高中導(dǎo)數(shù)經(jīng)典知識(shí)點(diǎn)與例題講解

..§1.1變化率與導(dǎo)數(shù)1.1.1變化率問(wèn)題自學(xué)引導(dǎo)1.通過(guò)實(shí)例分析,了解平均變化率的實(shí)際意義．2．會(huì)求給定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均變化率.課前熱身函數(shù)f<x>在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為eq\f<Δy,Δx>＝________.2．平均變化率另一種表示形式：設(shè)Δx＝x－x0,則eq\f<Δy,Δx>＝________,表示函數(shù)y＝f<x>從x0到x的平均變化率.名師講解1.如何理解Δx,Δy的含義Δx表示自變量x的改變量,即Δx＝x2－x1；Δy表示函數(shù)值的改變量,即Δy＝f<x2>－f<x1>．2．求平均變化率的步驟求函數(shù)y＝f<x>在[x1,x2]內(nèi)的平均變化率．<1>先計(jì)算函數(shù)的增量Δy＝f<x2>－f<x1>．<2>計(jì)算自變量的增量Δx＝x2－x1.<3>得平均變化率eq\f<Δy,Δx>＝eq\f<fx2－fx1,x2－x1>.對(duì)平均變化率的認(rèn)識(shí)函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)在某段區(qū)間上的變化趨勢(shì),且區(qū)間長(zhǎng)度越小,表現(xiàn)得越精確．如函數(shù)y＝sinx在區(qū)間[0,π]上的平均變化率為0,而在[0,eq\f<π,2>]上的平均變化率為eq\f<sin\f<π,2>－sin0,\f<π,2>－0>＝eq\f<2,π>.在平均變化率的意義中,f<x2>－f<x1>的值可正、可負(fù),也可以為零．但Δx＝x2－x1≠0.題型一求函數(shù)的平均變化率例1一物體做直線運(yùn)動(dòng),其路程與時(shí)間t的關(guān)系是S＝3t－t2.<1>求此物體的初速度；<2>求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0時(shí)的速度即為初速度,求平均速度先求路程的改變量ΔS＝S<1>－S<0>,再求時(shí)間改變量Δt＝1－0＝1.求商eq\f<ΔS,Δt>就可以得到平均速度．解<1>由于v＝eq\f<S,t>＝eq\f<3t－t2,t>＝3－t.∴當(dāng)t＝0時(shí),v0＝3,即為初速度．<2>ΔS＝S<1>－S<0>＝3×1－12－0＝2Δt＝1－0＝1∴eq\x\to<v>＝eq\f<ΔS,Δt>＝eq\f<2,1>＝2.∴從t＝0到t＝1的平均速度為2.誤區(qū)警示本題1不要認(rèn)為t＝0時(shí),S＝0.所以初速度是零.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f<x>＝－x2＋x的圖像上一點(diǎn)<－1,－2>及鄰近一點(diǎn)<－1＋Δx,－2＋Δy>,則eq\f<Δy,Δx>＝<>A．3 B．3Δx－<Δx>2C．3－<Δx>2 D．3－Δx解析Δy＝f<－1＋Δx>－f<－1>＝－<－1＋Δx>2＋<－1＋Δx>－<－2>＝－<Δx>2＋3Δx.∴eq\f<Δy,Δx>＝eq\f<－Δx2＋3Δx,Δx>＝－Δx＋3答案D題型二平均變化率的快慢比較例2求正弦函數(shù)y＝sinx在0到eq\f<π,6>之間及eq\f<π,3>到eq\f<π,2>之間的平均變化率．并比較大?。治鲇闷骄兓实亩x求出兩個(gè)區(qū)間上的平均變化率,再比較大?。庠O(shè)y＝sinx在0到eq\f<π,6>之間的變化率為k1,則k1＝eq\f<sin\f<π,6>－sin0,\f<π,6>－0>＝eq\f<3,π>.y＝sinx在eq\f<π,3>到eq\f<π,2>之間的平均變化率為k2,則k2＝eq\f<sin\f<π,2>－sin\f<π,3>,\f<π,2>－\f<π,3>>＝eq\f<1－\f<\r<3>,2>,\f<π,6>>＝eq\f<32－\r<3>,π>.∵k1－k2＝eq\f<3,π>－eq\f<32－\r<3>,π>＝eq\f<3\r<3>－1,π>>0,∴k1>k2.答：函數(shù)y＝sinx在0到eq\f<π,6>之間的平均變化率為eq\f<3,π>,在eq\f<π,3>到eq\f<π,2>之間的平均變化率為eq\f<32－\r<3>,π>,且eq\f<3,π>>eq\f<32－\r<3>,π>.變式訓(xùn)練2試比較余弦函數(shù)y＝cosx在0到eq\f<π,3>之間和eq\f<π,3>到eq\f<π,2>之間的平均變化率的大小．解設(shè)函數(shù)y＝cosx在0到eq\f<π,3>之間的平均變化率是k1,則k1＝eq\f<cos\f<π,3>－cos0,\f<π,3>－0>＝－eq\f<3,2π>.函數(shù)y＝cosx在eq\f<π,3>到eq\f<π,2>之間的平均變化率是k2,則k2＝eq\f<cos\f<π,2>－cos\f<π,3>,\f<π,2>－\f<π,3>>＝－eq\f<3,π>.∵k1－k2＝－eq\f<3,2π>－<－eq\f<3,π>>＝eq\f<3,2π>>0,∴k1>k2.∴函數(shù)y＝cosx在0到eq\f<π,3>之間的平均變化率大于在eq\f<π,3>到eq\f<π,2>之間的平均變化率．題型三平均變化率的應(yīng)用例3已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s<t>＝t2＋2t＋3,求物體在t＝1到t＝1＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度．分析由物體運(yùn)動(dòng)方程→寫(xiě)出位移變化量Δs→eq\f<Δs,Δt>解物體在t＝1到t＝1＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的位移增量Δs＝s<1＋Δt>－s<1>＝[<1＋Δt>2＋2<1＋Δt>＋3]－<12＋2×1＋3>＝<Δt>2＋4Δt.物體在t＝1到t＝1＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq\f<Δs,Δt>＝eq\f<Δt2＋4Δt,Δt>＝4＋Δt.變式訓(xùn)練3一質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng),其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s<t>＝t2＋1,該質(zhì)點(diǎn)在[2,2＋Δt]<Δt>0>上的平均速度不大于5,求Δt的取值范圍．解質(zhì)點(diǎn)在[2,2＋Δt]上的平均速度為eq\o<v,\s\up6<－>>＝eq\f<s2＋Δt－s2,Δt>＝eq\f<[2＋Δt2＋1]－22＋1,Δt>＝eq\f<4Δt＋Δt2,Δt>＝4＋Δt.又eq\o<v,\s\up6<－>>≤5,∴4＋Δt≤5.∴Δt≤1,又Δt>0,∴Δt的取值范圍為<0,1].§1.1函數(shù)的單調(diào)性與極值導(dǎo)數(shù)的概念1.經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程,了解導(dǎo)數(shù)概念建立的一些實(shí)際背景．2．了解瞬時(shí)變化率的含義,知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)．3．掌握函數(shù)f<x>在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)定義,并且會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù).1.瞬時(shí)速度．設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為S＝S<t>,如果一個(gè)物體在時(shí)刻t0時(shí)位于S<t0>,在時(shí)刻t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi),物體的位置增量是ΔS＝S<t0＋Δt>－S<t0>．那么位置增量ΔS與時(shí)間增量Δt的比,就是這段時(shí)間內(nèi)物體的________,即eq\x\to<v>＝eq\f<St0＋Δt－St0,Δt>.當(dāng)這段時(shí)間很短,即Δt很小時(shí),這個(gè)平均速度就接近時(shí)刻t0的速度．Δt越小,eq\x\to<v>就越接近于時(shí)刻t0的速度,當(dāng)Δt→0時(shí),這個(gè)平均速度的極限v＝eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<ΔS,Δt>＝eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<St0＋Δt－St0,Δt>就是物體在時(shí)刻t0的速度即為_(kāi)_______．2．導(dǎo)數(shù)的概念．設(shè)函數(shù)y＝f<x>在區(qū)間<a,b>上有定義,x0∈<a,b>,當(dāng)Δx無(wú)限趨近0時(shí),比值eq\f<Δy,Δx>＝eq\f<fx0＋Δx－fx0,Δx>無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A,這個(gè)常數(shù)A就是函數(shù)f<x>在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′<x0>或y′|x＝x0.用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為f′<x0>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>＝________名師講解1.求瞬時(shí)速度的步驟<1>求位移增量ΔS＝S<t＋Δt>－S<t>；<2>求平均速度eq\x\to<v>＝eq\f<ΔS,Δt>；<3>求極限eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<ΔS,Δt>＝eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<St＋Δt－St,Δt>；<4>若極限存在,則瞬時(shí)速度v＝eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<ΔS,Δt>.2．導(dǎo)數(shù)還可以如下定義一般地,函數(shù)y＝f<x>在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<fx0＋Δx－fx0,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>.我們稱它為函數(shù)y＝f<x>在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)．記作f′<x0>或y′|x＝x0,即f′<x0>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<fx0＋Δx－fx0,Δx>.3．對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解<1>"導(dǎo)數(shù)"是從現(xiàn)實(shí)生活中大量類似問(wèn)題里,撇開(kāi)一些量的具體意義,單純地抓住它們數(shù)量上的共性而提取出來(lái)的一個(gè)概念,所以我們應(yīng)很自然的理解這個(gè)概念的提出與其實(shí)際意義．<2>某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)在這點(diǎn)的變化率．某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念包含著兩層含義：①eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>存在,則稱f<x>在x＝x0處可導(dǎo)并且導(dǎo)數(shù)即為極限值；②eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>不存在,則稱f<x>在x＝x0處不可導(dǎo)．<3>Δx稱為自變量x的增量,Δx可取正值也可取負(fù)值,但不可以為0.<4>令x＝x0＋Δx,得Δx＝x－x0,于是f′<x0>＝eq\o<lim,\s\do15<x→x0>>eq\f<fx－fx0,x－x0>與定義中的f′<x0>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<fx0＋Δx－fx0,Δx>意義相同．4．求函數(shù)y＝f<x>在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟<1>求函數(shù)的增量：Δy＝f<x0＋Δx>－f<x0>；<2>求平均變化率：eq\f<Δy,Δx>＝eq\f<fx0＋Δx－fx0,Δx>；<3>取極限,得導(dǎo)數(shù)：f′<x0>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>.題型一物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度例1以初速度v0<v0>0>豎直上拋的物體,t秒時(shí)高度為s<t>＝v0t－eq\f<1,2>gt2,求物體在時(shí)刻t0處的瞬時(shí)速度．分析先求出Δs,再用定義求eq\f<Δs,Δt>,當(dāng)Δt→0時(shí)的極限值．解∵Δs＝v0<t0＋Δt>－eq\f<1,2>g<t0＋Δt>2－<v0t0－eq\f<1,2>gteq\o\al<2,0>>＝<v0－gt0>Δt－eq\f<1,2>g<Δt>2,∴eq\f<Δs,Δt>＝v0－gt0－eq\f<1,2>g·Δt.∴當(dāng)Δt→0時(shí),eq\f<Δs,Δt>→v0－gt0.故物體在時(shí)刻t0處的瞬時(shí)速度為v0－gt0.規(guī)律技巧瞬時(shí)速度v是平均速度eq\x\to<v>在Δt→0時(shí)的極限.因此,v＝eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\x\to<v>＝eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<Δs,Δt>.變式訓(xùn)練1一作直線運(yùn)動(dòng)的物體,其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝5t－t2,求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度。解∵Δs＝5<2＋Δt>－<2＋Δt>2－<5×2－22>＝Δt－<Δt>2,∴eq\f<Δs,Δt>＝1－Δt.∴v＝eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<Δs,Δt>＝eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>><1－Δt>＝1.∴物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為1.題型二求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例2求函數(shù)y＝eq\r<x>在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．分析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本方法．解法1∵Δy＝eq\r<1＋Δx>－1,∴eq\f<Δy,Δx>＝eq\f<\r<1＋Δx>－1,Δx>＝eq\f<Δx,Δx\r<1＋Δx>＋1>＝eq\f<1,\r<1＋Δx>＋1>.∴eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<1,\r<1＋Δx>＋1>＝eq\f<1,2>.∴y′|x＝1＝eq\f<1,2>.解法2<先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)數(shù)值>∵Δy＝eq\r<x＋Δx>－eq\r<x>,∴eq\f<Δy,Δx>＝eq\f<\r<x＋Δx>－\r<x>,Δx>＝eq\f<1,\r<x＋Δx>＋\r<x>>.∴y′＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<1,\r<x＋Δx>＋\r<x>>＝eq\f<1,2\r<x>>.∴y′|x＝1＝eq\f<1,2>.規(guī)律技巧求函數(shù)y＝fx在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法：一是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義；二是先求導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)數(shù)值.變式訓(xùn)練2利用定義求函數(shù)y＝x＋eq\f<1,x>的導(dǎo)數(shù),并據(jù)此求函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解∵Δy＝<x＋Δx>＋eq\f<1,x＋Δx>－<x＋eq\f<1,x>>eq\f<Δy,Δx>＝1－eq\f<1,xx＋Δx>,∴y′＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>[1－eq\f<1,xx＋Δx>]＝1－eq\f<1,x2>.∴y′|x＝1＝1－eq\f<1,12>＝0.＝Δx－eq\f<Δx,xx＋Δx>,題型三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3某物體按照s<t>＝3t2＋2t＋4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到4s時(shí),物體運(yùn)動(dòng)的平均速度和4s時(shí)的瞬時(shí)速度．分析解答本題,可先求自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到ts時(shí)的平均速度v<t>及函數(shù)值的增量Δs,自變量的增量Δt,再利用公式求解即可．解自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到ts時(shí),物體運(yùn)動(dòng)的平均速度eq\o<v,\s\up6<－>><t>＝eq\f<st,t>＝3t＋2＋eq\f<4,t>,故前4秒物體的平均速度為eq\o<v,\s\up6<－>><t>＝3×4＋2＋eq\f<4,4>＝15.由于Δs＝3<t＋Δt>2＋2<t＋Δt>＋4－<3t2＋2t＋4>＝<2＋6t>Δt＋3<Δt>2,∴eq\f<Δs,Δt>＝2＋6t＋3Δt.∴eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<Δs,Δt>＝2＋6t.∴4s時(shí)物體的瞬時(shí)速度為2＋6×4＝26.規(guī)律技巧導(dǎo)數(shù)的物理意義：1若已知位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系s＝st,則在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v＝s′t0；2若已知速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系v＝vt,則在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a＝v′t0.變式訓(xùn)練3豎直上拋一小球,其位移與時(shí)間的關(guān)系為h<t>＝100t－eq\f<1,2>gt2,試求小球何時(shí)瞬時(shí)速度為0<g≈9.8>．解小球的運(yùn)動(dòng)方程為h<t>＝100t－eq\f<1,2>gt2,∴Δh＝[100<t＋Δt>－eq\f<1,2>g<t＋Δt>2]－<100t－eq\f<1,2>gt2>＝∴eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<Δh,Δt>＝100－gt,令100－gt＝0,得t＝eq\f<100,g>＝eq\f<100,9.8>≈10.2<s>．因此,小球被上拋10.2s時(shí)速度變?yōu)?.100Δt－gtΔt－eq\f<1,2>g<Δt>2.例4已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝at2＋3<單位：cm>做直線運(yùn)動(dòng),且質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8cm/s,求a的值．分析這是一道逆向思維的題目,知導(dǎo)數(shù)s′|t＝2＝8,求系數(shù)a,先對(duì)s求導(dǎo),可得含a的方程．解出a即可．解Δs＝a<2＋Δt>2＋3－<a·22＋3>＝4a·Δt＋a<Δt>2∴eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>>eq\f<Δs,Δt>＝eq\o<lim,\s\do15<Δt→0>><4a＋a·Δt>＝4a.依題意有4a＝8,∴a＝2.變式訓(xùn)練4已知f<x>＝ax＋b,且f′<1>＝2,求實(shí)數(shù)a的值．解Δy＝f<1＋Δx>－f<1>＝a<1＋Δx>＋b－<a＋b>＝aΔx.∴f′<1>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>a＝a.又f′<1>＝2,∴a＝2.§1.1函數(shù)的單調(diào)性與極值1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．2．會(huì)求函數(shù)在點(diǎn)<x0,y0>處的切線方程.1.幾何意義：f<x>在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′<x0>即為f<x>所表示的曲線在x＝x0處的切線的斜率,即k＝f′<x0>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<fx0＋Δx－fx0,Δx>.過(guò)點(diǎn)<x0,f<x0>>的切線方程為_(kāi)_______．2．物理意義：如果把函數(shù)y＝f<x>看作是物體的運(yùn)動(dòng)方程<或叫位移公式>,那么導(dǎo)數(shù)f′<x0>表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻t0的速度,即在x0的________．即vx0＝f′<x0>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>.3．如果f<x>在開(kāi)區(qū)間<a,b>內(nèi)每一點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)都存在,那么稱f<x>在區(qū)間<a,b>內(nèi)可導(dǎo)．這樣對(duì)開(kāi)區(qū)間<a,b>內(nèi)每一個(gè)值x,都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f′<x>,于是在區(qū)間<a,b>內(nèi)f′<x>構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù),我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y＝f<x>的________,記為_(kāi)_______,簡(jiǎn)稱為_(kāi)_______．今后,如不特別指明某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),求導(dǎo)數(shù)就是指求導(dǎo)函數(shù).答案1.y－f<x0>＝f′<x0><x－x0>2.瞬時(shí)速度3.導(dǎo)函數(shù)f′<x><或y′x、y′>導(dǎo)數(shù)1."函數(shù)f<x>在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)"、"導(dǎo)函數(shù)"、"導(dǎo)數(shù)"三者之間的區(qū)別與__"函數(shù)f<x>在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)"是一個(gè)數(shù)值；"導(dǎo)函數(shù)"簡(jiǎn)稱"導(dǎo)數(shù)",是一個(gè)函數(shù)．所以求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí),一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值．2．可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．由于函數(shù)y＝f<x>在x＝x0處的導(dǎo)數(shù),表示曲線在點(diǎn)P<x0,f<x0>>處的切線的斜率．因此,曲線y＝f<x>在點(diǎn)P<x0,f<x0>>處的切線方程可如下求得：<1>求出f′<x0>,則f′<x0>就是點(diǎn)P<x0,f<x0>>處的切線的斜率．<2>代入直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為y－f<x0>＝f′<x0><x－x0>．如果曲線y＝f<x>在點(diǎn)P<x0,f<x0>>處的切線平行于y軸時(shí)<此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在>,切線方程為x＝x0.題型一求曲線上某點(diǎn)處的切線方程例1已知曲線C：y＝x3.<1>求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程；<2>第<1>小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)．分析先求出函數(shù)y＝x3在x＝1處的導(dǎo)數(shù),即切線的斜率,然后寫(xiě)出切線方程,最后列方程看交點(diǎn)個(gè)數(shù)．解<1>將x＝1代入曲線C的方程得y＝1,∴切點(diǎn)P<1,1>．∵y′＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<x＋Δx3－x3,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>[3x2＋3xΔx＋<Δx>2]＝3x2,∴y′|x＝1＝3.∴過(guò)P點(diǎn)的切線方程為y－1＝3<x－1>,即3x－y－2＝0.<2>由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y＝3x－1＋1,y＝x3>>可得<x－1><x2＋x－2>＝0,解得x1＝1,x2＝－2,從而求得公共點(diǎn)為P<1,1>或P<－2,－8>．說(shuō)明切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外,還有另外的公共點(diǎn)．規(guī)律技巧先求出函數(shù)y＝fx在x＝x0處的導(dǎo)數(shù),即曲線在該點(diǎn)處的切線斜率,再由直線方程的點(diǎn)斜式便可求出切線方程.變式訓(xùn)練1求雙曲線y＝eq\f<1,x>在點(diǎn)<eq\f<1,2>,2>處的切線的斜率,并寫(xiě)出切線方程．解∵y＝eq\f<1,x>,∴k＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<\f<1,x＋Δx>－\f<1,x>,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<－1,x2＋xΔx>＝－eq\f<1,x2>.∴當(dāng)x＝eq\f<1,2>時(shí),k＝－4,∴切線斜率為k＝－4.切線方程為y－2＝－4<x－eq\f<1,2>>,即4x＋y－4＝0.題型二求過(guò)某點(diǎn)的切線方程例2求拋物線y＝x2過(guò)點(diǎn)<eq\f<5,2>,6>的切線方程．分析點(diǎn)<eq\f<5,2>,6>不在拋物線上,先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),求出切線的斜率,利用等量關(guān)系,求出切點(diǎn)坐標(biāo),最后寫(xiě)出切線方程．解設(shè)此切線在拋物線上的切點(diǎn)為<x0,xeq\o\al<2,0>>,則y′|x＝x0＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<x0＋Δx2－x\o\al<2,0>,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>><2x0＋Δx>＝2x0,∴eq\f<x\o\al<2,0>－6,x0－\f<5,2>>＝2x0,即xeq\o\al<2,0>－5x0＋6＝0,解得x0＝2,或x0＝3.即切線經(jīng)過(guò)拋物線y＝x2上的點(diǎn)<2,4>,<3,9>．故切線方程分別為y－4＝4<x－2>,y－9＝6<x－3>,即4x－y－4＝0,或6x－y－9＝0為所求的切線方程．規(guī)律技巧求切線方程時(shí),注意兩種說(shuō)法：一是在某點(diǎn)處的切線方程,此時(shí)點(diǎn)在曲線上,且以此點(diǎn)為切點(diǎn)；二是過(guò)某點(diǎn)的切線方程,如本例,此時(shí)求解時(shí),首先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解.變式訓(xùn)練2求拋物線y＝eq\f<1,4>x2過(guò)點(diǎn)<4,eq\f<7,4>>的切線方程．解設(shè)切線在拋物線上的切點(diǎn)為<x0,eq\f<1,4>xeq\o\al<2,0>>,∴y′|x＝x0＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<\f<1,4>x0＋Δx2－\f<1,4>x\o\al<2,0>,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>><eq\f<1,2>x0＋eq\f<1,4>Δx>＝eq\f<1,2>x0.∴eq\f<\f<1,4>x\o\al<2,0>－\f<7,4>,x0－4>＝eq\f<1,2>x0.即xeq\o\al<2,0>－8x0＋7＝0,解得x0＝7,或x0＝1,即切線過(guò)拋物線y＝eq\f<1,4>x2上的點(diǎn)<7,eq\f<49,4>>,<1,eq\f<1,4>>,故切線方程分別為y－eq\f<49,4>＝eq\f<7,2><x－7>,或y－eq\f<1,4>＝eq\f<1,2><x－1>,化簡(jiǎn)得14x－4y－49＝0,或2x－4y－1＝0,此即所求的切線方程．題型三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用例3求曲線y＝x2在點(diǎn)<3,9>處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．分析由題設(shè)知切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形為直角三角形,故需求出切線方程及其在兩坐標(biāo)軸上的截距,代入三角形面積公式計(jì)算．解Δy＝<3＋Δx>2－32＝6Δx＋<Δx>2,∴f′<3>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>><6＋Δx>＝6.∴點(diǎn)<3,9>處的切線方程為y－9＝6<x－3>,即y＝6x－9.切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為<eq\f<3,2>,0>,<0,－9>．∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S＝eq\f<1,2>×eq\f<3,2>×9＝eq\f<27,4>.變式訓(xùn)練3在曲線y＝x2上求一點(diǎn)P,使過(guò)點(diǎn)P的切線與直線y＝4x－5平行．解設(shè)P<x0,xeq\o\al<2,0>>,則f′<x0>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<Δy,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>>eq\f<x0＋Δx2－x\o\al<2,0>,Δx>＝eq\o<lim,\s\do15<Δx→0>><2x0＋Δx>＝2x0.由題意可得2x0＝4,∴x0＝2.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為<2,4>.§1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算幾種常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則自學(xué)引導(dǎo)1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,會(huì)求函數(shù)y＝c,y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝eq\f<1,x>,y＝eq\r<x>的導(dǎo)數(shù)．2．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).課前熱身1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)<1>f<x>＝cf′<x>＝________<2>f<x>＝xn<n∈Q>f′<x>＝________<3>f<x>＝sinxf′<x>＝________<4>f<x>＝cosxf′<x>＝________<5>f<x>＝axf′<x>＝________原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)<6>f<x>＝exf′<x>＝________<7>f<x>＝logaxf′<x>＝________<8>f<x>＝lnxf′<x>＝________2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．<1>[f<x>±g<x>]′＝________；<2>[f<x>·g<x>]′＝________；<3>[eq\f<fx,gx>]′＝________.答案2.<1>f′<x>±g′<x><2>f′<x>g<x>＋f<x>g′<x><3>eq\f<f′xgx－fxg′x,[gx]2><g<x>≠0><3>公式中n∈Q,但對(duì)于n∈R公式也成立．<4>特別注意n為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí),求導(dǎo)不要搞錯(cuò)．如2．兩函數(shù)和差的求導(dǎo)法則的推廣<1>[f<x>±g<x>]′＝f′<x>±g′<x>此法則可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形．[f1<x>±f2<x>±…±fn<x>]′＝f1′<x>±f2′<x>±…±fn′<x>．<2>[af<x>±bg<x>]′＝af′<x>±bg′<x><a,b為常數(shù)>．3．兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<fx,gx>>>′＝eq\f<f′xgx－fxg′x,g2x><g<x>≠0>,當(dāng)f<x>＝1時(shí),則有eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<1,gx>>>′＝－eq\f<g′x,g2x><g<x>≠0>．這是一個(gè)函數(shù)倒數(shù)的求導(dǎo)法則．4．求導(dǎo)運(yùn)算的技巧在求導(dǎo)數(shù)中,有些函數(shù)表示形式很復(fù)雜,直接求導(dǎo)比較困難,但經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理,有可能很簡(jiǎn)單,這時(shí)再求導(dǎo)可能很簡(jiǎn)便,也就是說(shuō),先把復(fù)雜式子化簡(jiǎn)后再求導(dǎo),減少運(yùn)算量.題型一求導(dǎo)函數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．<1>y＝x12；<2>y＝eq\f<1,x3>；<3>y＝eq\r<3,x2>.分析這三個(gè)小題都可歸為xn類,用公式<xn>′＝nxn－1完成．解<1>y′＝<x12>′＝12x12－1＝12x11.<2>y′＝<eq\f<1,x3>>′＝<x－3>′＝－3x－3－1＝－3x－4.變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．<1>f<x>＝10x；<2>f<x>＝log2x；<3>g<t>＝et.解<1>f′<x>＝<10x>′＝10xln10.<2>f′<x>＝<log2x>′＝eq\f<1,xln2>.<3>g′<t>＝<et>′＝et.題型二求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例2<1>求函數(shù)y＝ax,在點(diǎn)P<3,f<3>>處的導(dǎo)數(shù)；<2>求函數(shù)y＝lnx在點(diǎn)Q<5,ln5>處的導(dǎo)數(shù)．分析先按求導(dǎo)公式求出導(dǎo)函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值．解<1>∵y＝ax,∴y′＝<ax>′＝axlna.則y′|x＝3＝a3lna.<2>∵y＝lnx,∴y′＝<lnx>′＝eq\f<1,x>.則y′|x＝5＝eq\f<1,5>.規(guī)律技巧求函數(shù)在某定點(diǎn)點(diǎn)在函數(shù)曲線上的導(dǎo)數(shù),一般過(guò)程是：①先求導(dǎo)函數(shù)；②把定點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)值.變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．<1>y＝logax,x＝2；<2>y＝cosx,x＝eq\f<π,4>；<3>y＝2x3＋eq\r<3,x>,x＝1；<4>y＝sinx,x＝eq\f<π,3>.解<1>∵y＝logax,∴y′＝eq\f<1,xlna>.則y′|x＝2＝eq\f<1,2lna>.<2>∵y＝cosx,∴y′＝－sinx.則y′|x＝eq\f<π,4>＝－sineq\f<π,4>＝－eq\f<\r<2>,2>.則y′|x＝1＝6＋eq\f<1,3>＝eq\f<19,3>.<4>∵y＝sinx,∴y′＝cosx.則y′|x＝eq\f<π,3>＝coseq\f<π,3>＝eq\f<1,2>.題型三利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．<1>y＝x2·sinx＋cosx；<2>y＝eq\f<lnx,x＋1>；<3>f<x>＝<x3＋1><2x2＋8x－5>；<4>f<x>＝eq\f<1＋\r<x>,1－\r<x>>＋eq\f<1－\r<x>,1＋\r<x>>.分析對(duì)于<1>、<2>可以利用公式直接求導(dǎo),<3>、<4>先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)．解<1>y′＝<x2sinx＋cosx>′＝<x2sinx>′＋<cosx>′＝2xsinx＋x2cosx－sinx＝<2x－1>sinx＋x2cosx.<2>y′＝<eq\f<lnx,x＋1>>′＝eq\f<\f<1,x>x＋1－lnx,x＋12>＝eq\f<1－lnx＋\f<1,x>,x＋12>＝eq\f<x－xlnx＋1,xx＋12>.<3>∵f<x>＝<x3＋1><2x2＋8x－5>＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5f′<x>＝<2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5>′＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.<4>∵f<x>＝eq\f<1＋\r<x>,1－\r<x>>＋eq\f<1－\r<x>,1＋\r<x>>＝eq\f<1＋\r<x>2,1－x>＋eq\f<1－\r<x>2,1－x>＝eq\f<21＋x,1－x>＝eq\f<4,1－x>－2,∴f′<x>＝<eq\f<4,1－x>－2>′＝eq\f<4′1－x－41－x′,1－x2>＝eq\f<4,1－x2>.規(guī)律技巧運(yùn)用求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一定要先分析函數(shù)y＝f<x>的結(jié)構(gòu)特征,對(duì)于直接求導(dǎo)很繁瑣的,一定要先化簡(jiǎn),再求導(dǎo)．變式訓(xùn)練3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．<1>y＝tanx；<2>y＝eq\f<1,1－\r<x>>＋eq\f<1,1＋\r<x>>；<3>y＝1＋sineq\f<x,2>coseq\f<x,2>；<4>y＝eq\f<x,x＋1>－2x.解<1>y＝tanx＝eq\f<sinx,cosx>,∴y′＝<eq\f<sinx,cosx>>′＝eq\f<sinx′cosx－sinxcosx′,cos2x>＝eq\f<cos2x＋sin2x,cos2x>＝eq\f<1,cos2x>.<2>∵y＝eq\f<1,1－\r<x>>＋eq\f<1,1＋\r<x>>＝eq\f<2,1－x>,∴y′＝<eq\f<2,1－x>>′＝eq\f<－21－x′,1－x2>＝eq\f<2,1－x2>.<3>∵y＝1＋sineq\f<x,2>coseq\f<x,2>＝1＋eq\f<1,2>sinx,∴y′＝<1＋eq\f<1,2>sinx>′＝eq\f<1,2>cosx.<4>y′＝<eq\f<x,x＋1>>′－<2x>′＝eq\f<x＋1－x,x＋12>－2xln2＝eq\f<1,x＋12>－2xln2.題型四求切線方程例4求過(guò)點(diǎn)<1,－1>的曲線y＝x3－2x的切線方程．分析點(diǎn)<1,－1>雖然在曲線上,但它不一定是切點(diǎn),故應(yīng)先求切點(diǎn)．解設(shè)P<x0,y0>為切點(diǎn),則切線的斜率為f′<x0>＝3xeq\o\al<2,0>－2,故切線方程為y－y0＝<3xeq\o\al<2,0>－2><x－x0>,即y－<xeq\o\al<3,0>－2x0>＝<3xeq\o\al<2,0>－2><x－x0>,又知切線過(guò)點(diǎn)<1,－1>代入上述方程,得－1－<xeq\o\al<3,0>－2x0>＝<3xeq\o\al<2,0>－2><1－x0>,解得x0＝1,或x0＝－eq\f<1,2>,∴切點(diǎn)為<1,－1>或<－eq\f<1,2>,eq\f<7,8>>．故所求的切線方程為y＋1＝x－1,或y－eq\f<7,8>＝－eq\f<5,4><x＋eq\f<1,2>>,即x－y－2＝0,或5x＋4y－1＝0.規(guī)律技巧1在求曲線的切線方程時(shí),注意兩個(gè)"說(shuō)法"：求曲線在點(diǎn)P處的切線方程和求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程.在點(diǎn)P處的切線,一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的切線,不論點(diǎn)P在不在曲線上,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn).2求過(guò)點(diǎn)P的曲線的切線方程的步驟為：先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為x0,y0,然后寫(xiě)出切線方程y－y0＝f′x0x－x0,代入點(diǎn)P的坐標(biāo),求出x0,y0,再寫(xiě)出切線方程.變式訓(xùn)練4已知曲線y＝x3－3x,過(guò)點(diǎn)<0,16>作曲線的切線,求曲線的切線方程．解設(shè)切點(diǎn)為<x1,y1>,則切線的斜率k＝y(tǒng)′eq\b\lc\\rc\|<\a\vs4\al\co1<,,>>x＝x1＝3xeq\o\al<2,1>－3,∴切線方程為y＝<3xeq\o\al<2,1>－3>x＋16.又切點(diǎn)在切線上,∴y1＝<3xeq\o\al<2,1>－3>x1＋16.∴xeq\o\al<3,1>－3x1＝<3xeq\o\al<2,1>－3>x1＋16,解得x1＝－2.∴切線方程為y＝9x＋16,即9x－y＋16＝0§1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)能利用出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)<僅限于形如f<ax＋b>>的導(dǎo)數(shù).課前熱身1.復(fù)合函數(shù)的概念．一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f<u>和u＝g<x>,如果通過(guò)變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)________和________的復(fù)合函數(shù),記作________．2．復(fù)合函數(shù)y＝f<g<x>>的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f<u>,u＝g<x>的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為_(kāi)_______．即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.答案1.y＝f<u>u＝g<x>y＝f<g<x>>2.y′x＝y(tǒng)′u·u′x名師講解1.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是處理好以下幾個(gè)環(huán)節(jié)<1>中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)；<2>關(guān)鍵是正確分析出復(fù)合過(guò)程；<3>一般從最外層開(kāi)始,由外及里,一層層地求導(dǎo)；<4>善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體；<5>最后結(jié)果要把中間變量換成自變量的函數(shù)．2．求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法步驟<1>分解復(fù)合函數(shù)為基本初等函數(shù),適當(dāng)選擇中間變量；<2>求每一層基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；<3>每層函數(shù)求導(dǎo)后,需把中間變量轉(zhuǎn)化為自變量的函數(shù).題型一復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．<1>y＝eq\f<1,1－3x4>；<2>y＝cosx2；<3>y＝sin<2x－eq\f<π,3>>；<4>y＝eq\r<1＋x2>.分析注意中間變量的選取,分層求導(dǎo)．<3>令u＝2x－eq\f<π,3>,則y＝sinu,∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝cosu·2＝2cos<2x－eq\f<π,3>>．<4>令u＝1＋x2,則y＝ueq\s\up15<eq\f<1,2>>,∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝eq\f<1,2>ueq\s\up15<-eq\f<1,2>>·2x＝x·ueq\s\up15<-eq\f<1,2>>＝eq\f<x,\r<1＋x2>>.規(guī)律技巧求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,對(duì)于分式型的可化為冪的形式求導(dǎo),關(guān)鍵選好中間變量．最后將中間變量代回到原自變量的函數(shù)．變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．<1>y＝eq\f<