天津市紅橋區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理

天津市紅橋區(qū)2016-2017學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（掃描版）高二數(shù)學(xué)（理）（2016、11）一、選擇題題號12345678答案CBCCBDCA二、填空題9．若一個四邊形不是平行四邊形(，則這個四邊形兩組對邊不相等(10)1(11)m或m∥(12)1(13)(5,13，－3)2三、解答題14（本小題滿分12分）如圖：棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，點M,N,E,分別是棱A1B1,A1D1,C1D1的中點，（I）過AM作一平面，使其與平面END平行（只寫作法，不需證明）;（II）求直線AM與平面BMND所成角的正弦值.解：(I)連結(jié)AC、MC，平面AMC是所求平面--------------------------3分如圖空間執(zhí)教坐標(biāo)系Oxyz則A(0,0,0)1a)，B(,0,0)，D(0,a,0)，N(0,1a)，M(,0,,

z22

A1

ND1------------------------5分（不全對，但對2個以上給1分）→1→,→1,0,)BM=(,0,)，BD=(aa,0)，AM=(2aa2aa-------7分（不全對，但對2個給1分）設(shè)平面BMND得法向量n=(x,y,z)→·0BM則n=→·0BDn=n=(2,2,1)-------------------------9分→→45n>=AM·ncos<AM,→=15-----------------11分|AM||n|設(shè)直線AM與平面BMND所成角為則，sin=|cos<→45AM,n>|=15直線AM與平面BMND所成角的正弦值為45-----------------1215

MEC1B1yAODBxC分15（本小題滿分12分）如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，AD＝2，E為BC的中點，點M為棱AA1的中點．I）證明：DE⊥平面A1AE；II）證明：BM∥平面A1ED.證明：方法一：（I）在△AED中，AE＝DE＝2，AD＝2，∴AE⊥DE.-------------------------2分A1A⊥平面ABCD，∴1⊥，--------------------3分AADEAEIAAA,AE平面AAE1,A1A平面1AAE-------------.6∴DE⊥平面AAE.分1（II）設(shè)AD的中點為N，連結(jié)MN、BN.在△A1AD中，AM＝MA1，AN＝ND，∴MN∥A1D，------------8分BE∥ND且BE＝ND，∴四邊形BEDN是平行四邊形，∴∥，------------------------------------------------------------10BNED∴平面BMN∥平面-----------------------------------------------------A1ED，12∴BM∥平面AED.1方法二：建系以下列圖I）A(0，0，0),B(1，0，0),C(1，2，0),D(0，2，0)A(0,0,2),B(1,0,2),C1(1,2,2),D(0,2,2)111E(1,1,0),-uuur(0,0,2)uuuruuur(1,1,0)------------------2AA1,AE(1,1,0)，DE分r(a,b,c)x設(shè)平面AAE的法向量為n1uuruuurr則nAA102c0(1,1,0)------4分uuruuur即b0則一個nnAE0auuurr故DEn所以DE⊥平面AAE.-------------6分1（II）M(0,0,2uuuur2uuur2)-----------------8),BM(1,0,)EA1(1,1,22r(m,n,f)設(shè)平面A1ED的法向量為n1

分分zy分uuruuur0mn2f0r則n1EA1分mn01n1DE0uuuurrBMn0故BM∥平面A1ED.-----------------------12分16（本小題滿分

12分）如圖，正三棱柱

ABC

A1B1C1的所有棱長都為

2，

D為CC1中點，試用空間向量知識解以下問題：（1）求證：平面

ABB1A1

面A1BD

；（2）求二面角

A

A1D

B

的正弦值。解：取BC中點O，連AO，∵ABC為正三角形，AOBC，∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1,∴AD平面BCC1B1，取B1C1中點為O1,以O(shè)為原點，OB,OO1,OA的方向為x,y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0),D(1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0).∴AB1(1,2,3),BD(2,1,0),BA1(1,2,3),∵AB1BD2200,AB1BA11430?！郃B1BD，AB1BA1,∴AB1面A1BD。5分AA1面A1BD所以平面ABB1A1面ABD------------------------------6分1（2）設(shè)平面A1AD的法向量為n(x,y,z),AD(1,1,3),AA1(0,2,0)。nnAD0xy3z0y01，得AD,nAA1，∴，∴，，令znAA102y0x3zn(3,0,1)為平面A1AD的一個法向量，-------------8分由（1）知AB1面A1BD，ABA1AD1nAB1336cosn,AB1------------------11nAB12224),AA1DB1cos2nAB11012=417

12PABCPAIPOABC

PB

PC

AC

4

BC

3AB

23OACPII

AB

PCAOCPAPBPCAC4BACOOP,OBOPAC2OPPC2OC2422223AC4,AB2,BC23,AC2AB2BC2,ABC為Rt,.4OBOC2,PB2OB2OP2,OPOB.5ACBOO且AC、OB面ABCOPABC70PB,BCEF,OE,OF,EF,AB//OF,PC//EF,EFOABPC-----------------------