2020高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.1.1 平均變化率學案 2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1.1平均變化率學習目標核心素養(yǎng)1。通過實例，了解平均變化率的概念，并會求具體函數(shù)的平均變化率．（重點）2．了解平均變化率概念的形成過程，會在具體的情境中，說明平均變化率的實際意義．（難點)3．平均變化率的正負．（易混點）1.通過具體的平均變化率問題，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)．2．借助平均變化率的求解，提升數(shù)學運算素養(yǎng)。 1．函數(shù)平均變化率一般地，函數(shù)f(x）在區(qū)間[x1，x2］上的平均變化率為eq\f(fx2－fx1，x2－x1）。2．平均變化率的意義平均變化率的幾何意義是經(jīng)過曲線y＝f（x)上兩點P（x1，y1），Q(x2，y2)的直線PQ的斜率．因此平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”．思考：Δx，Δy的值一定是正值嗎？平均變化率是否一定為正值?［提示]Δx,Δy可正可負,Δy也可以為零，但Δx不能為零．平均變化率eq\f(Δy，Δx)可正、可負、可為零．1．函數(shù)y＝f（x),自變量x由x0改變到x0＋Δx時，函數(shù)的改變量Δy為(）A．f（x0＋Δx) B．f（x0)＋ΔxC．f（x0）·Δx D．f(x0＋Δx）－f（x0)D［Δy＝f（x0＋Δx)－f(x0)，故選D。］2．若一質(zhì)點按規(guī)律s＝8＋t2運動,則在一小段時間［2，2.1］內(nèi)的平均速度是()A．4 B．4。1C．0。41 D．－1.1B［eq\x\to（v)＝eq\f(Δs，Δt)＝eq\f（s2。1－s2,2.1－2)＝eq\f（2.12－22，0.1)＝4.1，故選B.］3．函數(shù)y＝2x＋2在［1，2］上的平均變化率是________．2［eq\f(2×2＋2－2×1＋2，2－1)＝2。］4．如圖所示為物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說法正確的是__________．①在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t0范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度;③在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度．③［在0到t0范圍內(nèi),甲、乙的平均速度都為eq\f（s0，t0),故①②錯誤;在t0到t1范圍內(nèi)，甲的平均速度為eq\f（s2－s0，t1－t0），乙的平均速度為eq\f（s1－s0，t1－t0）.因為s2－s0>s1－s0,t1－t0>0，所以eq\f（s2－s0,t1－t0)〉eq\f（s1－s0，t1－t0)，故③正確,④錯誤．］求函數(shù)的平均變化率【例1】（1）函數(shù)f(x）＝eq\f（1,x)在[2，6］上的平均變化率為________．（2)已知函數(shù)f（x）＝x＋eq\f（1,x)，分別計算f(x）在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快．（1)－eq\f(1,12)［eq\f（f6－f2，6－2)＝eq\f(\f(1，6)－\f(1，2），6－2）＝－eq\f(1,12）.］（2）[解]自變量x從1變到2時，函數(shù)f(x）的平均變化率為eq\f(f2－f1,2－1）＝eq\f(2＋\f（1,2）－1＋1，1)＝eq\f(1,2)；自變量x從3變到5時,函數(shù)f(x）的平均變化率為eq\f(f5－f3，5－3）＝eq\f（5＋\f(1，5）－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（3＋\f(1,3)）)，2）＝eq\f(14,15）。因為eq\f(1，2）〈eq\f(14,15),所以函數(shù)f(x）＝x＋eq\f(1,x)在自變量x從3變到5時函數(shù)值變化得較快．1．求函數(shù)平均變化率的三個步驟第一步，求自變量的增量x2－x1；第二步，求函數(shù)值的增量f（x2)－f(x1）；第三步,求平均變化率eq\f（fx2－fx1,x2－x1).2．求平均變化率的一個關注點求點x0附近的平均變化率,可用eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)的形式．1．如圖，函數(shù)y＝f（x）在A，B兩點間的平均變化率是________．－1[kAB＝eq\f（yA－yB,xA－xB)＝eq\f(3－1,1－3）＝－1，由平均變化率的意義知y＝f(x)在A，B兩點間的平均變化率為－1.]實際問題中的平均變化率【例2】在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位:s)存在函數(shù)關系h(t)＝－4。9t2＋6.5t＋10.（1）求運動員在第一個0.5s內(nèi)高度h的平均變化率；(2)求高度h在1≤t≤2這段時間內(nèi)的平均變化率．[思路探究］（1）求函數(shù)h（t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在區(qū)間[0,0。5]上的平均變化率；（2）求函數(shù)h（t)＝－4。9t2＋6.5t＋10在區(qū)間［1,2］上的平均變化率．[解](1）運動員在第一個0。5s內(nèi)高度h的平均變化率為eq\f(h0。5－h(huán)0，0。5－0）＝4。05（m/s)．（2）在1≤t≤2這段時間內(nèi)，高度h的平均變化率為eq\f(h2－h(huán)1,2－1）＝－8.2(m/s）．實際問題中的平均變化率與函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率類似,首先求f(x2）－f(x1），再求比值eq\f（fx2－fx1,x2－x1)，當函數(shù)解析式?jīng)]有給定時，先根據(jù)實際問題求出函數(shù)解析式，再重復上述步驟即可．2．一質(zhì)點作直線運動,其位移s與時間t的關系為s（t）＝t2＋1,該質(zhì)點在2到2＋Δt（Δt>0)之間的平均速度不大于5，則Δt的取值范圍是________．(0,1]［質(zhì)點在2到2＋Δt之間的平均速度為eq\x\to（v）＝eq\f（[2＋Δt2＋1－22＋1]，Δt)＝eq\f(4Δt＋Δt2,Δt）＝4＋Δt，又eq\x\to（v)≤5，則4＋Δt≤5,所以Δt≤1，又Δt〉0，所以Δt的取值范圍是（0,1]．]平均變化率的應用[探究問題］1．函數(shù)y＝f（x)由x1變化到x2時的平均變化率是什么？[提示]eq\f(fx2－fx1,x2－x1)。2．平均變化率的大小說明什么意義？［提示]平均變化率的絕對值越大,表示函數(shù)值變化的越快，若平均變化率為負，則表示函數(shù)值在減小，若平均變化率為正，表示函數(shù)值在增加．【例3】為了檢測甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對兩輛車進行了測試,甲車從25m/s到0m/s花了5s，乙車從18m/s到0m/s花了4s，試比較兩輛車的剎車性能．［解］甲車速度的平均變化率為eq\f(0－25,5)＝－5（m/s2)，乙車速度的平均變化率為eq\f（0－18，4)＝－4.5(m/s2)，平均變化率為負值說明速度在減少，因為剎車后，甲車的速度變化相對較快，所以甲車的剎車性能較好．平均變化率的應用主要有:求某一時間段內(nèi)的平均速度，物體受熱膨脹率，高度(重量)的平均變化率等等．解決這些問題的關鍵在于找準自變量和因變量．3．已知氣球的體積為V(單位:L）與半徑r（單位：dm)之間的函數(shù)關系是V（r)＝eq\f（4，3）πr3.(1）求半徑r關于體積V的函數(shù)r（V)；（2）比較體積V從0L增加到1L和從1L增加到2L半徑r的平均變化率；哪段半徑變化較快(精確到0。01）？此結論可說明什么意義？［解］(1)∵V＝eq\f（4,3）πr3，∴r3＝eq\f(3V，4π），r＝eq\r（3，\f（3V,4π))，即r(V)＝eq\r(3，\f(3V，4π)）.(2)函數(shù)r（V)在區(qū)間[0,1］上的平均變化率約為eq\f(r1－r0,1－0）＝eq\f（\r(3,\f（3×1,4π)）－0,1)≈0.62(dm/L），函數(shù)r(V)在區(qū)間［1,2］上的平均變化率約為eq\f（r2－r1，2－1)＝eq\r(3,\f(3×2，4π)）－eq\r（3，\f(3×1,4π）)≈0.16(dm/L）．顯然體積V從0L增加到1L時，半徑變化快，這說明氣球剛開始膨脹的比較快，隨著體積的增大，半徑增加的越來越慢．1．平均變化率對函數(shù)而言，即是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值．即eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1）.2．平均變化率的幾何意義是函數(shù)y＝f（x)圖象上兩點P1（x1，y1）,P2（x2，y2）所在直線的斜率．3．平均變化率的意義：平均變化率的絕對值越大，表示函數(shù)值變化得越快，絕對值越小，表示函數(shù)值變化得越慢．平均變化率的正負只表示變化的方向。1．判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”）（1）Δx表示x2－x1，是相對于x1的一個增量,Δx可以為零．(）(2)Δy表示f（x2）－f(x1），Δy的值可正可負也可以為零．（）（3）eq\f(Δy,Δx）表示曲線y＝f（x）上兩點（x1，f(x1))，（x2,f(x2）)連線的斜率．（）［答案](1）×(2）√(3）√2．已知函數(shù)y＝f（x)＝2x2的圖象上點P(1，2）及鄰近點Q(1＋Δx，2＋Δy),則eq\f(Δy,Δx）的值為()A．4 B．4xC．4＋2Δx2 D．4＋2ΔxD［eq\f（Δy,Δx）＝eq\f(21＋Δx2－2×12，Δx）＝4＋2Δx。］3．質(zhì)點運動規(guī)律s＝2t2＋5，則在時間（2，2＋Δt)中，相應的平均速度等于________．8＋2Δt[s（2＋Δt)－s(2）＝2（2＋Δt）2＋5－(2×22＋5）＝2（Δt）2＋8Δt?！鄀q\f(s2＋Δt－s2,2＋Δt－2)＝eq\f（2Δt2＋8Δt,Δt）