2020高中數(shù)學(xué) 2 弧度制（含解析）北師大版4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)分層作業(yè)(二)弧度制（建議用時(shí)：60分鐘）［合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．在半徑為10的圓中,240°的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為(）A。eq\f(40，3)π B。eq\f（20,3)πC.eq\f(200，3)π D.eq\f(400，3)πA[240°＝240×eq\f(π，180)rad＝eq\f（4，3)πrad，∴弧長(zhǎng)l＝|α｜·r＝eq\f(4，3）π×10＝eq\f（40，3)π，故選A。]2．自行車(chē)的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒,當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)（)A。eq\f（5π，11)rad B.eq\f（44π，5）radC。eq\f(5π,22)rad D.eq\f(22π，5）radB［由題意，當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)eq\f(88,20）周，eq\f（88,20）×2π＝eq\f（44π,5）。］3．與30°角終邊相同的角的集合是（）A.eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f（π，6）,k∈Z)）））B．{α｜α＝2kπ＋30°,k∈Z}C．｛α｜α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D。eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f（π,6），k∈Z)）））D[∵30°＝eq\f(π,6），∴α＝2kπ＋eq\f(π，6），k∈Z.]4．終邊落在直線y＝x上的角α的集合是(）A.eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(π,4）））B。eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(π,4），\f(5π，4）))C。eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（α＝\f（π，4）)）＋2kπ，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（α＝\f(π,4)））＋kπ，k∈Z））D[角的終邊落在直線y＝x上，即此角的終邊為第一、三象限的平分線，故角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（α＝\f（π,4))）＋kπ，k∈Z））。］5．若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為4cm，則這個(gè)圓心角所對(duì)的扇形面積是()A．4cm2 B．2cm2C．4πcm2 D．2πcm2A[設(shè)扇形的半徑為r，則由l＝|α|r,得r＝eq\f(4，2)＝2（cm），∴S＝eq\f（1,2)｜α|r2＝eq\f(1，2)×2×22＝4（cm2）,故選A。]二、填空題6．若扇形圓心角為216°，弧長(zhǎng)為30π，則扇形半徑為_(kāi)_______．25[216°＝216×eq\f（π，180）＝eq\f(6π，5），l＝α·r＝eq\f(6π，5）·r＝30π，所以r＝25。］7．若三角形三內(nèi)角之比為4∶5∶6，則最大內(nèi)角的弧度數(shù)是________．［答案］eq\f(2,5)π8．如果一扇形的弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f（3，2)倍，半徑變?yōu)樵瓉?lái)的一半,則該扇形的面積為原扇形面積的________．eq\f(3,4）［由于S＝eq\f（1，2)lR，若l′＝eq\f（3，2)l,R′＝eq\f（1，2)R，則S′＝eq\f（1，2)l′R′＝eq\f（1，2)×eq\f（3,2)l×eq\f（1,2)R＝eq\f（3，4）S.］三、解答題9．把下列各角化為2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)形式并指出它是第幾象限角，并寫(xiě)出與它終邊相同的角的集合．（1)－eq\f(46π,3)；(2）－1485°；(3)－20。[解］（1）－eq\f(46π,3）＝－8×2π＋eq\f（2π,3），它是第二象限角，終邊相同的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（β\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（β＝2kπ＋\f（2π,3）,k∈Z)））)。(2)－1485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋eq\f(7π,4）,它是第四象限角．終邊相同的角的集合為eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（β＝2kπ＋\f(7π,4）,k∈Z）)）)。(3）－20＝－4×2π＋（8π－20),而eq\f（3π,2)<8π－20<2π。∴－20是第四象限角，終邊相同的角的集合為{α｜α＝2kπ＋（8π－20)，k∈Z｝．10．直徑為20cm的圓中，求下列兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)及扇形面積．（1）eq\f（4π,3）；(2）165°。［解](1)l＝|α|·r＝eq\f(4,3）π×10＝eq\f(40，3)π（cm),S＝eq\f(1,2)|α|·r2＝eq\f（1,2）×eq\f(4,3）π×102＝eq\f（200,3)π（cm2)．(2)165°＝eq\f(π，180）×165rad＝eq\f(11,12)πrad?！鄉(xiāng)＝｜α｜·r＝eq\f（11，12)π×10＝eq\f(55,6)π（cm)．S＝eq\f（1,2)l·r＝eq\f（1，2）×eq\f（55，6）π×10＝eq\f（275，6)π（cm2）．［等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．集合eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（kπ＋\f（π,4）≤α≤kπ＋\f(π，2），k∈Z））））中角的終邊所在的范圍（陰影部分）是（）ABCDC［當(dāng)k＝2m，m∈Z時(shí)，2mπ＋eq\f(π,4）≤α≤2mπ＋eq\f(π，2)，m∈Z；當(dāng)k＝2m＋1，m∈Z時(shí)，2mπ＋eq\f（5π,4）≤α≤2mπ＋eq\f(3π,2），m∈Z,所以選C。]2.如圖是一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)為4R,則這個(gè)扇形所含弓形（陰影區(qū)域）的面積是（）A.eq\f(1，2）(2－sin1cos1)R2B。eq\f（1，2）R2sin1cos1C。eq\f（1，2）R2D．（1－sin1cos1)R2D[∵l＝4R－2R＝2R,∴α＝eq\f（l，R)＝2?！逽弓形＝S扇形－S△＝eq\f(1，2)｜α|R2－eq\f（1,2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2Rsin\f（α，2）））·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(Rcos\f（α，2)））＝eq\f（1,2)×2×R2－R2sin1·cos1＝R2(1－sin1cos1)．］3．扇形圓心角為eq\f（π,3)，半徑為a，則扇形內(nèi)切圓的圓面積與扇形面積之比為_(kāi)_______．2∶3［如圖，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f（a，3），所以S圓＝π·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a，3))）2＝eq\f（πa2，9），S扇＝eq\f（1，2)a2·eq\f(π,3)＝eq\f（πa2,6)，所以eq\f(S圓,S扇）＝eq\f(2,3).]4．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，則α的集合是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3，2)π,－π))∪eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π,2），2））[∵α是第二象限角，∴eq\f(π，2）＋2kπ<α〈π＋2kπ，k∈Z,∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，當(dāng)k＝－1時(shí)，－eq\f（3，2）π〈α〈－π，當(dāng)k＝0時(shí),eq\f（π,2)〈α≤2,當(dāng)k為其他整數(shù)時(shí),滿足條件的角α不存在．］5．已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為a,求當(dāng)扇形的圓心角多大時(shí)，扇形的面積最大,并求這個(gè)最大值．［解］設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r,圓心角為α，面積為S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r。∴S＝eq\f（1，2)l·r＝eq\f（1,2)（a－2r）·r＝－r2＋eq\f(a,2)r＝－eq\b\lc\（\rc\）(\