淺談平面幾何中輔助線的添加方法及其教學(xué)上的運(yùn)用

淺談平面幾何中輔助的添加方法及其教學(xué)上的運(yùn)用平面幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，證明是平面幾何的重要內(nèi)容。許多初中生對幾何證題感到困難，尤其是對需要添加輔助線的證明題，往往束手無策。在這里我們介紹"加輔助線"在平面幾何中的運(yùn)用。為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫做輔助線。輔助線通常畫作虛線。關(guān)于添加輔助線的題，這是初中生學(xué)習(xí)平面幾何難點(diǎn)之一，也是平面幾何教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)。但是由于諸多方面的因的影響，許多學(xué)生在完成幾何作業(yè)或考試答卷中常常出現(xiàn)輔助線的作法和敘述上的錯(cuò)誤。例如：如圖，已知⊙O的徑為5㎝弦ABCD，AB=6㎝CD=8㎝求：和CD距離。這道題的輔助線如圖，可是在作業(yè)中同學(xué)卻出現(xiàn)了如下種種

敘述方法：、作AB和CD的線段、過點(diǎn)直線垂直AB和CD、過點(diǎn)AB和CD的直平分線、作OM⊥AB，并延長交CD于N、連結(jié)AB，的點(diǎn)，并使之通過點(diǎn)、連結(jié)，，⊥CD經(jīng)過分析，幾種敘述方法都是錯(cuò)誤的。而這種種錯(cuò)誤，歸納起來大致有以下2個(gè)因1、不會使用幾何作圖的規(guī)范用語、違反了幾何作圖的基本要求。那么，如何解決同學(xué)們在作輔助線時(shí)出現(xiàn)的問題呢、教學(xué)中注意培養(yǎng)學(xué)生的幾何語言的表達(dá)能力從學(xué)生的開始學(xué)習(xí)幾何時(shí)就應(yīng)引入和應(yīng)用規(guī)范用語，突出幾何語言，特別在學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖時(shí)，就突出作圖規(guī)范用語和訓(xùn)練，否則就會出現(xiàn)前文中出現(xiàn)的輔助線作法的敘述上的錯(cuò)誤。下面介紹幾常用的輔助線的正確敘述方法：（1連結(jié)：如圖（）連結(jié)、交O點(diǎn)（2作平行線：如圖）D點(diǎn)DG∥AE，交BC于G（3作垂線：如圖）分別過AD兩作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為、（學(xué)生容易丟掉）（4延長：如圖（）延長⊙O于，連結(jié)、教學(xué)中注意加強(qiáng)添加輔助線的練習(xí)訓(xùn)練（1于添加輔助線的問題是中學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的難點(diǎn)之一在學(xué)中循序漸進(jìn)訓(xùn)練學(xué)生?？梢酝ㄟ^精選例題，讓學(xué)生開闊眼界，靈活思路，掌握規(guī)律，提高能力。在添輔助線時(shí)，必須學(xué)生明確輔助線要添得合理，必須符合基本作圖要求。如證明三形內(nèi)角和定"，要證明這個(gè)定理應(yīng)先以A為一邊在ABC外作ACE=BAC再長BC后只要證明∠ABC就行了根這樣分析，故先作BC延邊并在△ABC部以CA為邊為另邊作ACE=∠BAC然后即可證∠BAC＋∠ABC＋∠°。此外還可讓學(xué)生掌握多種方法添輔助線。（2教學(xué)時(shí)，要注意強(qiáng)調(diào)添加輔助線是手段，而不是目的，它是溝通已知和未知的橋梁，不能見到題

目，就無目的地添加輔助線。一則沒用、二則輔助線越多，圖形越亂，反而妨礙思考問題。同，還應(yīng)注意常見的輔助線的教學(xué)，使學(xué)生體會到許多輔助線的添加是有規(guī)可循的，從而進(jìn)一步提高分析題能力。不斷引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一些帶有規(guī)律性結(jié)論，有助于拓寬思路，豐富聯(lián)想，而達(dá)到融會貫通的目的、教學(xué)中注意培養(yǎng)學(xué)生了解幾何問題的思考方法，防止添加輔助線的盲目性很多學(xué)生不能夠掌握正確的思考方法，常常是不著邊際的添加一些不恰當(dāng)?shù)妮o助線，不僅不能助于解題，反而使圖形復(fù)雜化，影響了對習(xí)題的解答。怎樣解決這個(gè)問題呢？仔細(xì)的分析一下，不發(fā)現(xiàn)，不同的問題需要添加不同的輔助線，相同的問題思考方法不同，輔助線的添加又不同，所以說正的添加輔助線依賴于問題本身對問題有一個(gè)正確的思考方法。因此，學(xué)生對一些問題的思考方法就顯得重要了。例如:有這樣一個(gè)習(xí)題，矩形ABCD中E是DC上一點(diǎn)，且AE=AB，⊥于F，求證這個(gè)題目的證明本身可以不添加輔助線證明ABF≌△EAD因?yàn)镈C=AB=AE即可以得出結(jié)論。但是不同的學(xué)生對同一個(gè)問題的思考方法不同，因而出現(xiàn)幾種添加輔助線的法：Ⅰ、驗(yàn)證EF=EC可它們所在的角形全等，因而需要將它們構(gòu)建到兩個(gè)全等的三角形中去，所以連接BEⅡ、驗(yàn)證可證它們是一個(gè)等腰三角形的兩條腰，所以連結(jié)F、。上述幾種方法有繁有簡，但都能順利地得出結(jié)論，所以采用不同的思考方法，對同一個(gè)問題就了不同的輔助線的添加方法。、教學(xué)中引用歌訣，讓學(xué)生找到添加輔助線的規(guī)律怎樣才能正確地添加輔助線呢？我向?qū)W生介紹了《平面幾何輔助歌訣輔助線，如添，找出規(guī)律憑驗(yàn)。題中有角平分線，可向兩邊作垂線。線段垂直平分線，可向兩端把線連。三角形中兩中點(diǎn)，連結(jié)則成中位線。三角形中有中線，延長中線同樣長。成比例，正相似，經(jīng)常要作平行線。作線原則有一條，證題線段別割斷。圓外若有一切線，切點(diǎn)圓心把線連。如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過切點(diǎn)作切線。兩圓相交于兩點(diǎn)，一般作它公共弦。是直徑，成半圓，想做直角把線連。作等角，添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。學(xué)生通過這一歌訣就可以找到添加輔助線的規(guī)律。、教學(xué)中注意總結(jié)常見添加輔助線的方法在平時(shí)的教學(xué)中教會學(xué)生思考問題的方法是極為重要的，總結(jié)一些常見的輔助線的添加辦法也助于學(xué)生解決問題，在幾年的教學(xué)中總結(jié)以下幾點(diǎn)：5.1截補(bǔ)，針對證明一條線段等于另外兩條線段的和及差

例如:已知eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠C=90°，是BAC的平分,求證AB=BC+CD方法一截，在上截取AE等，連接從而就有了AEDACD,可得DE=DC,因?yàn)椤螩=∠90°,而又可得BED是腰三角,因此有得出AB=AC+CD方法二補(bǔ)延長ACF，使CF=CD連接D、可證△ABDAFD可得AF=AB，出結(jié)論。5.2和段中點(diǎn)有關(guān)的問題往往可以聯(lián)系到三角形和梯形的中位線例如：如圖四邊形ABCD是的外切四邊形，其周長是，別是的點(diǎn)，求證≤S證明方法：連接AC（BD是AC和EF的交點(diǎn)，若N是AC的點(diǎn)，則∥DCAB，四邊形ABCD是形，那么是形ABCD的位線，則有（AB+CD=AB+BC+CD+DA=S若不AC中則可以做出AC的點(diǎn)M連接EMFM則有2EM=DC2FM=AB，從而可以得出4（EM+FM=2AB+DC，在三角形EMF﹤，可得4EF＜S。5.3和平線有關(guān)的問題，通常可以作這個(gè)角的兩邊的平行線例如：ABC中AD是∠BAC的平分線，與BC于D，證︰AC=BDC這個(gè)習(xí)題的證明方法很多離不開添加BAC的兩邊的平行線過D做DE∥ACAB交E。②過做∥AB與AC于F。③過做BH∥AC與交H④過C做CG與的延線交于G。5.4已三形的一邊中點(diǎn)，可以取另一邊的中點(diǎn)，并做出三角形的中位線，以便利用中位線的性質(zhì)例：已知在三角形ABC中，B=2∠C，AD為為中點(diǎn)，求證：AB=2DE。證明：取AC中F，連接EFDF，則為位線，且∥AB、FEC=∠∠C在直角三角形ACD中F是邊AC的中點(diǎn)，所以有DF=CF可得∠DEF=∠C即有2FDC=，從而有EFC=∠FDC+DFE所以∠∠FEC=2∠FDC得出DE=EF，得出得。5.5如垂平分線的問題，往往構(gòu)成等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)解題例：已知在三角形ABC中BD，CE分別是AC邊的高G為ED的點(diǎn)，求證：FGED分析：G是ED中點(diǎn)，要證明⊥，說明必的直平分線，自然考慮添加輔助線DF與EF，只要證得DF與相，就可利用等腰三角形的三線合一定理推出結(jié)論。5.6當(dāng)例不能直接證明時(shí)，往往可以考"中間比，為此往往需要添加平行線實(shí)現(xiàn)這種比的轉(zhuǎn)移例：已知在三角形中，D在CB的長線上在AC上BD=AEDE交AB于，證：︰F=AC︰B。分析：所證明的四條成比例線段，構(gòu)不成兩個(gè)相似三角形，因此考慮作EG∥，︰EF轉(zhuǎn)為DBBG最后轉(zhuǎn)化為︰（證明略）5.7涉到的輔助線可以歸納如下：遇有直徑，常把圓上的一個(gè)點(diǎn)和直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連接，構(gòu)成直角三角形；有關(guān)弦的問題常做弦心距和將圓心與弦的兩個(gè)端點(diǎn)連接；兩圓相切或相交，則可以編成順口溜相做條公垂線，相交做條共弦，相切相交連心線，必過切點(diǎn)，垂直公共"例：已知圓1與⊙交于P，Q的線，分交圓A，交⊙2，，證：ACBD。證明：連接PQ，在圓1，∠BPQ=∠C；在