2020高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例（第1課時(shí)）解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例學(xué)案 5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題(難點(diǎn)).2。能夠用正、余弦定理求解與距離、高度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（重點(diǎn)）．通過(guò)利用正、余弦定理求解實(shí)際問(wèn)題中的長(zhǎng)度、高度,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1．基線的概念與選擇原則（1)定義在測(cè)量上,根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線．(2）性質(zhì)在測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度．一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高．思考：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠(yuǎn)呢?”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離,是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？[提示]利用正弦定理和余弦定理．2．測(cè)量中的有關(guān)角的概念（1）仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角（如圖所示)．（2)方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向?yàn)槭歼叄槙r(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn)60°.(如圖所示）思考:李堯出校向南前進(jìn)了200米，再向東走了200米，回到自己家中,你認(rèn)為李堯的家在學(xué)校的哪個(gè)方向？[提示］東南方向．1．如圖所示，為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)選用數(shù)據(jù)(）A．α，a,b B．α,β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α,β，bC［選擇a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ)求解．］2．小強(qiáng)站在地面上觀察一個(gè)建在山頂上的建筑物，測(cè)得其視角為α，同時(shí)測(cè)得觀察該建筑物頂部的仰角為β，則小強(qiáng)觀測(cè)山頂?shù)难鼋菫椋ǎ〢．α＋β B．α－βC．β－α D．αC［如圖所示，設(shè)小強(qiáng)觀測(cè)山頂?shù)难鼋菫棣?，則β－γ＝α，因此γ＝β－α,故選C項(xiàng)．］3．某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉(zhuǎn)150°，向新的方向走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為eq\r(3）km,那么x的值為(）A．eq\r（3） B．2eq\r(3）C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3C[如圖，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解之得x＝2eq\r(3）或eq\r（3）.]4．如圖所示，為測(cè)量一樹(shù)的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)測(cè)得樹(shù)尖的仰角分別為30°和45°,且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹(shù)的高度為(）A．（30＋30eq\r（3））m B．（30＋15eq\r(3）)mC．（15＋30eq\r（3）)m D．(15＋3eq\r（3)）mA［由正弦定理可得eq\f（60，sin(45°－30°）)＝eq\f（PB,sin30°），則PB＝eq\f（60×\f（1，2)，sin15°）＝eq\f（30，sin15°)(m)，設(shè)樹(shù)的高度為h，則h＝PBsin45°＝（30＋30eq\r（3))m.]測(cè)量距離問(wèn)題【例1】海上A,B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是()A．10eq\r（3）海里 B．eq\f(10\r(6)，3）海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里D［根據(jù)題意，可得如圖所示．在△ABC中,A＝60°，B＝75°，AB＝10,∴C＝45°。由正弦定理可得eq\f(AB，sinC）＝eq\f（BC,sinA)，即eq\f（10,\f(\r（2),2）)＝eq\f(BC，\f(\r（3),2)),∴BC＝5eq\r(6)(海里）．]三角形中與距離有關(guān)的問(wèn)題的求解策略(1）解決與距離有關(guān)的問(wèn)題，若所求的線段在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中,要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切危倮谜?、余弦定理求解．?)解決與距離有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來(lái)解決．1．如圖所示，為了測(cè)定河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為_(kāi)_______m。60[由題意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC為等腰三角形．河寬即AB邊上的高,這與AC邊上的高相等,過(guò)B作BD⊥AC于D，∴河寬＝BD＝120·sin30°＝60(m）．］測(cè)量高度問(wèn)題【例2】(1)如圖所示，從山頂望地面上C,D兩點(diǎn)，測(cè)得它們的俯角分別為45°和30°，已知CD＝100米，點(diǎn)C位于BD上,則山高AB等于（)A．100米 B．50eq\r（3)米C．50eq\r（2)米 D．50（eq\r（3）＋1）米（2)在一幢20m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，那么這座塔吊的高是(）A．20eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f(\r（3)，3)））m B．20(1＋eq\r(3））mC．10(eq\r（6）＋eq\r(2))m D．20(eq\r（6)＋eq\r(2））m思路探究：（1）解決本題關(guān)鍵是求AB時(shí)確定在哪一個(gè)三角形中求解，該三角形是否可解．（2）解決本題關(guān)鍵是畫出示意圖．（1）D（2)B［(1）設(shè)山高為h,則由題意知CB＝h，DB＝eq\r（3）h，∴eq\r（3）h－h(huán)＝100，即h＝50(eq\r（3)＋1)．(2)如圖，由條件知四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20m.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝20eq\r(3)m，∴BE＝BC＋CE＝（20＋20eq\r（3)）m.選B。］解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟（1）畫圖:根據(jù)已知條件畫出示意圖．(2)分析三角形：分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形．（3）求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用．2.某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位:m）．如圖所示,豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m,仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β。該小組已測(cè)得一組α，β的值，算出了tanα＝1。24,tanβ＝1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值．[解］由AB＝eq\f（H,tanα)，BD＝eq\f（h，tanβ)，AD＝eq\f（H,tanβ）及AB＋BD＝AD，得eq\f（H，tanα）＋eq\f（h，tanβ)＝eq\f(H，tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ）＝eq\f（4×1。24，1.24－1。20）＝124.因此電視塔的高度H是124m。與立體幾何有關(guān)的測(cè)量問(wèn)題［探究問(wèn)題］1．已知A，B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn),相距800m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測(cè)得∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足．試畫出符合題意的示意圖．[提示]用線段CD表示山，用△DAB表示海平面．結(jié)合題中相應(yīng)的距離及角度，畫出立體圖形，如圖所示．2．在探究1中若要求山高CD怎樣求解？［提示］由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的長(zhǎng)，然后在Rt△ACD中求出CD.【例3】如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，有不同的方案,其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D，測(cè)得CD＝200米，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.思路探究:利用方程的思想，設(shè)AB＝h.表示出BC＝h,BD＝eq\f(h,tan30°）＝eq\r（3）h,然后在△BCD中利用余弦定理求解．[解]在Rt△ABC中，∠ACB＝45°,若設(shè)AB＝h，則BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，則BD＝eq\r(3)h.在△BCD中,由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD,即2002＝h2＋(eq\r（3）h）2－2·h·eq\r（3)h·eq\f(\r(3)，2），所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．(變條件）若將例題中的條件“CD＝200米，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°"改為“CD＝800米，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為45°,∠CDB＝120°，又在C點(diǎn)測(cè)得∠DCB＝45°?！鼻笏逜B。［解］在△BCD中，∠CBD＝180°－120°－45°＝15°，CD＝800m,∠BCD＝45°，由正弦定理,eq\f（CD，sin∠CBD）＝eq\f（BD，sin∠BCD），BD＝eq\f(CD·sin∠BCD，sin∠CBD)＝eq\f(800×\f(\r（2)，2）,\f（\r(2)，2)\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3),2）－\f（1，2)））)＝800(eq\r(3)＋1)m，又∠ADB＝45°，AB＝BD。∴AB＝800(eq\r（3)＋1）m。即山的高度為800（eq\r（3)＋1)m.測(cè)量高度問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1）“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測(cè)量高度問(wèn)題往往是空間中的問(wèn)題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形,仔細(xì)規(guī)劃解題思路．1．本節(jié)課要掌握三類問(wèn)題的解法(1)測(cè)量距離問(wèn)題．（2)測(cè)量高度問(wèn)題．（3）與立體幾何有關(guān)的測(cè)量問(wèn)題．2．解三角形的應(yīng)用題時(shí),通常會(huì)遇到兩種情況(1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究,再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解.1．判斷正誤（1）已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊． （)(2）兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無(wú)法求得． ()(3）東偏北45°的方向就是東北方向． （)（4)仰角與俯角所在的平面是鉛垂面． ()［答案]（1)×(2）×(3）√(4）√[提示］已知三角形中至少知道一條邊才能解三角形，故(1)錯(cuò)．兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離可以用解三角形的方法求出，故(2)錯(cuò)．2．身高相同的甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測(cè)20m高的旗桿，甲觀測(cè)的仰角為50°,乙觀測(cè)的仰角為40°,用d1,d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有()A．d1〉d2 B．d1〈d2C．d1〉20m D．d2<20mB［如圖，設(shè)旗桿高為h，則d1＝eq\f（h,tan50°）,d2＝eq\f（h,tan40°）.因?yàn)閠an50°>tan40°,所以d1<d2。］3．一艘船上午9：30在A處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方向,此船的航速是（）海里/小時(shí)．A．8（eq\r(6)＋eq\r（2）） B．8（eq\r（6)－eq\r（2)）C．16(eq\r（6）＋eq\r（2）) D．16(eq\r（6）－eq\r(2））D［由題意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f（SA,sin105°）＝eq\f(AB,sin45°），即eq\f(8\r(2)，sin105°）＝eq\f（AB,sin45°），得AB＝8（eq\r（6）－eq\r（2）），因此此船的航速為eq\f（8（\r（6)－\r（2））,\f(1，2））＝16（eq\r（6)－eq\r（2））(海里/小時(shí))．]4．在高出海平面200m的小島頂上A處，測(cè)得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時(shí)兩船間的距離為_(kāi)_______m。200(eq\r(3)＋1)［過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m,則BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\r（3)m.故兩船距離BC＝BH＋CH＝200（eq\r(3)＋1)m。]5．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6）海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里;貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在北偏東120°，求：(