2020高中數(shù)學 4 平面的基本性質(zhì)（含解析）2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時分層作業(yè)（四)(建議用時：60分鐘）[合格基礎練］一、選擇題1．下面是四個命題的敘述（其中A，B表示點,a表示直線，α表示平面)，其中敘述方式和推理都正確的是(）A．Aα,Bα，∴ABαB．∵A∈α，B∈α，∴AB∈αC．∵Aα，aα,∴AaD．∵ABα，∴AαC[A錯，應寫為A∈α，B∈α；B錯，應寫為ABα；C對．D錯,A有可能在α內(nèi)．]2．空間四點A,B,C，D共面而不共線,那么這四點中(）A．必有三點共線 B．必有三點不共線C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線B[如圖(1）（2)所示，A、C、D均不正確，只有B正確,如圖(1)中A，B，D不共線．(1）(2)]3．如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點MA．A，M，O三點共線B．A,M，O，A1四點共面C．A,O，C，M四點共面D．B,B1，O,M四點共面D[因為A，M，O三點既在平面AB1D1內(nèi)，又在平面AA1C內(nèi)，故A，M，O三點共線，從而易知A4．下列圖形均表示兩個相交平面，其中畫法正確的是()ABCD[答案］D5．如圖所示的正方體中，P，Q，M，N分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖形是()ABCDA[圖形A中，連結(jié)MN，PQ，則由正方體的性質(zhì)得MN∥PQ。根據(jù)推論3可知兩條平行直線可以確定一個平面，故圖形A正確．分析可知圖形B、C、D中這四點均不共面．］二、填空題6．經(jīng)過空間任意三點可以作________個平面．一個或無數(shù)[若三點不共線，只可以作一個平面;若三點共線，則可以作出無數(shù)個平面．］7．設平面α與平面β相交于l,直線aα,直線bβ，a∩b＝M，則M________l.∈[因為a∩b＝M,aα，bβ，所以M∈α,M∈β。又因為α∩β＝l,所以M∈l.]8．若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,則O,C,D三點的位置關系是________．共線［∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個平面，記作平面β，則α∩β＝CD?！遧∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈ABβ，∴O∈直線CD,∴O，C,D三點共線．]三、解答題9。如圖所示，點A平面BCD，E，F(xiàn),G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，EH與FG交于點K，求證：點K在直線BD上．［證明］∵EH∩FG＝K，∴K∈EH，K∈FG.∵E∈AB，H∈AD，∴EH平面ABD，∴K∈平面ABD.同理，K∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴K在直線BD上．10．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，求證：D1，E,F，B［證明]因為D1,E，F(xiàn)三點不共線,所以D1，E，F(xiàn)三點確定一個平面α.由題意得,D1E與DA共面于平面A1D且不平行,如圖．分別延長D1E與DA相交于G，所以G∈直線D1E，所以G∈平面α.同理設直線D1F與DC的延長線交于H，則H∈平面α又點G,B，H均在平面AC內(nèi),且點E是AA1的中點,AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB,所以△AGB為等腰直角三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G,B，H共線于GH，又GH平面α，所以B∈平面α,所以D1，E,F，B共面．［等級過關練]1．下列命題中是假命題的為(）A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α,則lαB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β,則α∩β＝ABC．若lα，A∈l，則A∈αD．若A,B,C∈α，A，B,C∈β，且A，B，C不共線，則α與β重合C[C中A是l和α交點時，A∈α.]2．平面α∩平面β＝l,點M∈α，N∈α，點P∈β且Pl,又MN∩l＝R，過M,N,P三點所確定的平面記為γ，則β∩γ＝（）A．l B．PRC．PN D．PMB［如圖，MNγ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β,∴β∩γ＝PR.］3．如圖所示,已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點,平面α經(jīng)過D，E兩點,若直線AB與平面α的交點是P，則點P與直線DE的位置關系是________．P∈DE［因D，E兩點都在α內(nèi)，也都在平面ABC內(nèi),故DE是平面ABC與平面α的交線．又∵P在α內(nèi)，也在平面ABC內(nèi)，故P點在平面ABC與平面α的交線DE上．]4．正方體ABCD。A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點，那么過P，Q，正六邊形[如圖所示，取C1D1的中點E，連結(jié)RE，REPQ，∴P，Q，E，R共面．再取BB1，DD1的中點F，G?！逷F∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF,綜上E，G，F(xiàn)，P，Q，R共面，又∵QP＝PF＝FR＝ER＝EG＝GQ＝eq\f(\r(2）,2)AB,∴截面圖形為正六邊形．]5．在棱長是a的正方體ABCD。A1B1C1D1中,M,N分別是AA1,D1C1的中點,過D，M，N三點的平面與正方體的下底面相交于直線(1)畫出交線l；(2）設l∩A1B1＝P，求PB1的長；(3)求點D1到l的距離．[解](1）如圖，延長DM交D1A1的延長線于點Q，則點Q是平面DMN與平面A1B1C1D1的一個公共點．連結(jié)QN，則直線QN就是兩平面的交線（2）∵M是AA1的中點，MA1∥DD1，∴A1是QD1的中點．又∵A1P∥D1N，∴A1P＝eq\f(1,2)D1N。∵N是D1C1的中點,∴A1P＝eq\f（1，4）D1C1＝eq\f（a,4)，∴PB1＝A1B1－A1P＝eq\f（3，4）a。（3)過點D1作D1H⊥PN于點H，則D1H的長就是點D1到l的距離．∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝eq\f(a,2)，∴QN＝eq\r（QDeq\o\al（