP外接圓交PN于點E,ABE的外接圓交MPF，且點M、P、E、F在直線AB同側(cè)．證明：EFPN．n a 2給定正整數(shù)n3．求最大的實數(shù)M

k

kaaak k

M對任意正實數(shù)a,a1 2

, ,an

恒成立，其中a

n1

a．1某個會議有若干人（至少3人）參加，現(xiàn)要將這些人分組．分組前，每個人都選擇兩個人．若被選擇的兩個人同組．則選擇他們的人不能在這組中．求最小的正整數(shù)nn組．,x，nNnN和n個互不相同的正整數(shù)x,x，nx2x2

x22020

x2x2

x2

1 22020是完全平方數(shù)．1 2 n 1 2 nPAGE881．,3

參考答案 2【詳解】A|x當a1B，當1a

32時ABA，當a3時A BA．故a,3．23

2 22．514【詳解】14|2ab2|a||b235，當tan2故答案為：5.3．15cotx,g(t)5cotx,g(t)(t3)(t1)(t1)(t3)54 t2922222216當t25時取到最小值44163【詳解】

時等號成立，P,是曲線COP1cos．在△OAP中，由余弦定理知：|AP|2|OP|2|OA|22|OP||OA|cos52cos3cos216，3163當arccos(1)時取等．掃過的區(qū)域是以A為圓心， 為半徑的圓，面積為16．1633 3故答案為：16.335．36【詳解】設(shè)AB與CD間的距離為d，夾角為．3取AB中點M和CD中點N，則d33故四面體體積V 1ABCDdsin ．當AB CD且其中點連線過球心時等號成立．336 63故答案為： .66．220182021a

n2S

a n2n1

n2

2n4

，n2.n1 n

n1

n n1

n n n1n而a2

，故a2

3a，故a1 n

2n4an1

，n1.所以a

22018

，由于a

是正整數(shù)，所以a

的最小值是．2020 1

2020220182021.487．323【詳解】解析：梯形共有兩種：從1092條，或從10組不平行于直10210C9

320個，第二種去掉矩形有10C2

400720

720 48．108．14256【詳解】

48.323

C4 3232095、34561、、5618．設(shè)五位數(shù)是abcde，則10000a100c10de10ab10demod27為了使數(shù)最小，考慮a1、、4、6，先考慮12456，此時be123250628，不合要求；再考慮14256，此時be14165065414256．故答案為：14256.9．20212020【詳解】設(shè)2020個非零實根為x,x1 2

, ,

2020

，易知a0

,a2020

1．x0Px0xi

0．由均值不等式知2020xi

xi

(i

,2020)．這2020個式子相乘，得P(2020)a

2020

20202020xii1

a2020

20212020

2021

(120202020xii1a2020

a202120202021 0a2020202120202021a0

a20202020

20212020．當P(x)(x12020時，等號成立．故P202的最小值為2021200故答案為：20212020.10．0,

51[1,) 2 【詳解】設(shè) 2，則不等式化為ta20．ta2sinx t當0a1t[a2,1]；當a1t1；當a1t[1,a2]．因此不等式可化為t22ta0．f(t)t22taf1和a2f(1)0,f(a20,a0，a1a2a1a2a10故 ，51

51解得2 a1．所以a的取值范圍是

2 [1,)． x211） y21（）S[ 3,)．x23【詳解】由對稱性，不妨設(shè)點AAx,y0 0

，則k OA

,k ，333 AB 333y x 1因為AB為切線，故k

0 0 ．OA AB x0x2

a2y0

a2所以a23，故橢圓方程為 y21．3設(shè)直線l與橢圓相切于點Px

x，則切線為1 x

y1．1 1 3 1x29y21 1又直線lx29y21 1x2 9 1

13 而1y21x2

1 ,y2

1．3 1

2 r2

2r2 9 1 1S2 [3,)設(shè)三角形面積為S．則

4 x2y2

1

13

1

，所以S[ 3,)．1 1 r2r2 12．證明見解析延長MF延長MF交O于點GNGABH．因為MDHMGH，所以M、H四點共圓．又MP四點共圓，所以NGNHNDNMNENP．H四點共圓，所以．HE交MPF，則HENHGFF四點共圓．N四點共圓，于是HE·HFHN·NG，所以A、B、F、E四點共圓，于是FF，故FEP90，即EFPN．13 M313 M1, n4.【詳解】當n4時，令a xa (k1,2,k k

,n1)，則n a

x 2 1 2 k

(n1) ．k1

aak k

x1 1xn1當x0時，(n1) x 2 1 21． x1 1xn1a

n 1 2令x k，則問題化為：xx x1，證明

1．k a 12 k

k1

1xk當n4時，首先證明： 1 2

1 2 1 1x1y1 ①式x3yxy31x2y22xy，由均值不等式知成立．由①式知4 1 2 1

2xxxx1x 1xx1x

12 31xx

1． x

xxxxkk

12 34 12 34 1234假設(shè)nk時，對任意正實數(shù)x,x, ,

結(jié)論成立．1 2 k則nk1時，由對稱性不妨設(shè)x,x,

,x,x

中x 最大，則

1， 1 2 1 2

1 2 1 2

k

k

k1所以1x

1x

1xx

，由歸納假設(shè)知，此時結(jié)論成立．k k kkn a 2kk由數(shù)學歸納法知，

ak

ak

1．故M1．3 a

2 3當n3,aa

a時，

k ．1 2 34 a kk

k1

aak k

4k3 k

2 3 3由于 akk

a k1

1，令aa3 4

ak

a k1

，所以M ．4 4M3M1, n4.n3【詳解】21人，分別標為1214、567、2，、5，、7，1選擇8、9；10、11、12、13選擇2、3，14101512、13，2選擇14、15，16、17、18、19選擇1、3，2016、17，2118、19，3選擇20、21．假設(shè)這21人可以分成2組．由抽屜原理，1、2、3中必有2人在同一組．245、、7在第二組，8、918、9同組，與條件矛盾．故n3．下證可以按要求分成3組．將每個人當作一個點，若a選擇b，則連一條有向邊ab，得到一個有向圖G．則圖G2．設(shè)會議有N人參加．當N3時，可以按要求分成3組．Nk3Nk1有以下兩種情況：存在某個點v1．在圖G中去掉點v及點vGG中有kG中連邊得到圖G，使得圖G2G中3組，故圖G3組．考慮vvvv多不能在另一組中．所以，點v3組之一，圖G3組．2．選取點v，設(shè)點v、v指向v，且v指向另一點v,v

指向另一點v；設(shè)v指向v、v，且指向1 2 1 1

2 3 3v的另一點是vG中去掉點v及點vGv、v指向vG，3 1 2則圖G中有k2．由歸納假設(shè)，圖G3組A、A、A1 2 3

，故圖G中的點可以對應(yīng)分成3組．由對稱性，當且僅當v,vA,v,v

A,v,vA

時，v不能放在這3組中．若v,vA且1 1 1 2 2

2 3 3

1 1 1v,vA

，則vA,A

，所以vA

，此時指向v

的點只有v

中．考慮v

指向的兩個2 2 2 1 2 3 3 3 3點，至少存在A、A之一不同時包含這兩個點，不妨是A，則可以將v放到A中，滿足條1 2 1 3 1件要求．此時令vA3

，則圖G中的點可以分成3組．由數(shù)學歸納法知，對于任意N個人，可以按要求將他們分成3組．證明見解析x x x2x2m 1 2x2S，m對于m3，必存在不同的正整數(shù)x,x,

xxxx 1,x 1,x,m1 2,x，則有m

1 2 m 12m1 12xxx xxmm1x2xx12mx12 m12x x 2xxm 12x 1m12x x 2x2x2m 1 2x2S1m122 x22 x2x22 m 1

S1．以此類推，當S504時，存在不同的正整數(shù)x1

,x,xm

m1

, ,

滿