量子力學典型例題分析報告解答1

量子力學例題第二章一.求解一位定態(tài)薛定遛方程1.試求在不對稱勢井中的粒子能級和波函數（占皿［解］薛定諤方程:故有用Exp化1工）…工<0故有用Exp化1工）…工<0甲（工）二3血（上工+司…。<x<aexp（-k2x'）...x>a利用波函數在x=0,x=a處的連續(xù)條件處連續(xù)條件:處連續(xù)條件:k2=—hct^ka+8）

給定一個處連續(xù)條件:k2=—hct^ka+8）2.粒子在一維m勢井中的運動知）=-血偵）求粒子的束縛定態(tài)能級與相應的歸一化定態(tài)波函數［解］體系的定態(tài)薛定諤方程為Mdx2*擊潢*W（—00）=甲（00）=。對束縛態(tài)、『、『解為在工=°處連續(xù)性要求代入得A=B又甲偵［-歐（0一）=-雄+月）J又相應歸一化波函數為:歸一化波函數為:3分子間的范得瓦耳斯力所產生的勢能可近似地表示為oo...x<0心一...0<x<一*…&<x<b0...x>b求束縛態(tài)的能級所滿足的方程心一...0<x<一*…&<x<b當孟罰時叭司T3甲1（工）=0當。多罰時叭對=峋薛定諤方程為碼"+岑修-*）罵=0..碼'+購地=0解為碼（對=A亦+月1廠娜當a<x<b時知）f也+*修+叨碼=。解為甲』工）=3￡拓止9工+月acos^2x當工罰時薛定諤方程為

令房=斜＜。薛定諤方程為貯四=0解為甲4（工）二劇/島”*"逐由玲）4^0.■.j43=0甲4（工）="庭波函數滿足的連續(xù)性要求，有%=碼L~oA+月1=。0sink2a+52cosk2a=0舀站+0舀一如招法wsink2a-B2h2cosk2a=A止伊加+B志寸*甲41a=甲小璀服*=Asm峪+馬8噸&要使甲⑴有非零解A見,鳥,務也不能同時為零則其系數組成的行列式必須為零計算行列式,得方程t止伍）把志術電*仲+的把羅肱*仲k^shk-^a-鑫也點北供例題主要類型：1.算符運算；2.力學量的平均值；3.力學量幾率分布.一.有關算符的運算1-證明如下對易關系瓦』士］=七疚±（￡±二&土疽）%吼+站打二％^誘（涼+法）

[￡，￡±]二0[證]（i）［其，/3）］=—誘［穿—了■＞）?］=一誘孚oxdxdxdx］=出￡±，烏］=［，￡］±，［乙匕］=配y±m(xù)（—法&）=M+就/=±也，±iLy]=±hL±[￡，￡±]二0La,xa+La,xa+%，*=。+°+訪％Y為習+2膈成存殊+誘弓挪犬一般地，若算符'是任一標量算符，有■■■■■Ik^]=o一般地，若算符,是任一矢量算符，可證明有一般地，若算符'是任一標量算符，有■■■■■Ik^]=o■■■■■.-.■■■■■■■■■■■■■■■I■■■■■=-ihLyLs-ihLsLy+ihLyLs+液；=0\l2,L=o同理：L，"。2.證明哈密頓算符為厄密算符［解］考慮一維情況

J甲*0）土磯Q&X=J（土網辦「［紗礦「伴竺：辦=_［竺心JdxJdxdxJdxt=-hL^L為厄密算符，膈為厄密算符,s為實數jV（X、）礦（x）w（x'）dx==J（四腿X歐"為厄密算符"=§+貸為厄密算符3已知軌道角動量的兩個算符療和六工共同的正交歸一化本征函數完備集為％?。骸辍?A土&,試證明：￡士氐也是仃和鼻共同本征函數，對應本征值分別為項+賦而土電［證］■/1}［證］■/1},L+=o■'土是於的對應本征值為巾+'）的本征函數&信指=（L±Ls±ht±k=S±1旅士虹）E士氐是^3的對應本征值為伽土碰的本征函數又：=（刑±1源ffi±l可求出:皿■）=痍"幽）（?土歐+1）七心（□）二.有關力學量平均值與幾率分布方面=^expf-—）泠二一烏+/1.（1）證明是血的一個本征函數并求出相應的本征值；（2）求x在*（無1態(tài)中的平均值加3）=（-芻+/好-了］［解］辦??是食的本征函數。本征值乳2.設粒子在寬度為a的一維無限深勢阱中運動，如粒子的狀態(tài)由波函數甲0)=Msin—COS-XJaaa描寫。求粒子能量的可能值相應的概率及平均值1r.[sin—+smJa1r.[sin—+smJa甲3)=Msin竺ms艾工=JaaaJaa寬度為a的一維無限深勢井的能量本征函數注意:是否歸一化波函數TOC\o"1-5"\h\z能量本征值沖出現的幾率,出現旦5的幾率2能量平均值_119^_\o"CurrentDocument"~22/￡?2+22^2~1另一做法頁=［礦⑴如3）以展）=眼心工）+\祁（X）+一迎33）3.一維諧振子在￡二°時的歸一化波函數為

所描寫的態(tài)中式中，式中吠""是諧振子的能量本征函數，求（1）的數值；2）在以履）態(tài)中能量的可能值，相應的概率及平均值；（3）時系統的波函數；（4）°時能量的可能值相應的概率及平均值［解］⑴心0）歸一化，［解］⑴心0）歸一化，(2)陟q.；腭!.；，；陟q.；腭!.；，；迓二ZC/旦=*+：&+并號膈(3)5時，吼"=.3)/琳所以：心為==g盼-/+占『廬-/+后財.￡>°時，能量的可能值、相應的概率、平均值同（2）。4.設氫原子處于狀態(tài)

甲（W瑚）二!跖沔（M）-手W^-1伊,時求氫原子的能量，角動量平方以及角動量z分量的可能值，這些可能值出現的幾率和這些力學量的平均值。［解］能量本征值能量本征當n=2本征值為的源=>電，箸=潦［解］能量本征值能量本征當n=2本征值為的源=>電，箸=潦出現的幾率為100%1L可能值為"孑出現的幾率分別為：45,在軌道角動量5,在軌道角動量療和共同的本征態(tài)'如°）下，試求下列期望值.［解］:="同瘁兩聲Fjg成=0=，±邑nL=0,Ly=0測不準關系1.粒子處于狀態(tài)式中'為常數，求粒子的動量的平均值,并計算1.粒子處于狀態(tài)式中'為常數，求粒子的動量的平均值,并計算測不準關系（慫）［解］先歸一化（1）動量平均值附:附:(A^)2=[P-Ff=F^-2FF^F2=F2-F常用積分式:(1)Jdx=—?jj(2)(3)第四章例題1.力學量的矩陣表示由坐標算符的歸一化本征矢同及動量算符金構造成算符D和k試分別：1）.求?和￡在態(tài)陽｝下的期望值；2）.給出D和f的物理意義【解】（1）.設態(tài)矢歸）已歸一化（甲IW=i0=（甲園W片性\r）（r\甲）=ET■州甲｝=礦何）WH珈）1七對）（粒子位置幾率密度）（2）（2）th2mih2mth2mih2m礦⑺￥（Q+甲⑺孕*（廣）=j何）（利用［葉將‘|=1化到坐標表象）=：『』襯保kx襯同產）尸|甲）+j護度”附乍|戶）伊|甲）］又：但即x泗技何*）,儼郎）『腳技何f上式2mJdF礦何）［誘"占何一襯'）］甲儼）+J#'礦何氣-誘椿您何，-尹）］甲何），亦，礦何工"8何一產）］甲何，）+腳產礦何）［一七3"-冏甲何）試證明：由任意一對以歸一化的共軛右矢和左矢構成的投影算符涉=|*乂叫（1）.是厄密算符，（2）.有^=?，（3）.§的本征值為0和1【證】（1）.厄密算符的定義F=F+扁==*例外）=血何同）伽2對=網甲）（甲8）=?|甲}《甲|幽〉=血回（甲|幽））=血囪狀））上式2m"甲潤為厄密算符⑵變或一化仰陽=1p1=|甲）也甲）（甲|=也也=2（3）.由分的本征值方程p\Z）=X\l]p2\X}=p\X}=X\X}又：孤乃=哪）頊園即：W）-叩）=0何項幅=02-22=0尤=。,1（本題主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符號的應用）分別在坐標表象，動量表象，能量表象中寫出一維無限深勢井中（寬度"）基態(tài)粒子的波函數。（本題主要考查波函數在具體表象中的表示）【解】所描述的狀態(tài)，基態(tài)波函數阻〉（1）.在x表象：（2）（2）.動量表象:\^i)=\dP\p)(p|甲1)甲出）=］①山）C出您如司=］辦①「⑴甲J甲出）=］①山）C出您如司=］辦①「⑴甲J對辦3|*片］紈山加*}仞明）=j祝印府時（3）.能量表象甲出）=ZX①」工）孔=j全?）甲出炫=一g倒甲1）=j賦咽⑴甲1）:孔=j全?）甲出炫=一g倒甲1）=j賦咽⑴甲1）同樣一個態(tài)在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是從不同側面來進行描述的.取療和&的共同表象，在/=1角動量空間中寫出療，虹，￡一的矩陣（本題主要考查算符矩陣的求法邕=榔\孫）

【解】在，七3的共同本征函數為阮(l^i⑵Q⑶全在項=1空間匕+1『卬%-1(1).斜,邕〈1,-1|卻1,-1)=(1,0|研1,。)=(1,+1|引1,+1)=2h同樣(項IMIE=o(1,+1艮|1,+1)=再(2)￡±=心土電(2)利用:E±|加)=h^[l+m)[l+l)p,狀±1)利用:利用正交歸一條件:-次"+誠+1屁方的再2再(i』W|L0)=@i|W|Q)=^7Ti『&V2Z+=>A00'、72同樣(3)0(?0072W(0L=>再利用:￡±二A土見IIf/X/X4我L+JIIfj\j\「?4矩陣:■-烏矩陣:F1G3(°05F1G001+—^100=—10122B0g加1時<oio>廣0e'H=02s0已知體系的哈密頓量02』，試求出(1).體系能量本征值及相應的在蟲所在的表象的正交歸一化的本征矢組.(2).將力對角化，并給出對角化的么正變換矩陣【解】(1(1).久期方程解之E=E設正交歸一的本征矢設正交歸一的本征矢本征矢歸一化占1對應歸一本征矢①1，全也即為療的本征函數集(2).獰對角化后對角元素即為能量本S本征矢歸一化占1對應歸一本征矢(2).獰對角化后對角元素即為能量本S部+轉換矩陣為證明：將算符矩陣『對角化的轉換矩陣的每一列對應于算符的一個本征函數矢量。

【證】月算符的本征矢：回）列冷=九|幽）則F算符在自身表象中為一對角矩陣：電=伽網乃=九方對另一表象力學量的本征矢I#攔印=（頊何伊｝礦=RF8+風=H弟）=2伽1破”何奶伊時宜的本征矢7.擊為厄密算符。皆=為』=1AB+BA=O①求算符/為的本征值，示。7.擊為厄密算符。皆=為』=1AB+BA=O①求算符/為的本征值，示。②在A表象下求算符/為的矩陣表甲，［解］:①i?=B2=\設？的本征值為丸，本征函數為^=±1同理算符&為的本征值也為土^=±1同理算②在A表象，算符/的矩陣為一對角矩陣，對角元素為本征值，即利用■■■■■■■■■■AB+BA=0知B為厄密算符B+利用■■■■■■■■■■AB+BA=0知B為厄密算符B+=B"0b12}(0即<^210J(如oj5口=^21

取：弟五早例題重點：微擾論1.一根長為,，無質量的繩子一段固定于支點，另一端系質量為的幽質點P,在重力作用下，質點在豎直平面內擺動。i）在小角近似下，求系統能級；ii）求由于小角近似的誤差產生的基態(tài)能量的一級修正。?。豪}礦（召）=mgh=-cos——解:勢能:解:系統的哈密頓量=上+嘩）2ml2\d6j在小角近似下：x=l°ii）若不考慮小角近似又牛甲山）二虬召明=創(chuàng)孫）21—土詈邛）1mg247^(0|x4|0)1mg247^(0|x4|0)利用公式同樣2.一維諧振子的哈密頓量為，假設它處于基態(tài)，若在加上一個彈力作用，使用微擾論計算療'對能量的一級修正，并與嚴格解比較。解：i）理=件）冏吧=撲胛同理））2.一維諧振子的哈密頓量為，假設它處于基態(tài)，若在加上一個彈力作用，使用微擾論計算療'對能量的一級修正，并與嚴格解比較。解：i）ii）嚴格解■發(fā)生了變化壓+―壓+―?a?1+2k口1人1泌1泌'或=5服七；+■■■1臚、'7T+…8k23.已知體系的能量算符為H=kl}+flii+2Lk,Q}?X>0Ta,,其中，乙為軌道的角動量算符。（1）求體系能級的精確值。（23.已知體系的能量算符為［解］:i）精確解-=^_一a?sm^=Z:a/q?2+Z2令的,并在''平面上取方向*cos6=,z成與z軸的夾角為日，則膈+/.aLs+XLy=V^2+2?(Lscos^+La?sm^=Z:a/q?2+Z2療與孔相互對易

它們的本征值分別為L?=總+1沔

項,12…ZM=mhm=0,±l?±2,---體系能級為E瞞7Q+Y)成+聶靜頃+1)*+刑成1+乒+…)ii)微擾法的精確解為本征函數we本征能量占加=kl(l+1)冊+幽泌按微擾論ZM=mh的精確解為本征函數we本征能量占加=kl(l+1)冊+幽泌按微擾論\H=2.11m|￡^=0利用了公式能量二級修正為C，^，|4M=y展+砌d矣心-卷膜-頑+用+1）d5導心占￡）=片（竺"W+幽）（￡_林+1）_（項_林）（！+幽+1）］=【林如邑泌22a?在二級近似下加如加加=1(1++mo^i+—m2?—2￡U療口上+1小（/+八/）4.三維諧振子，能量算符為2狀2,試寫出能級和能量本征函H'=^m^xyM?1數。如這振子又受到微擾N,的作用，求最低的兩個能級的微擾修正。并和精確值比較。［解］:（1設騫的能量本征函數為如，ME酒拿⑵代入方程猷理(x我⑵=EW(x,y,z)

一|^［甲"3）甲0）甲0）+甲（對頃'0）甲0）+甲0）甲0）礦0）］+|^fl?2（x2+_/+E勺甲0）甲O）甲0）二點甲⑴甲0）甲0）代入方程猷理(x我⑵=EW(x,y,z)［一里空+匕履己+［_MM+L皿偵］+［一里空+匕由］非寫甲⑴2卒甲0）2寫甲⑵2艮=^￡U（|+^）-|-T"⑴+!落的"/甲（工）=&甲（對

-二甲3+：幽的七'甲（#="、y）

一￡1礦⑵+?凱的七'甲艮=^￡U（|+^）￡1=臉（.三+誦網％（"⑵=%3）'玖（協％⑵

（2）.基態(tài)的微繞修正對基態(tài)波函數咪卜瑞雙⑴快）醪=-h（D基態(tài)能級的零級2,無簡并上（/&總展+r庵_成）能量的二級修正:唯一不等于零的矩陣元為（3）.第一激發(fā)態(tài)面盛=豎⑴覽⑴豎⑵

z思=覽3）甲心）覽三度簡甲盟=咒3）甲心）甲心）甘三度簡計算啪不為零的矩陣元為

丑皿如來皿皿=（瑞冏I璃）=普刑履仲0網010）⑷.久期方程可求出能量的一級修正精確解

⑷.久期方程可求出能量的一級修正精確解Eg=g+|^￡yi+（^+（^+：）服=（%+：）五飆1+§尸+（駕+?）五由（1一?尸+（徐+?）而的^-1^-1^-1^-1…）+（弓+!）再由（1一f一命+…）+（%+!）方由=A￡U（:+V）—由（1+理X+勺P）+.克瓦土-灼基態(tài)第一激發(fā)態(tài)第一激發(fā)態(tài)占S1=:先由一命蘇的設粒子的勢能函數烈時⑵是坐標的n次齊次函數，即/（孫頂沮如）羊沙"）⑵試用變分法證明，在束縛態(tài)下，動能T及勢能V的平均值滿足下列關系2了=矛（維里定理）［證］設粒子所用的態(tài)用歸一化波函數呼（"⑵描寫則尸二［礦（礦工z）（-土寸）甲3況?打/=\（x,zy^（x,y,z）dT取試態(tài)波函數為由歸一化條件j甘頃）&=|c2|J甲*（辦,財,如）甲（及,&,及）蟲澎血=1|cf］仔（心，奪電）|%（右）d0y）』（功§=1TW=（苛0）（-待頓'應"

=［足v（女財&）［-A（芻+%+當）］甲（女芬如）血奇也J2u3汐=j叭…）勺（治土+熹呼g^曷向無瞠（如3）￥偵捫叩睥&）叮義)=JW^(x,y,z)^dxdydz=J啟甲*0x,財,AZXTT0X,財,股）甲（及,#,肚）=甘［礦（女,初電）礦（及，奩，所）甲。無涉，窘）』如d（初d&）=/礦H(Z)=T(Z)+^(Z)=Z2T+ra^￥偵捫叩睥&）警或*f,?,當2=1時，試態(tài)波函數即是粒子所處的束縛態(tài)波函數。?擰3）-亍咒=1弁幣機/擊■-、/應在兀1時，取極值27-?7=0氫原子處于基態(tài)，加上交變電場京*e+召山），粕>>電離能，用微擾論一級近似計算氫原子每秒離幾率。初態(tài):氫原子基態(tài)末態(tài):自由狀態(tài)為能量為Sk在單位立體角的末態(tài)密度。微擾孩=（珥碼*澗瑞J［解］解這一類問題要搞清楚三個要素，初態(tài)末態(tài)是什么？微擾矩陣元丑就初態(tài):氫原子基態(tài)末態(tài):自由狀態(tài)為能量為Sk在單位立體角的末態(tài)密度。微擾孩=（珥碼*澗瑞J［解］轉動慣量為I,電偶極矩為D的平面轉子，置于均勻場強E（沿x方向）中，總能量算符成為基態(tài)能量近似值。為旋轉角（從X軸算起）如果電場很強，，很小，求［解］:方法一為基態(tài)能量近似值。為旋轉角（從X軸算起）如果電場很強，，很小，求［解］:方法一=一§*甲+：￡）￡/甲=0+￡）為甲一史馬甲+【落a?/甲二下甲與一位諧振子的能量本征方程'心'比較有1mof-De有1方法二用變分法，取歸一化的試探波函數T(2,=~^yrS亍*(~7T<^<71)E=-與提￥西-"次族=一。應舊一￡?￡(西-"次族=一。應舊一￡?￡(1一占0)=7(2：)+70)=號+號一De所得結果與方法二一致。設在育。表象中，蟲的矩陣表示為其中聽"幽,試用微擾論求能級二級修正［解］:在丑。表象中，『0『0。小丑'=00b頂b0）占1=研+丑ii+藝-Jq―二研+0+—遮氐一％旦1一土亳=砌+%+￡［:，=占?+°+口；口SJ生_與％_%第六章例題1.有關泡利矩陣的一些關系的證明（注意應用一些已知結論）10\0\0\=；K?10\0\0\=；K?M；(2).,(3).,(4).設h±=°\±g『則b；=o，[a+,a_]=4as【證】=°.■■,2^^=2j￡7z■孔％%=M(2).(2).++++%cr+(%%+"J睥/(3).+"J=A+%吼八+"叢+%"y=尸+°\b』"」+%b+"J=A+%吼八+"叢+%"y=尸+°\b』"」+%b衛(wèi)3月］+弓叫虹山.尸+1%(調3)+2b(4).—I..-■■'■■—?■=P-halb,+詁"-iay一gb打+g=-2Qcrff?cr=4%2.證明:并利用此結論求bi，任^本征值【證】(石1,扃/=Gixer即+cr^cr^=bgCT亦+b項b部+0^=3+%%盧邛，iy+己}]^部b]*b”+°7中b撲o^cr就+ar}sar2sarlycr鄧+孔%*電cf2s+

=3+阮J⑵%）+阮」（方％）+$城版i玲）%皿的本征函數為才侑1?瓦/￡=痕1?鬲）T=政3—2（金金）￡=（3-22）7=3-22+22-3=0丸=1,丸=—33.設為尤常數，證明產’=8以+噸泗尤3.設為尤常數，證明產’=8以+噸泗尤【證】將凌’展開成的冪級數，有^3=1,理為偶數K=l；姓為奇數=z>r+^i>r■■-上式頑〃'5想=§（以嚴+?！礻爣馈?尋（-1）覽嚴.尋（-1）十嚴H=ti闋*沔喧（2^+1）1=cosZ+icfzsinZ土審）的投影的本征值及本征矢（在心表COS&4.求自旋角動量在任意方向理（方位角為象），&=&sin召cos族+旦sin召土審）的投影的本征值及本征矢（在心表COS&象），【解】在心表象中■-四在巳表象中的矩陣表示為h『cos^sine~^、'2^sin-cos設織的本征值為尤，相應本征矢為S，本征方程為52\fl2>解久期方程解久期方程將2代入本征方程|cos+sin3e~^a2=aYsin&抻⑶-cos=a2由歸一化條件同樣:2對應的本征矢為&}cos—sin—.驢2)對應的本征矢為(.3sin—-cos—.必I2土邑通過本題討論我們發(fā)現，巳的本征值為2土邑是2。也進一步推廣，對任一種角動量算符'則亍在任意方向上的分量"3的本征值的可能值也為自旋算符3，如有言在任意方向上的分量巳的本征值也尹的本征值為J^+l修，力的本征值為歐五mh5.有一個定域電子（不考慮軌道運動）受均勻磁場作用，磁場指向正1方向，磁作用勢為A曲84克H=『頭=—2尹，設i=°時電子的自旋向上，即％求1>°時三的平均值。［解］設自旋函數在表象中體系的哈密頓算符可表示為［解］設自旋函數在表象中體系的哈密頓算符可表示為則自旋態(tài)所滿足的薛定諤方程為ih—x(f)=Hx(f)dt也=5)ndt=(tr)、dta(f)=(Z)=-Q}2a(￡)a+o^a(f)=0同理a(t)=Acossinal又￡=°,又￡=°,山(0)=1Z?(0)=0也=-*)再由成即一戰(zhàn)+詔由8S&=T湖8S&+月由皿赤--A=B'B=-A:.B'=-1B=06.在自旋態(tài)中，求【解】5=騏項同理7.已知電子的態(tài)函數為同理7.已知電子的態(tài)函數為其中盼）已歸一化求（1）.同時測量尸為2冊，L為市的幾率。（2）.電子自旋向上的幾率。（3）.^和丸平均值。［解］首先驗證態(tài)函數是否歸一化［erfwfffl］f）齊小*克"土皿+土切一】+擰功①31=—+——5101月1為再的幾率1°電子自旋向上的幾率:②③同時測量尸為苗2,考慮由兩個相同粒子組成得體系。設可能的單粒子態(tài)為效白般、試求體系的可能態(tài)數目。分三種情況討論（1）。粒子為玻色子；（2）粒子為費米子；（3）粒子為經典粒子.［解］①玻色子構成的系統，系統態(tài)函數必須是對稱的a,如兩個粒子處于同一單粒子態(tài)：一"（勺1）"（知）共三種b.如兩