2020屆青浦二模試卷答案

青浦區(qū)2019學年高三年級第二次學業(yè)質量調研測試數(shù)學學科試卷(時間120分鐘，滿分150分)Q2020.05一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得分，否則一律得零分.已知全集U=R，集合A=(一8,2)，則集合A=UTOC\o"1-5"\h\z已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=2+i的共軛復數(shù)z=.已知函數(shù)f(x)=1+-，則方程fT(x)=2的解x=.x4?若(ax+1)5的展開式中x3的系數(shù)是80，則實數(shù)a的值是.x2y2雙曲線—-牛=1的一個焦點到一條漸近線的距離是44用一平面去截球所得截面的面積為3ncm2，已知球心到該截面的距離為1cm，則該球的表面積是cm2．7．已矢口7．已矢口x,y>0且x+2y=1，則一+—的最小值為xy8．rrr已知平面向量8．rrr已知平面向量a，b滿足a=(1,一1)，IbI=1，Ia+2b1=2，則a與b的夾角為設ag{1,3,5)，bg{2,4,6}，則函數(shù)f(x)=log丄是減函數(shù)的概率為bxa已知函數(shù)f(x)=獲二？，若存在實數(shù)兀。滿足f[f(xo)]=x0，則實數(shù)a的取值范圍是已知正三角形ABC的三個頂點均在拋物線x2=y上，其中一條邊所在直線的斜率為，則厶ABC的三個頂點的橫坐標之和為.定義函數(shù)f(x)={x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整數(shù)，如{1.4}=2，{—2.3}=—2，當xe(0,n](neN*)時，函數(shù)f(x)的值域為A，記集合A中元素的個數(shù)為a，則a=nnnn高三數(shù)學第1頁共11頁高三數(shù)學第高三數(shù)學第頁共11頁二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13.已知a,beR,貝b>0”是“a2+b>0”的().(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件14．我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載問題：“今有垣厚八尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”，意思是“今有土墻厚8尺，兩鼠從墻兩側同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩鼠幾天打通相逢？”兩鼠相逢需要的最少天TOC\o"1-5"\h\z數(shù)為…………………………()．(A)3(B)4(C)5(D)615?記橢圓乂+竺二=1圍成的區(qū)域(含邊界)為Q(n=1,2,L)，當點(x,y)分別在44n+1nQ,Q,L上時，x+y的最大值分別是M，M，L，則limM=().1212_(A)2+嘗5(B)4(C)3(D)2216.已知函數(shù)f(x)=sinx+2|sinX，關于x的方程f2(x)—駅f(x)-1=0有以下結論:當a>0時，方程f2(x)-R(x)-1=0在b，2兀］內最多有3個不等實根；當0<a<64時，方程f2(x)-贏f(x)-1=0在【0,2兀］內有兩個不等實根；若方程f2(x)-^f(x)-1=0在【0,6兀］內根的個數(shù)為偶數(shù)，貝y所有根之和為15n.若方程f2(x)-f(x)-1=0在【0,6兀］內根的個數(shù)為偶數(shù)，貝y所有根之和為36n.其中所有正確結論的序號是().(A)②④(B)①④(C)①③(D)①②③解答題(本大題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.3A17.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.3A如圖，在正四棱柱ABCD-A］B］C］D中，^BAB-60°.(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的大??；⑵求異面直線bc與A1C1所成角的大小.18．(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.nv''3sin2x.已知函數(shù)f(x)二[2sin(x+3)+sinx]cosx-v''3sin2x.若函數(shù)y二/(x)的圖像關于直線x二a(a>0)對稱，求a的最小值；5n若存在xoe[0,--]，使mf(x。)-2二0成立，求實數(shù)m的取值范圍.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利.已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t(單位：分鐘)滿足2<t<20，teN*.經測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關，當10<t<20時地鐵可達到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當2<t<10時，載客量會減少，減少的人數(shù)與(10-1)的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為p(t).求P(t)的表達式，并求在該時段內發(fā)車時間間隔為6分鐘時，地鐵的載客量；若該時段這條線路每分鐘的凈收益為Q二6P(t)一3360-360(元)，問當發(fā)車時間間隔為t多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？

(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.已知橢圓C:蘭+學=1(a>b>0)的左、右焦點分別是七,F，其長軸長是短軸長的2a2b212倍，過件且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.求橢圓C的方程；點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有11且只有一個公共點，設直線卩匚,PF2的斜率分別為krk2，若k主0，證明忑+莎為定值，12并求出這個定值；點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，設"V的角平分線pm交橢圓C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍.(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.對于無窮數(shù)列nnneN*，若b=max{a,a,L,a}-min{a,a,L,a,對于無窮數(shù)列nnTOC\o"1-5"\h\zk12k12kkeN*，則稱數(shù)列是數(shù)列{a}的“收縮數(shù)列”其中max{a,a,L,a}、min{a,a,L,ann12k12k分別表示a2丄，a中的最大項和最小項.已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S，數(shù)列｛b｝是數(shù)列12knnn｛a｝的''收縮數(shù)列”n若a二3n—1，求數(shù)列｛b｝的前n項和；nn證明：數(shù)列｛b｝的“收縮數(shù)列”仍是｛b｝；nn3)若S3)若S+S+L+S12n(n+1)n(n-1)=a+b212n(n=1,2,3,L)，求所有滿足該條件的數(shù)列{a}.n青浦區(qū)2019學年第二學期高三年級第二次質量調研測試數(shù)學參考答案及評分標準數(shù)學參考答案及評分標準2020.052.2—i；42.2—i；4.2；6.16兀；3兀8.；4，110.a<；411.3近-10-12.n(n+1)a二n2說明：1．本解答列出試題一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標準的精神進行評分．2．評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱．當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后續(xù)部分，但該步以后的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，但是原則上不應超出后面部分應給分數(shù)之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分．3．第17題至第21題中右端所注的分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的該題分數(shù)．4．給分或扣分均以1分為單位．填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果.1.[2,+?)；33.2；5.2；7.3+2邁;9.-選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13.A；14.B；15.D；16.C.解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.解：（1）因為在正四棱柱ABCD—ABC1D1中，A$丄平面ABCD,A是垂足,所以ZAfA是AC與平面ABCD所成的角,

設AB=1，又正四棱柱ABCD—名3￡￡中，AB=60。,.AB1=2,BB1=V3=AA1,AC=J1+1=V2,tanZACA=竺==口ZACA=arctan衛(wèi)1AC72212???AiC與平面ABCD所成的角的大小為耐n字（2）解一：如圖所示：連接AC,QAC1〃AC,???》BCA是異面直線BC與A1C1所成角,QAB=BC=2，AC=巨???cosZBCA=B1C2+AC2一AB12=土匕=遼,12BC-AC2x2xQ4.ZBCA=arccos——14所以異面直線BC與AC所成角的大小的大小為arccos當.418．（本題滿分14分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.(n、2sinx+—+sinxI3J解：（1）Qf（x）=cosx—€3sin2x=(inx+cosx+sinx)cosx—sin2x=Csinx+cosx)cosx—sin2x=2sinxcosx=2sinxcosx+叮<3Cos2x—sin2x)=sin2x+V3cos2x=2sin2x+—,Q2a+1二kn+2Q2a+1二kn+2(kez)，二a二T+吾keZ又Qa>0—的最小值為12.（2）因為存在x0e[0,善]，使-2=■■成立，所以f（x0）H0,mf(x)一2=0nm--即0f(x)01丫n^sin2x+—k03丿兀一兀-7兀Qxe0,——，一<2x+—<——012.-1<sinf2x+1103丿<1又sinf2x+-1^0,乂k03丿’則me(-卩-2〕Uh,+8).(本題滿分14分)本題共2小題，第(1)小題6分，第(2)小題8分.解：（1）由題意知pc）=1200-k(10-1)2,2解：（1）由題意知pc）=，teN，(k為常數(shù))，[1200,10<t<20口p(2)=1200-k(10-2)2=1200-64k=560，()[1200-10(10-1)2,2<t<10f-10t2+200t+200,2<t<10口k=10，口pit丿=彳=彳，[1200,10<t<20〔1200,10<t<20口p(6)=1200-10x(10-6匕=1040，故當發(fā)車時間間隔為6分鐘時，地鐵的載客量1040人．6p(t)-3360(2)由Q=—360，可得t840-60t+——,2<t<10

It丿[840-60t+——,2<t<10

It丿t3840-360,10<tt3840-360,10<t<20t3840-3840-360,10<t<20t①當2<t<10時，Q二840-60[t+蘭*840-60x12二120，當且僅當t=6等號成立;kt丿

②當10<t<20時，Q二——-——-360<384-360二24，當t=10時等號成立，t由①②可知，當發(fā)車時間間隔為t=6分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元．TOC\o"1-5"\h\z（本題滿分16分）本題共3小題，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分.x2y2b2解：（1）由于c2=a2—b2，將x——c代入橢圓方程—+—=1，得y=±-?a2b2a由題意知型—1，即a—2b2.b1ab1a2—b2+c2，所以a—2，b—1.x2所以橢圓c的方程為〒+y2—1.4⑵設P(x,y)(y豐0)，則直線i的方程為y—y=k(x—x).TOC\o"1-5"\h\z[x200100—+y2=1聯(lián)立得14，y—y—k(x—x)v00整理得(1+4k2)x2+8(ky—k2x)x+4(y2—2kxy+k2x2—1)=0000000由題意得A=0，即(4—x2)k2+2xyk+1—y2—0.0000x2又7+y2—1，所以x2又7+y2—1，所以16y2k2+8xyk+x2—0，故k—4000001x+x-2x又知丁+廠=~0+0="kkyy12001所以kk1因此~kk+kk為定值’12⑶設p(x0,y0)(y0豐0)，又F](r3,0),l:yx—(x+\：3)y+\；3y—0，lPF1000PF2Imy+羽yIImy-羽yI由題意知0'0=0匸y2+(x+冷'3)20011(11]+=——+—=kk2k〔k1kJ2丿10，y0

手]?0玉=-8,y0這個定值為—8．x―4y-0篤&3,0），所以直線PF1，pf2的方程分別為:yx—（x—\：3）y—\：'3y=0.000'2+（X—J3）200x2由于點p在橢圓上，所以嚴+y2—1.40Im+”31Im一J3I因為-Im+”31Im一J3I因為-羽<m〈羽,一2<x0<2,m+-j3可得爲+2+220——X203所以m二4x0,33因此--<m<-.（本題滿分18分）本題共3小題，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分.解：（1）由an-3n-1可得｛禽｝為遞增數(shù)列，所以一a=3n一1一2=3n一3,1=max{a,a,L,a}一a=3n一1一2=3n一3,112n12nn故｛b故｛b｝的前n項和為nn(0+3n一3)23n(n-1)2(2)因為max{a,a,L,a}<max{a,a,L,a}(n=1,2,3,L),TOC\o"1-5"\h\z12n12n+1min{a,a,L,a}>min{a,a,L,a12n12n+1所以max{a,a,L,a}-min{a,a,L,a}>max{a,a,L,a}-min{a,a,L,a}12n+112n+112n12n所以b>b(n=1,2,3,L)n+1n又因為b=又因為b=a-a=0，所以max{b,b,L,b}-min{b,b,L,b}=b一b=b,2n12nn1n所以｛b｝的“收縮數(shù)列”仍是｛b｝nnn(n+1)n(n一1)/\(3)由S+S+L+S=a+b(n=1,2,3,L)可得12n212n當n=1時，a=a；11當n=2時，2a+a=3a+b，即b=a一a，所以a>a；121222121

當n=3時，3a+2a+a=6a+3b，即3b=2(a—a)+(a—a)(*),1231332131若a1<a3<a2，則b3=a2-J所以由（*）可得a3=a2，與a3<矛盾;若a<若a<a<