保險(xiǎn)學(xué)之風(fēng)險(xiǎn)匯聚與風(fēng)險(xiǎn)偏好

第一講效用、風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度1第一節(jié)風(fēng)險(xiǎn)、不確定性與風(fēng)險(xiǎn)管理一、風(fēng)險(xiǎn)與不確定性風(fēng)險(xiǎn)是客觀存在（Astateofworld），而不確定性是心理狀態(tài)（Astateofmind）。風(fēng)險(xiǎn)是可以測(cè)定的(Measurable)，有其發(fā)生的一定概率，而不確定性是不能測(cè)定(Immeasurable)。風(fēng)險(xiǎn)的重要性在于它能給人們帶來(lái)?yè)p失或收益；而不確定性的重要性則在于它影響著個(gè)人、公司和政府的決策過(guò)程。2〔一〕風(fēng)險(xiǎn)的度量

1.概率(Probability)

3

2.期望值(Expectedvalue)

43.方差(Variance)54.標(biāo)準(zhǔn)差(Standarddeviation)65.離散系數(shù)(Deviationcoefficient)76.偏度(Skewness)87.協(xié)方差(Covariance)98.相關(guān)系數(shù)（Correlationcoefficient）10〔二〕風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)管理風(fēng)險(xiǎn)管理是是通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)的識(shí)別、、衡量和控控制，以最最小的成本本將風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)導(dǎo)致的各種種不利后果果減少到最最低限度的的科學(xué)管理理方法，是是組織、家家庭或個(gè)人人用以降低低風(fēng)險(xiǎn)的負(fù)負(fù)面影響的的決策過(guò)程程。11121314第二節(jié)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)匯聚、、大數(shù)法則則與中心極極限定理一、風(fēng)險(xiǎn)匯匯聚的效果果當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)是相相互獨(dú)立的的時(shí)候，匯匯聚安排可可以抑制風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)管理的價(jià)價(jià)值因此而而顯現(xiàn)出來(lái)來(lái)。15例子：假設(shè)設(shè)藍(lán)貓和黑黑貓下一年年度發(fā)生20萬(wàn)元損損失的概率率都為20%，且兩兩者的事故故損失不相相關(guān)。16如果藍(lán)貓和和黑貓決定定在他們之之間進(jìn)行風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)匯聚，，也就是說(shuō)說(shuō)，不論誰(shuí)誰(shuí)發(fā)生意外外，兩個(gè)人人同意均擔(dān)擔(dān)發(fā)生的損損失，這時(shí)時(shí)看期望損損失和標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差如何變變化：17可以看到，，風(fēng)險(xiǎn)匯聚聚雖然不能能改變每個(gè)個(gè)人的期望望損失，但但卻能將平平均損失的的標(biāo)準(zhǔn)差由由8萬(wàn)元減減小到5.66萬(wàn)元元，使事故故損失變得得更容易預(yù)預(yù)測(cè)，因此此風(fēng)險(xiǎn)匯聚聚降低了每每個(gè)人的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)。不難證明，，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)匯匯聚的加入入者增多，，平均損失失的標(biāo)準(zhǔn)差差會(huì)進(jìn)一步步減少，出出現(xiàn)極端損損失（非常常高的損失失和非常低低的損失））的概率不不斷降低，，風(fēng)險(xiǎn)變得得更易預(yù)測(cè)測(cè)。而且隨隨著加入者者數(shù)量的增增加，每個(gè)個(gè)人支付的的平均損失失的概率分分布逐漸接接近于鐘形形曲線。當(dāng)參加風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)匯聚的人人足夠多，，達(dá)到一定定的大數(shù)，，每個(gè)參加加者成本的的標(biāo)準(zhǔn)差將將變得接近近于零，因因此每位加加入者的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)將變得得可以忽略略不計(jì)。這這就是保險(xiǎn)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)最重重要的數(shù)理理基礎(chǔ)———大數(shù)法則則。18二、大數(shù)法法則(Lawoflargernumbers)1.切貝雪雪夫（Chebyshev））不等式和和切貝雪夫夫大數(shù)法則則19切貝雪夫大大數(shù)法則說(shuō)說(shuō)明，當(dāng)n足夠大時(shí)時(shí)，平均每每個(gè)被保險(xiǎn)險(xiǎn)人實(shí)際獲獲得的賠償償金額與每每個(gè)被保險(xiǎn)險(xiǎn)人獲得的的賠償金額額的期望值值之間的差差異很小，，或者說(shuō)，，平均每個(gè)個(gè)人獲得的的賠款與賠賠款的期望望值之差的的絕對(duì)值小小于這一事事件，在n→∞時(shí)是是個(gè)必然事事件。而保保險(xiǎn)公司從從投保人那那里收取的的純保費(fèi)（（不包括保保險(xiǎn)公司的的管理費(fèi)用用、稅收和和利潤(rùn)等））應(yīng)等于每每個(gè)被保險(xiǎn)險(xiǎn)人獲得的的賠償金的的期望值。。切貝雪夫夫大數(shù)法則則又指明了了期望值在在n→∞時(shí)時(shí)等于實(shí)際際賠償額的的平均值。。盡管實(shí)際際賠償額的的平均值事事先是無(wú)法法知道的，，但保險(xiǎn)人人可以根據(jù)據(jù)以前的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)資料知知道同類損損失的平均均值是多少少。所以當(dāng)當(dāng)n足夠大大時(shí)，保險(xiǎn)險(xiǎn)人從投保保人哪里收收取的保險(xiǎn)險(xiǎn)費(fèi)應(yīng)該是是以前損失失的平均值值。這就是是保險(xiǎn)公司司從投保人人那里收取取多少的保保險(xiǎn)費(fèi)的基基本依據(jù)，，如果風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)匯聚的加加入者達(dá)不不到一定的的“大數(shù)””，保險(xiǎn)公公司就無(wú)從從知道應(yīng)該該向每個(gè)投投保人收取取多少保險(xiǎn)險(xiǎn)費(fèi)，保險(xiǎn)險(xiǎn)也就失去去了最基本本的精算基基礎(chǔ)。202.辛欽大大數(shù)法則3.貝努利利大數(shù)法則則在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)營(yíng)中，當(dāng)相相互獨(dú)立的的風(fēng)險(xiǎn)單位位滿足一定定的大數(shù)，，保險(xiǎn)公司司就可以用用以往損失失頻率的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)來(lái)推測(cè)未來(lái)來(lái)同一損失失發(fā)生的概概率，因?yàn)闉?，大?shù)法法則令兩者者近于相等等。214.泊松（（Poisson））大數(shù)法則則在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)營(yíng)中，盡管管相互獨(dú)立立的風(fēng)險(xiǎn)單單位的損失失概率可能能各不相同同，但只要要標(biāo)的足夠夠地多，仍仍可以在平平均意義上上求出相同同的損失概概率。保險(xiǎn)險(xiǎn)公司由此此可以把性性質(zhì)相似的的各分類的的標(biāo)的集中中在一塊，，求出一個(gè)個(gè)整體的費(fèi)費(fèi)率，再加加以調(diào)整，，從而在整整體上保證證收支平衡衡。比如，，盡管同一一檔次的眾眾多車輛所所面對(duì)的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)可能各各不相同，，但仍可以以把它們放放在同一個(gè)個(gè)風(fēng)險(xiǎn)集合合之內(nèi)進(jìn)行行風(fēng)險(xiǎn)匯聚聚，只要這這些車的數(shù)數(shù)量滿足一一定的大數(shù)數(shù)即可。22〔二〕中心心極限定理理當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)匯聚聚的加入者者足夠多時(shí)時(shí)，平均損損失的分布布接近于正正態(tài)分布，，就可以用用正態(tài)分布布的概率值值來(lái)估計(jì)結(jié)結(jié)果超過(guò)某某給定值的的概率。23德莫佛-拉拉普拉斯定定理列維定理2425第三節(jié)期期望效用與與風(fēng)險(xiǎn)偏好好一、效用與與投資風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)26例子：1000元錢(qián)錢(qián)在1年之之內(nèi)：夾在書(shū)中：：——1000元存入銀行：：——1030元投資基金：：——預(yù)定定指數(shù)高于于大盤(pán)指數(shù)數(shù)（比如上上證指數(shù)））：回報(bào)率率40%；；低于大盤(pán)盤(pán)指數(shù)回報(bào)報(bào)率-20%。如果符合期期望值規(guī)律律（Expectedvaluerule），即總總是選擇期期望值最高高的投資)：則應(yīng)應(yīng)選擇投資資基金。**期望值規(guī)律律：假定在一次次賭博中，分分別以概率（（p1,…,pn）獲得得收益（x1,…,xn），那么該該項(xiàng)賭博的吸吸引力由該賭賭博獲得的期期望收益x=∑xipi決定。27二、倍努利的的圣·彼得斯斯伯格悖論（（St.PetersburgParadox)但通常所運(yùn)用用的期望值規(guī)規(guī)律卻并不總總是適用，比比如1738年倍努利（（Bernoulli)提出的：即即”圣·彼得斯伯格悖悖論（St.PetersburgParadox)“：投擲質(zhì)質(zhì)地均勻的硬硬幣，直至出出現(xiàn)反面，如如果擲第一次次就出現(xiàn)反面面，得到2美美元，第二次次擲出現(xiàn)正面面，得到4美美元，第三次次擲得到8美美元，這樣賭賭局的期望值值是：但沒(méi)有有人愿意出十十幾美元或更更多的錢(qián)去冒冒險(xiǎn)。28如果我們假設(shè)設(shè)乙的期望效效用值是財(cái)富富的自然對(duì)數(shù)數(shù)——這是一一個(gè)和厭惡風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)的人的期期望效用擬合合得很好的函函數(shù)形式?，F(xiàn)現(xiàn)在用一個(gè)數(shù)數(shù)字化的例子子再展示一下下圣·彼得斯斯伯格悖論:由此可見(jiàn)，乙乙參加這樣一一個(gè)賭局,他他所愿意出的的賭注僅僅是是4英鎊，而而不是無(wú)窮大大。29如何解釋圣··彼得斯伯格格悖論呢？期望效率理論論提供了答案案，也把效用用理論從古典典推到了現(xiàn)代代。期望效率率理論認(rèn)為，，不確定性條條件下的效用用也是不確定定的，最終的的效用水平取取決于不確定定事件的結(jié)果果。比如，購(gòu)購(gòu)買(mǎi)彩票的效效用最終取決決于是否中獎(jiǎng)獎(jiǎng)，而購(gòu)買(mǎi)保保險(xiǎn)的效用水水平最終取決決于保險(xiǎn)事故故是否發(fā)生以以及保險(xiǎn)人對(duì)對(duì)損失的賠付付比例。在保保險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中中，對(duì)不確定定性條件下的的效用研究采采用的是期望望效用函數(shù)。。30附注：悖論舉舉例：1.自相矛盾盾2.半費(fèi)之訟訟〔古希臘普羅羅泰戈拉Protagoras：：偶提勒士Euathlus〕3.鱷魚(yú)和小小孩：我會(huì)不不會(huì)吃掉你，，對(duì)則放。4.唐吉柯德德悖論：你來(lái)來(lái)做什么，對(duì)對(duì)則放。5.理發(fā)師悖悖論：6.艾畢曼曼德悖論：7.藏羚羊羊與破窗理論論8.保險(xiǎn)業(yè)的的諸多悖論：：代理人＋資資源配置31馮·諾依曼和和摩根斯坦恩恩是期望效用用函數(shù)的創(chuàng)始始人，所以期期望效用函數(shù)數(shù)也稱馮·諾諾依曼和摩根根斯坦恩效用用函數(shù)，其一一般形式是：：32假設(shè)效用函數(shù)數(shù)是財(cái)富量的的自然對(duì)數(shù)，，則：1000元錢(qián)錢(qián)在1年之內(nèi)內(nèi)：1）夾在書(shū)中：———1000元2）存入銀行行：——1030元3）投資基金金：——預(yù)定定指數(shù)高于大大盤(pán)指數(shù)（比比如上證指數(shù)數(shù)）：回報(bào)率率40%；低低于大盤(pán)指數(shù)數(shù)回報(bào)率-20%。2）的期望效效用：3）的期望效效用：33期望效用圖示示：34如前：亦設(shè)U(x)=ln(x),則圣·彼得斯伯格悖悖論中，參賭賭者愿意付出出的代價(jià)為：：4美元。35三、風(fēng)險(xiǎn)偏好好——人們對(duì)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度度1.風(fēng)險(xiǎn)偏偏好的分類與與定義風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者（（Risklover）風(fēng)險(xiǎn)厭惡者（（Riskaverter）風(fēng)險(xiǎn)中性者（（Riskneutral）36例子：假設(shè)世世界杯足球賽賽中巴西隊(duì)和和阿根廷隊(duì)冠冠亞軍決賽時(shí)時(shí)猜巴西隊(duì)贏贏的彩票中獎(jiǎng)獎(jiǎng)概率是P，，彩票購(gòu)買(mǎi)者者中獎(jiǎng)后的財(cái)財(cái)富量是；而而未中獎(jiǎng)的財(cái)財(cái)富量是。彩彩票的期望值值是每一種結(jié)結(jié)果與其發(fā)生生的概率的乘乘積的總和。。如果一一個(gè)彩彩票購(gòu)購(gòu)買(mǎi)者者期望望值的的效用用等于于彩票票的期期望效效用，，即若若：說(shuō)明他他僅對(duì)對(duì)期望望值感感興趣趣，對(duì)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)是不不在意意的，，則稱稱他為為風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性性者。。37風(fēng)險(xiǎn)中中性者者的效效用函函數(shù)具具有以以下性性質(zhì)：：1)財(cái)財(cái)富富數(shù)量量的增增加導(dǎo)導(dǎo)致滿滿足程程度的的上升升。2）邊邊際效效用恒恒定。。38如果一一個(gè)彩彩票購(gòu)購(gòu)買(mǎi)者者期望望值的的效用用大于于彩票票的期期望效效用，，即若若：39風(fēng)險(xiǎn)規(guī)規(guī)避的的效用用函數(shù)數(shù)滿足足以下下兩個(gè)個(gè)假設(shè)設(shè)：1）財(cái)財(cái)富數(shù)數(shù)量的的增加加導(dǎo)致致滿足足程度度的上上升2）邊邊際效效用遞遞減40如果一一個(gè)彩彩票購(gòu)購(gòu)買(mǎi)者者期望望值的的效用用小于于彩票票的期期望效效用，，即若若：4142432.風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)偏偏好的的度量量阿羅-普拉拉特絕絕對(duì)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)厭厭惡程程度的的計(jì)量量方法法是用用效用用函數(shù)數(shù)二階階導(dǎo)數(shù)數(shù)和一一階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的的比率率：阿羅-普拉拉特相相對(duì)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)程程度的的計(jì)量量方法法是用用絕對(duì)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)厭惡惡程度度乘以以財(cái)富富值W：443.風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)偏偏好與與保險(xiǎn)險(xiǎn)決策策倍努力力定理理：只只要保保險(xiǎn)是是按