理論力學11動能定理及其應(yīng)用的知識

第三篇動力學理論力學NanjingUniversityofTechnology第11章動能定理及其應(yīng)用第三篇動力學11.1力的功

11.3動能定理及其應(yīng)用

11.2質(zhì)點系與剛體的動能

11.4勢能的概念機械能守恒定律及其應(yīng)用

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用第11章動能定理及其應(yīng)用第11章動能定理及其應(yīng)用11.1力的功常力的功變力的功?FMM1M2S

力F的元功M1M211.1.1力的功的定義■重力的功質(zhì)點系？mgxzyoz1z2MM1M2對于質(zhì)點：重力的功僅與重心的始末位置有關(guān)，而與重心走過的路徑無關(guān)。

重力的功11.1.2各種力做功的計算■彈性力的功彈性力作的功只與彈簧在初始和終止位置的變形量有關(guān)。1、2

——彈簧在初始位置和最終位置的變形量。

彈性力的功11.1.2各種力做功的計算

■定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功

力偶做功11.1.2各種力做功的計算■外力偶的功若力偶矩矢M與z軸平行，則M所作之功為若力偶矩矢M為任意矢量，則M所作之功為Mz——力偶矩矢M在z軸上的投影11.1.2各種力做功的計算′FdrOABF1dr1dr2F2F12約束力做功總和為零！中間鉸鏈不可伸長的繩索

約束力的功O11.1.2各種力做功的計算■約束力的功

FAdrFAdr光滑支承面

軸承滾動鉸支座光滑柱鉸約束力做功為零！

約束力的功11.1.2各種力做功的計算關(guān)于摩擦力的作功0OFNFCMF又滾又滑滑動摩擦力做負功！

約束力的功11.1.2各種力做功的計算OC*vO只滾不滑純滾動時，靜滑動摩擦力(約束力)作功為零！

約束力的功FFN11.1.2各種力做功的計算◆不可伸長的柔索約束◆光滑的固定支承面◆光滑鉸鏈：軸承、滾動鉸支座◆純滾動時的靜摩擦力約束力作功等于零的約束。

理想約束：

約束力的功11.1.2各種力做功的計算■內(nèi)力的功

FA

和FB在drA和drB上所作之元功OxzyFAFBABrArB剛體內(nèi)質(zhì)點間的內(nèi)力做功？

內(nèi)力的功11.1.2各種力做功的計算剛體內(nèi)力不作功

內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量和動量矩！內(nèi)力可能改變質(zhì)點系的能量！11.1.2各種力做功的計算第11章動能定理及其應(yīng)用

11.2質(zhì)點系與剛體的動能動能是度量質(zhì)點系整體運動的另一物理量，動能是正標量。

動能計算中中所用的速度必須是絕對速度?。肆浚┵|(zhì)點質(zhì)點系

11.2.1質(zhì)點系的動能

平移剛體剛體平移時的動能，相當于將剛體的質(zhì)量集中于質(zhì)心時的動能。平移剛體的動能

11.2.2剛體的動能

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能virimiyxz

11.2.2剛體的動能d·w＝vC

平面運動剛體的動能

平面運動剛體的動能C*CdvC

11.2.2剛體的動能CvC均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動時的動能。法一：法二：C*

11.2.2剛體的動能思考

11.3動能定理及其應(yīng)用第11章動能定理及其應(yīng)用質(zhì)點運動微分方程的矢量形式dr＝vdt質(zhì)點微分形式：積分形式：

11.3動能定理及其應(yīng)用微分形式：積分形式：質(zhì)點系

11.3動能定理及其應(yīng)用外力內(nèi)力主動力約束力動能定理中應(yīng)考慮所有力的功！

11.3動能定理及其應(yīng)用已知：

m，R,f，

。圓盤初始靜止。求：純滾動時盤心的加速度。C例題1

11.3動能定理及其應(yīng)用CFNmgvCF解：對象：圓盤受力：如圖運動：平面運動方程：取系統(tǒng)為研究對象，假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移

s時速度達到vc。s力的功：由動能定理得：解得：例題1

11.3動能定理及其應(yīng)用等式兩邊同時對時間求一階導數(shù)＃aC？？均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度。OPW例題2

11.3動能定理及其應(yīng)用解：對象：整體受力：如圖所示方程：PO運動：圓輪定軸轉(zhuǎn)動，物塊平移FOxFOyWmg例題2

v假設(shè)重物向下產(chǎn)生位移

s時速度達到v。s力的功：由動能定理得：等式兩邊同時對時間求一階導數(shù)

11.3動能定理及其應(yīng)用＃a分別選輪和物體為研究對象？OPWmgFOxFOyF'TFT圓輪：物體：v例題2

11.3動能定理及其應(yīng)用思考bl－b例題3

11.3動能定理及其應(yīng)用一長為l，質(zhì)量密度為ρ的鏈條放置在光滑的水平桌面上，有長為b的一段懸掛下垂，如圖。初始鏈條靜止，在自重的作用下運動。求：當末端滑離桌面時，鏈條的速度。l-bCC′b解：鏈條在初始及終止兩狀態(tài)的動能分別為bl－bCC′鏈條重力所作之功應(yīng)用動能定理求得鏈條完全離開臺面時的速度例題3

11.3動能定理及其應(yīng)用＃均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉(zhuǎn)動，B處摩擦不計。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止狀態(tài)。試求：1．當物塊C下降高度為h時，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。2．系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。

例題4

11.3動能定理及其應(yīng)用解：對象：圓柱A、B和物塊C受力：如圖所示

運動：輪A作平面運動；輪B作定軸轉(zhuǎn)動；物塊C作平移。根據(jù)運動學補充關(guān)系方程：例題4

FFNFBxFBy1.輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。

11.3動能定理及其應(yīng)用化簡，得到？？？？應(yīng)用動能定理解得例題4

2．確定系統(tǒng)運動時物塊C的加速度：物塊的加速度為

11.3動能定理及其應(yīng)用FFNFBxFBy＃＃等式兩邊同時對時間求一階導數(shù)＃aC第10章動能定理及其應(yīng)用

11.4勢能的概念機械能守恒定律及其應(yīng)用有勢力（或保守力）：該種力所作之功僅與力作用點的初始位置和終止位置有關(guān)，而與其作用點所經(jīng)過的路徑無關(guān)。勢能：質(zhì)點系（質(zhì)點）從某位置M（點）運動到任選的零勢位置M0（零勢點）時，有勢力所作的功。

mgxzyoz1z2MM1M22）物理學中的零勢點是針對質(zhì)點的；零勢位置其實是組成質(zhì)點系的每一個質(zhì)點的零勢點的集合。注意：1）因零勢位置（零勢點）的不同，各個位置的勢能而不同。

11.4.1有勢力和勢能機械能：質(zhì)點系在某瞬時動能和勢能的代數(shù)和。機械能守恒定律：當作用在系統(tǒng)上的力均為有勢力時，其機械能保持不變。

11.4.2機械能守恒定律力的功定義力Fi的元功力Fi在點的軌跡上從一點到另一點所作的功■重力的功對于質(zhì)點：對于質(zhì)點系:■彈性力的功上次課內(nèi)容小結(jié)

■定軸轉(zhuǎn)動剛體上外力的功■力偶的功■剛體的內(nèi)力不作功■理想約束力的功上次課內(nèi)容小結(jié)

動能質(zhì)點系的動能剛體的動能

平移剛體的動能

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

平面運動剛體的動能上次課內(nèi)容小結(jié)

動能定理及其應(yīng)用對于質(zhì)點系：勢能的概念機械能守恒定律上次課內(nèi)容小結(jié)

第11章動能定理及其應(yīng)用

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用動力學普遍定理動量定理動能定理動量矩定理質(zhì)點系動力學的基礎(chǔ)－質(zhì)點動力學

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質(zhì)點系整體運動的變化與質(zhì)點系所受的作用力之間的關(guān)系。整體運動的變化所受的作用力動量定理動能定理動量矩定理動量力（沖量）動量矩力矩動能力的功

動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學的兩類基本問題。矢量方程（外力）標量方程（內(nèi)外力）矢量方程（外力）表達式強調(diào)

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用例題5如圖a所示，均質(zhì)細桿長為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑的水平面上，當有微小的干擾時而倒下。

試求：桿剛與地面接觸時質(zhì)心的加速度和地面的約束力。例題5

ACB

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用ABC例題5

解：法一對象：均質(zhì)桿AB受力：如圖運動：平面運動方程：桿剛倒地時的動能為由速度瞬心法，A為速度瞬心

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用ACBABCmgFNAvAvC例題5

應(yīng)用質(zhì)點系動能定理兩邊對時間求導得質(zhì)心的加速度為

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用ACBABCmgFNAvAvCaC由質(zhì)心運動定理得故得地面的約束力為＃＃？法二：平面運動剛體微分方程？？地面對桿的約束力：以A點為基點得質(zhì)心的加速度為例題5

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用ACBABCmgFNAvAvCaCaA向鉛垂方向投影＃＃均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉(zhuǎn)動，B處摩擦不計。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止狀態(tài)。試求：1．當物塊C下降高度為h時，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。2．系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。

例題6

11.3動能定理及其應(yīng)用3．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力；4．輪A與地面的接觸點處的摩擦力。

解：對象：整個系統(tǒng)受力：如圖所示

運動：輪A作平面運動；輪B作定軸轉(zhuǎn)動；物塊C作平移。根據(jù)運動學補充關(guān)系方程：FFNFBxFBy1.輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。

11.3動能定理及其應(yīng)用化簡，得到例題6？？？？應(yīng)用動能定理解得2．確定系統(tǒng)運動時物塊C的加速度：物塊的加速度為

11.3動能定理及其應(yīng)用FFNFBxFBy＃＃等式兩邊同時對時間求一階導數(shù)＃例題6對象：取輪B和物塊C受力：如圖所示運動：輪B定軸轉(zhuǎn)動，物塊C平移方程：對點B應(yīng)用動量矩定理3．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力例題6

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用＃FFNFBxFBy確定B處的約束力應(yīng)用質(zhì)心運動定理由此解得B處的約束力＃例題6

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用4．輪A與地面的接觸點處的摩擦力。對象：輪A受力：如圖所示運動：平面運動方程：應(yīng)用相對質(zhì)心的動量矩定理，得到例題6

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用FFNFBxFBy＃1.

動能定理適合求解運動量。2.動量定理或動量矩定理適合求解約束力。4.對于復雜質(zhì)點系：動量定理、動量矩定理和動能定理的應(yīng)用選擇3.

對于簡單質(zhì)點系：動量定理和動量矩定理，與應(yīng)用動能定理解決問題的難易程度差不多。先避開未知約束力，求解運動量；再選擇合適的定理，確定約束力。動能定理動量定理動量矩定理★均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求：B下落時，質(zhì)心C點的加速度。摩擦不計。例題7

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用解法一：對象：圓柱體A受力：如圖運動：定軸轉(zhuǎn)動方程：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，得到aAFTOAFOymgFOx？？F'TaBCDBmgaC對象：圓柱體B受力：如圖運動：平面運動方程：根據(jù)平面運動的微分方程有？？例題7

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用其中？？？？aAFTOAFOymgFOxF'TaBCDBmgaC例題7

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用＃以D點為基點向鉛垂方向投影，得到解法二：對象：圓柱體A和B組成的質(zhì)點系受力：如圖運動：A定軸轉(zhuǎn)動，B平面運動方程：圓柱體B下落h時，系統(tǒng)的動能為例題7

FOymgFOxmgwAwBvB重力做功為？？？

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用對O、C輪分別用動量矩定理和相對質(zhì)心動量矩定理：例題7

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用以D點為基點FOymgFOxmgwAwBvB？？？FTOAFOymgFOxwAF'TCDBmgvBwB應(yīng)用動能定理上兩式兩邊分別對時間求導從而得圓柱體B輪心C的加速度例題7

FOymgFOxmgwAwBvBaC

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用＃例題8均質(zhì)桿長為l，質(zhì)量為m1，B端靠在光滑墻上，A端用鉸鏈與均質(zhì)圓盤的質(zhì)心相連。圓盤的質(zhì)量為m2，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示θ=45°時由靜止開始純滾動。試求：A點在初瞬時的加速度。例題8

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用解：（本例中只有保守力作功，故機械能守恒，用機械能守恒定律求解。）對象：桿AB和圓盤A受力：如圖所示運動：兩者均作平面運動m2gm1g方程：考察初始位置和任意位置時的動能和勢能例題8

FNAFNBv1w2

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用動能求法一例題8

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用動能求法二m2gm1gFNAFNBv1w2取經(jīng)過輪心A的水平線為零勢位置，系統(tǒng)的勢能為例題8

根據(jù)機械能守恒定律，有將上式對時間求一次導數(shù)

11.5動力學普遍定理的綜合應(yīng)用m2gm1gFNAFNBv