其他-4第一章第三節(jié)事件概率

一、概率的統(tǒng)計頻率的性質(1)設 fnAii

i

fnAi表1試nnn序1223314551627482933n德3**0f(A)nf(S)nkk若AA,…,A兩兩互不相容，則f12knA)f(Ainifn

4觀察：例1，例2分析當nfn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p的附近，則將問題：n例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應對這個射手在同樣條件下大量射擊情況進行觀察記錄若他射擊n發(fā)，中法國科學家于7年發(fā)現(xiàn)了隨機投針的概率與圓周率π之間的關系，提供了早期學者們用隨機試驗求值的范例.我們引入計算概率的數(shù)學模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對象，通常稱古典概假定某個試驗有有限個可能的結e1,e2,…，eN假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認為其中某一結果例如i，比任一其它結果，例如j,更有優(yōu)勢，則我們只好認為所有結果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即1/的出現(xiàn)機會.試驗結可能可能性大常常把這樣的試驗結果稱為“等可能的二、古典概型概率的定定若試驗E 記A={摸到2號球 記B={摸到紅球 0靜這里實際上是從“比例”轉化為“概率PA

kA包含的基本事件數(shù) 包含的基本事件這樣就把求概率問題轉化為計數(shù)問題排列組合是計算古典概率的重要工具 對于i≠jAiAj=,i,j=1,2,......m PAii

PAii證明:(1)(2)(3)設樣本空間含n個基本事件,Ak含有rk(n)個基本PAkn m

P

i

PAii i

i

i例A：6A3nA2,k 6A3AA36P(A) AA36袋中共有N個球，N1白，N2[不放回 CabC

CCNN CNNP(A)

CCNN CNNCabCA 排列，樣本點總數(shù)：abANab紅球，樣本點數(shù)C ab

AA NAAP(A)

CAa CA

AN A

(a

b)!

AabAabA22AaN(a

N N1

CCNN CNN

abCCP(A)

CbCNN CNN

b)!

CCC NCCCAabA

abCNN CNNab Ca

N

NP(A)

ab Nab(二 放球問n個球，隨機的放入N個盒（n≤N），每盒容量不限，解:試驗:一個一個放n個球入N個盒,每種方法構成ANP(A1)AN

n!NNnP(A2)=CnNn

n!Nn

)=Ck

(

Nn有n個人，每個人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在間房的每一間中，求指定的n 各有一人的概率人有n個旅客，乘火車途經(jīng)N個車站設每個人在每站下車的概率為1/ n，求指定的n旅的概率旅車車例:設每人的生日在一年的任一天是等可能的，求任意n人解:人任一Cn 任一P(A)

n個人中至少兩個人生日相同的概率為p=1-P(A),np（三）B：不含1，2，……，N中指定的r某指定的數(shù)字恰好出現(xiàn)m（≤k）次CN（1）因kCN

kCk P(A) N

N

P(B)

(Nr)kNk

P(D)

Mk(MN

a在第k個位置Ca

Ca1(abCa P(Ak)

a解法

如果將球認為只有顏色的區(qū)別，放入a+bCabCCCaab1P(A)

CC abCC

ab例4某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有周的任一天去接待站是等可能的，那么，12次接（稱之為實際推斷原理例把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣SSCIENC問：在多大程度是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術解：七個字母的排列總數(shù)為拼成英文單詞SCIENCE的情況數(shù)22故該結果出現(xiàn)的概率為p

次試驗中大約出現(xiàn)1次.這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，.具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術例n雙相異的鞋共2n只，隨機地分成n堆，每堆2只問:“各解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總為

而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,P(A)

(2n)!/

需要注意的是1、在應用古典概型時必須注意“等可能性”的條件. 據(jù)實際情況去判斷是否可以認為各基本事件或樣本點是可能的在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認為基本事件是等可能的并在此基礎上計算事件的概率.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少13579下面的算法錯1357958

P(A)

1210 4

從5雙中取1雙，從下的8只中取2正確的答案是585 P(A)

12 210 4三、幾何概 量為L(Ω),且事件A的度量為L(A)，則A的概率為P(A)

例1:（問題）：甲，乙兩人約定中午1點到2點間在 解:以x,y（單位：分鐘）分別表示兩個到達 0≤x≤60，0≤y≤60，且能會面的充要條件為|x-y|≤10，樣本空間和事件A分別可表示為={（x,y）|0≤x≤60,A={(x,y)||x-y|≤10,件A才發(fā)生。這樣易算得A x-y=-

P(A)

陰影部分的面積正方形的面積

1100113600 36例( 向平面上任意投一長為l的針(l<a),試求針與平行線相 的距離，0xa/2,0 M這兩個不等式?jīng)Q定的xo矩形區(qū)域

x2

sinA 2(x,)|x2

sin,(x,)xxxl2P(A)

0

laa2

（1）對于每一個事件A，有（3）設A1，A2Am對于i≠j,AiAj= i,j=1,2,......,則 PAiPAi AA現(xiàn)向區(qū)域隨機投點n次，由幾何方P(A)P(A)(()1 r2r24rP(A)nnP(A)nn于而幾何方法的正確運用，有賴于“等可能性”的正確規(guī)定考慮用一個天平稱物時的誤差，這個試驗的結果就有.那么，如何知道誤差落在某個范圍內的概率呢再如，一射手向一目標射擊，“中靶”與“脫靶”般不是等可能的，那么，又如何知道他中靶的概率呢 哥公理為數(shù)很少且極為簡單，但在此基礎上建立起了概率論的宏偉.下面介紹用公理給出的概率定義四、概率的公理化定

對于任意A,0

P(

P()

1,2,,且當i

j時Ai

, PAii

i

PAi則稱P(A為事件A的概率。稱定義中的條件(3)為概率的可

PP

Ai,Aj,i,

1,2,,n,i

j兩兩互不相容 PAkk

PAkk

P(

1

P(P()

P(A

A)

P(A)（4）若AB，則P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)因為B=A∪(B-A)。由（2）（5）P(A∪B)=P(A)+P(B)-A∪B=A∪(B-AB),A、(B-AB)互不相容同理：P(A1A2A3一般的 PAi1i 1

i

P(AiAj)1ijnP(

Aj

)(1)n1

A2An1ijk若A1

A2,AA2,A

Am,則PAAm,則PA

limP(AmmmlimP(Am

Amm

A1

A2

A3A2

兩兩互不相

A2

A3

Am

Am令

A1,

A2A1,,

AmAm1 P(A)

PBmP(Bm)limP(Bk

mklimPBk

P(Am

k

例1:設P(BA)=P(B)=1/2-1/8=3/8例設元件盒中裝有50個電阻，20個電感，30個電容，從盒解:設A={所取元件中至少有一電阻

理解題意用字母表示事B={所取元件中至少有一電感導出所求事件概的計導出所求事件概的計算公P(

1

P(1P(AB)1[P(A)

P(B)

P(

從盒中任取30個元至少有一個電感的概率P(

1[P(A)

P(B)

P(

5080代入數(shù)據(jù)計 代入數(shù)據(jù)計1

30 30 30例2在1～1000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù)，問取到的整A為事件“取到的數(shù)能被6整除”，B的數(shù)能被8整除”則所求概率

理解題意用字母表示事P(AB)P(AB)1

P(AB)1[P(A)

P(B)

P(又由于一個數(shù)同時能被6與8整除，就能被24整除p=1-{P(A)+P(B)-

導出所求事件概的計算公代入數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù)計設設Ai={第i封信裝入第i個信封}iA={沒裝對地址A={至少裝對地址問對例問對將三封寫好的信隨機裝入三個寫好地址的信中，問沒 裝對地址的概率是多少直接計算P(A)不易，我們先來計算P(A)AA1A2應用加法公P(A)P(A1A2應用加法公P(1)P(A2其中P1

P(P(A1

1 代入計算P(A的公式P(A)

32!311 111 于

把n封信隨機地裝入n個寫好地址的信封中,沒有 P(

1

P(A)

1

11

1

1

四、概率的公理化定設Ω為樣本空間，稱Ω的一些子集所組成的集合Ω的一個σ-代數(shù)，如果?滿足下列條件F;如AF,則

F;如

F,

1,2,,則

F我們把Ω的σ-代數(shù)F又稱為Ω的事件域并僅把中性質:若為Ω的一個σ(1)F;(2)

若ABF,則A

BF,ABF; (3)

若AiF若AiF

1,2,n,則i1,2,n,則i

F,iF

F;概率的公理化定定義：設為樣本空間Ω上的σ-代數(shù)，P是定義在?上的

對于AF,0

P(

P()

若

F,

1,2,,且當i

j時AiAj

, PAii

PAii則稱P為定義在{Ω,}的概率，P(A)為事件A的概率元總體{Ω,P}稱為概率空間。稱定義中的條件(3)

PP

Ai,Aj,i,

1,2,,n,i

j兩兩互不相容 PAkk

PAkk

P(

1

P(P()

P(A

A)

P(A)（4）若AB，則P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)因為B=A∪(B-A)。由（2）（5）P(A∪B)=P(A)+P(B)-A∪B=A∪(B-AB),A、(B-AB)互不相容同理：P(A1A2A3一般的 PAi1i 1

i

P(AiAj)1ijnP(

Aj

)(1)n1

A2An1ijk例1:設P(BA)=P(B)=1/2-1/8=3/8例2在1～1000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù)，問取到的整A為事件“取到的數(shù)能被6整除”，B為事件“取到P(AB)

P(A

1

P(AB)1[P(A)

P(B)

P(又由于一個數(shù)同時能被6與8整除，就能被24整除p=1-{P(A)+P(B)-=1-166/1000-AA

365 p1

365364

n p0.4110.507 0.