05 測量誤差的基本知識

第五章測量誤差在測量工作中一定要認(rèn)清測量誤差的來源、分類及其傳播規(guī)律，牢牢掌握平差方法，以提高測量精度。測量誤碼差產(chǎn)生有其多方面的原因。測量誤碼差還有其不同類型，不同類型又有其不同特性，本節(jié)將分別加以研究。第一節(jié)測量誤差概述一、測量誤差及其來源在實(shí)際的測量工作中，大量實(shí)踐表明，當(dāng)對某一未知量進(jìn)行多次觀測時(shí)，不論測量儀器有多精密，觀測進(jìn)行得多么仔細(xì)，所得的觀測值之間總是不盡相同。這種差異都是由于測量中存在誤差的緣故。測量所獲得的數(shù)值稱為觀測值。由于觀測中誤差的存在而往往導(dǎo)致各觀測值與其真實(shí)值（簡稱為真值）之間存在差異，這種差異稱為測量誤差（或觀測誤差）。用乙代表觀測值，X代表真值，則誤差=觀測值乙一真值X，即A=L-X（5-1）這種誤差通常又稱之為真誤差。由于任何測量工作都是由觀測者使用某種儀器、工具，在一定的外界條件下進(jìn)行的，所以，觀測誤差來源于以下三個(gè)方面：觀測者的視覺鑒別能力和技術(shù)水平；儀器、工具的精密程度；觀測時(shí)外界條件的好壞。通常我們把這三個(gè)方面綜合起來稱為觀測條件。觀測條件將影響觀測成果的精度：若觀測條件好，則測量誤差小，測量的精度就高；反之，則測量誤差大，精度就低；若觀測條件相同，則可認(rèn)為精度相同。在相同觀測條件下進(jìn)行的一系列觀測稱為等精度觀測；在不同觀測條件下進(jìn)行的一系列觀測稱為不等精度觀測。由于在測量的結(jié)果中含有誤差是不可避免的，因此，研究誤差理論的目的不是為了去消滅誤差，而是要對誤差的來源、性質(zhì)及其產(chǎn)生和傳播的規(guī)律進(jìn)行研究，以便解決測量工作中遇到的一些實(shí)際問題。例如：在一系列的觀測值中，如何確定觀測量的最可靠值；如何來評定測量的精度；以及如何確定誤差的限度等。所有這些問題，運(yùn)用測量誤差理論均可得到解決。二、測量誤差的分類測量誤差按其性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類：（一）系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某一未知量進(jìn)行一系列觀測，若誤差的大小和符號保持不變，或按照一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。例如水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行而引起的讀數(shù)誤差，與視線的長度成正比且符號不變；經(jīng)緯儀因視準(zhǔn)軸與橫軸不垂直而引起的方向誤差，隨視線豎直角的大小而變化且符號不變；距離測量尺長不準(zhǔn)產(chǎn)生的誤差隨尺段數(shù)成比例增加且符號不變。這些誤差都屬于系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差主要來源于儀器工具上的某些缺陷；來源于觀測者的某些習(xí)慣的影響，例如有些人習(xí)慣地把讀數(shù)估讀得偏大或偏??；也有來源于外界環(huán)境的影響，如風(fēng)力、溫度及大氣折光等的影響。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是具有累積性，對測量結(jié)果影響較大，因此，應(yīng)盡量設(shè)法消除或減弱它對測量成果的影響。方法有兩種：一是在觀測方法和觀測程序上采取一定的措施來消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響。例如在水準(zhǔn)測量中，保持前視和后視距離相等，來消除視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行所產(chǎn)生的誤差；在測水平角時(shí)，采取盤左和盤右觀測取其平均值，以消除視準(zhǔn)軸與橫軸不垂直所引起的誤差。另一種是找出系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因和規(guī)律，對測量結(jié)果加以改正。例如在鋼尺量距中，可對測量結(jié)果加尺長改正和溫度改正，以消除鋼尺長度的影響。（二）偶然誤差在相同的觀測條件下，對某一未知量進(jìn)行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號沒有明顯的規(guī)律性，即從表面上看，誤差的大小和符號均呈現(xiàn)偶然性，這種誤差稱為偶然誤差。例如在水平角測量中照準(zhǔn)目標(biāo)時(shí)，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一樣；又如在水準(zhǔn)測量或鋼尺量距中估讀毫米數(shù)時(shí)，可能偏大也可能偏小，其大小也不一樣，這些都屬于偶然誤差。產(chǎn)生偶然誤差的原因很多，主要是由于儀器或人的感覺器官能力的限制，如觀測者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等，以及環(huán)境中不能控制的因素如不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境所造成。偶然誤差在測量過程中是不可避免的，從單個(gè)誤差來看，其大小和符號沒有一定的規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)在觀測值內(nèi)部卻隱藏著一種必然的規(guī)律，這給偶然誤差的處理提供了可能性。測量成果中除了系統(tǒng)誤差和偶然誤差以外，還可能出現(xiàn)錯(cuò)誤（有時(shí)也稱之為粗差）。錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因較多，可能由作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀錯(cuò)、讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)、照錯(cuò)了目標(biāo)等；也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起的；還有可能是容許誤差取值過小造成的。錯(cuò)誤對觀測成果的影響極大，所以在測量成果中絕對不允許有錯(cuò)誤存在。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的方法是：進(jìn)行必要的重復(fù)觀測，通過多余觀測條件，進(jìn)行檢核驗(yàn)算；嚴(yán)格按照國家有關(guān)部門制定的各種測量規(guī)范進(jìn)行作業(yè)等。在測量的成果中，錯(cuò)誤可以發(fā)現(xiàn)并剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶然誤差是不可避免的，它在測量成果中占主導(dǎo)地位，所以測量誤差理論主要是處理偶然誤差的影響。下面詳細(xì)分析偶然誤差的特性。三、偶然誤差的特性偶然誤差的特點(diǎn)具有隨機(jī)性，所以它是一種隨機(jī)誤差。偶然誤差就單個(gè)而言具有隨機(jī)性，但在總體上具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量。在測量實(shí)踐中，根據(jù)偶然誤差的分布，我們可以明顯地看出它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。例如在相同的觀測條件下，觀測了217個(gè)三角形的全部內(nèi)角。已知三角形內(nèi)角之和等于180°，這是三內(nèi)角之和的理論值即真值X，實(shí)際觀測所得的三內(nèi)角之和即觀測值乙。由于各觀測值中都含有偶然誤差，因此各觀測值不一定等于真值，其差即真誤差△。以下分兩種方法來分析：（一）表格法由（5-1）式計(jì)算可得217個(gè)內(nèi)角和的真誤差，按其大小和一定的區(qū)間（本例為d^=3〃），分別統(tǒng)計(jì)在各區(qū)間正負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)k及其出現(xiàn)的頻率k/n（n=217），列于表5-1中。

從表5-1中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)比大誤差多;絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻率大致相等；最大誤差不超過27〃。實(shí)踐證明，對大量測量誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，都可以得出上述同樣的規(guī)律，且觀測的個(gè)數(shù)越多，這種規(guī)律就越明顯。表5-1三角形內(nèi)角和真誤差統(tǒng)計(jì)表誤差區(qū)正誤差負(fù)誤差合計(jì)間』△個(gè)數(shù)k頻率k/n個(gè)數(shù)k頻率k/n個(gè)數(shù)k頻率k/n0〃?3〃300.138290.134590.2723〃?6〃210.097200.092410.1896〃?9〃150.069180.083330.1529〃?12〃140.065160.073300.13812〃?15〃120.055100.046220.10115〃?18〃80.03780.037160.07418〃?21〃50.02360.028110.05121〃?24〃20.00920.00940.01824〃?27〃10.0050010.00527〃以上000000合計(jì)1080.4981090.5022171.000（二）直方圖法為了更直觀地表現(xiàn)誤差的分布，可將表5-1的數(shù)據(jù)用較直觀的頻率直方圖來表示。以真誤差的大小為橫坐標(biāo)，以各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率k/n與區(qū)間d△的比值為縱坐標(biāo)，在每一區(qū)間上根據(jù)相應(yīng)的縱坐標(biāo)值畫出一矩形，則各矩形的面積等于誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率k/n。如圖5-1中有斜線的矩形面積，表示誤差出現(xiàn)在+6〃?+9〃之間的頻率，等于0.069。顯然，所現(xiàn)5?】俁差金布的.翅率■直方圖有矩形面積的總和等于1?？梢栽O(shè)想，如果在相同的條件下，所觀測的三角形個(gè)數(shù)不斷增加，則誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的

(5-2)頻率就趨向于一個(gè)穩(wěn)定值。當(dāng)^―時(shí)，各區(qū)間的頻率也就趨向于一個(gè)完全確定的數(shù)值一一概率。若無限縮小誤差區(qū)間，即d△—0,則圖5-1各矩形的上部折線，就趨向于一條以縱軸為對稱的光滑曲線(如圖5-2所示)，稱為誤差概率分布曲線，簡稱誤差分布曲線，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，它服從于正態(tài)分布，該曲線的方程式為式中：△為偶然誤差；。(>0)為與觀測條件有關(guān)的一個(gè)參數(shù)，稱為誤差分布的標(biāo)準(zhǔn)差，它的大小可以反映觀測精度的高低。其定義為：在圖5-1中各矩形的面積是頻率"〃。由概率統(tǒng)計(jì)原理可知，頻率即真誤差出現(xiàn)在區(qū)間d△上的概率P(△)，記為(5-3)nT3設(shè)券段率分布怕雄(5-4)心SI5-3不同精度的誤若分布曲弱根據(jù)上述分析，可以總結(jié)出偶然誤差具有如下四個(gè)特性：(1)(2)(nT3設(shè)券段率分布怕雄(5-4)心SI5-3不同精度的誤若分布曲弱根據(jù)上述分析，可以總結(jié)出偶然誤差具有如下四個(gè)特性：(1)(2)(3)(4)有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會(huì)超過一定的限值;集中性：即絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；對稱性：抵償性：lim垃=0nsn式中Ia]=A1+A2+絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即(5-5)+A〃=￡A.i=1也稱偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，用公式表示為E(△)=0。圖5-2中的誤差分布曲線，是對應(yīng)著某一觀測條件的，當(dāng)觀測條件不同時(shí)，其相應(yīng)誤差分布曲線的形狀也將隨之改變。例如圖5-3中，曲線I、II為對應(yīng)著兩組不同觀測條件得出的兩在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，,一、1…、111=0時(shí)，f1（A）=廠貌，f2（A）=.赤。廠說、°赤是這兩誤差分布曲線的峰1212值，其中曲線I的峰值較曲線II的高，即。］＜。2,故第I組觀測小誤差出現(xiàn)的概率較第II組的大。由于誤差分布曲線到橫坐標(biāo)軸之間的面積恒等于1，所以當(dāng)小誤差出現(xiàn)的概率較大時(shí)，大誤差出現(xiàn)的概率必然要小。因此，曲線I表現(xiàn)為較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測精度較高。而曲線II相對來說較為平緩，即離散度較大，因而觀測精度較低。第二節(jié)評定精度的指標(biāo)研究測量誤差理論的主要任務(wù)之一，是要評定測量成果的精度。在圖5-3中，從兩組觀測的誤差分布曲線可以看出：凡是分布較為密集即離散度較小的，表示該組觀測精度較高；而分布較為分散即離散度較大的，則表示該組觀測精度較低。用分布曲線或直方圖雖然可以比較出觀測精度的高低，但這種方法即不方便也不實(shí)用。因?yàn)樵趯?shí)際測量問題中并不需要求出它的分布情況，而需要有一個(gè)數(shù)字特征能反映誤差分布的離散程度，用它來評定觀測成果的精度，就是說需要有評定精度的指標(biāo)。在測量中評定精度的指標(biāo)有下列幾種：一、中誤差由上節(jié)可知（5-3）式定義的標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種指標(biāo)，但那是理論上的表達(dá)式。在測量實(shí)踐中觀測次數(shù)不可能無限多，因此實(shí)際應(yīng)用中，以有限次觀測個(gè)數(shù)n計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差的估值定義為中誤差e作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)旦算公式為m=±°=±「（5-6）'n【例5-1】有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個(gè)三角形的內(nèi)角，得三角形的閉合差（即三角形內(nèi)角和的真誤差）分別為：甲：+3〃、+1〃、-2〃、-1〃、0〃、-3〃；乙：+6〃、-5〃、+1〃、-4〃、-3〃、+5〃。試分析兩組的觀測精度?！窘狻坑弥姓`差公式（5-6）計(jì)算得：聲：32+12+C2）2+C1）2+02+。3）2=±]1=±h=±2.0”TOC\o"1-5"\h\z'n\6'[AA].62+（—5）2+12+（一4）2+（一3）2+52,,±1，n6±.從上述兩組結(jié)果中可以看出，甲組的中誤差較小，所以觀測精度高于乙組。而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出甲組觀測的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀測精度高于乙組。所以在測量工作中，普遍采用中誤差來評定測量成果的精度。注意：在一組同精度的觀測值中，盡管各觀測值的真誤差出現(xiàn)的大小和符號各異，而觀測值的中誤差卻是相同的，因?yàn)橹姓`差反映觀測的精度，只要觀測條件相同，則中誤差不變。

在公式（5-2）中，如果令/?（△）的二階導(dǎo)數(shù)等于0,可求得曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)△=±。^m。也就是說，中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。從圖5-3也可看出，兩條觀測條件不同的誤差分布曲線，其拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)值也不同：離散度較小的曲線I,其觀測精度較高，中誤差較??；反之離散度較大的曲線II,其觀測精度較低，中誤差則較大。二、相對誤差真誤差和中誤差都有符號，并且有與觀測值相同的單位，它們被稱為“絕對誤差”。絕對誤差可用于衡量那些諸如角度、方向等其誤差與觀測值大小無關(guān)的觀測值的精度。但在某些測量工作中，絕對誤差不能完全反映出觀測的質(zhì)量。例如，用鋼尺丈量長度分別為100m和200m的兩段距離，若觀測值的中誤差都是±2cm，不能認(rèn)為兩者的精度相等，顯然后者要比前者的精度高，這時(shí)采用相對誤差就比較合理。相對誤差K等于誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值的比值。它是一個(gè)不名數(shù)，常用分子為1的分式表示，即相對誤差=相對誤差=誤差的絕對值=1觀測值一T式中當(dāng)誤差的絕對值為中誤差m的絕對值時(shí)，K稱為相對中誤差。(5-7)lml在上例中用相對誤差來衡量，則兩段距離的相對誤差分別為1/5000和1/10000，后者精度較高。在距離測量中還常用往返測量結(jié)果的相對較差來進(jìn)行檢核。相對較差定義為D-D―往D-D―往返D平均|ad|。平均D平均|AD|(5-8)相對較差是真誤差的相對誤差它反映的只是往返測的符合程度，顯然，相對較差愈小，觀測結(jié)果愈可靠。相對較差是真誤差的相對誤差三、極限誤差和容許誤差（一）極限誤差由偶然誤差的特性一可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差。在一組等精度觀測值中，絕對值大于m（中誤差）的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%；絕對值大于2m的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為4.5%；絕對值大于3m的偶然誤差，出現(xiàn)的概率僅為0.3%。根據(jù)式（5-2）和式（5-4）有P（-a<A<a）=f+CTf（A）dA==f+CTe一片dA^0.683

一。（72兀一。上式表示真誤差出現(xiàn)在區(qū)間（-。，+。）內(nèi)的概率等于0.683，或者說誤差出現(xiàn)在該區(qū)間外的概率為0.317。同法可得P(-2a<A<2。)=J+2°f(A)dA=kf+2CTe一#dk-0.955一2。bv'2兀-2apC~3。<A<3。)=j+3。f(A)dA=―=l+3ae一旗dA牝0.997-3。。\'2兀-3。上列三式的概率含義是：在一組等精度觀測值中，絕對值大于。的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%；絕對值大于2。的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為4.5%；絕對值大于3。的偶然誤差，出現(xiàn)的概率僅為0.3%。在測量工作中，要求對觀測誤差有一定的限值。若以m作為觀測誤差的限值，則將有近32%的觀測會(huì)超過限值而被認(rèn)為不合格，顯然這樣要求過分苛刻。而大于3m的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)只有3%。，在有限的觀測次數(shù)中，實(shí)際上不大可能出現(xiàn)。所以可取3m作為偶然誤差的極限值，稱極限誤差，A極=3m。(二)容許誤差在實(shí)際工作中，測量規(guī)范要求觀測中不容許存在較大的誤差，可由極限誤差來確定測量誤差的容許值，稱為容許誤差，即A容=3m當(dāng)要求嚴(yán)格時(shí)，也可取兩倍的中誤差作為容許誤差，即A『2m容如果觀測值中出現(xiàn)了大于所規(guī)定的容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測值不可靠，應(yīng)舍去不用或重測。第三節(jié)誤差傳播定律前面已經(jīng)敘述了評定觀測值的精度指標(biāo)，并指出在測量工作中一般采用中誤差作為評定精度的指標(biāo)。但在實(shí)際測量工作中，往往會(huì)碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測的，而由一些可以直接觀測的量，通過函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算得出，這些量稱為間接觀測量。例如用水準(zhǔn)儀測量兩點(diǎn)間的高差。，通過后視讀數(shù)a和前視讀數(shù)b來求得的，h=a—b。由于直接觀測值中都帶有誤差，因此未知量也必然受到影響而產(chǎn)生誤差。說明觀測值的中誤差與其函數(shù)的中誤差之間關(guān)系的定律，叫做誤差傳播定律，它在測量學(xué)中有著廣泛的用途。一、誤差傳播定律TOC\o"1-5"\h\z設(shè)Z是獨(dú)立觀測量叫，明，???，］的函數(shù)，即Z=f(x，x，，x)(a)12幾12n式中：X］，x2，…，xn為直接觀測量，它們相應(yīng)觀測值的中誤差分別為m1，m2，…，mn，欲求觀測值的函數(shù)Z的中誤差mZ。n設(shè)各獨(dú)立變量X.(/=1，2,…，n)相應(yīng)的觀測值為孔，真誤差分別為M，相應(yīng)函數(shù)Z的

真誤差為^Z。則Z+AZ=f（x+Ax,x+Ax，…，x+Ax）1122nn因真誤差△],?均為微小的量，故可將上式按泰勒級數(shù)展開，并舍去二次及以上的各項(xiàng)，得：Z+AZ=f（x，x，…，x）+（fAx+fAx+???+fAx）TOC\o"1-5"\h\z12ndx1dx2Qxn（b）12n（3）減去（b）式，得QfQfQfAZ=—Ax+—Ax+…+Ax12nQf上式即為函數(shù)Z的真誤差與獨(dú)立觀測值L.的真誤差之間的關(guān)系式。式中Qx為函數(shù)Z分i別對各變量x/勺偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測值（x=L.）代入偏導(dǎo)數(shù)后的值，故均為常數(shù)。若對各獨(dú)立觀測量都觀測了k次，則可寫出k個(gè)類似于（c）式的關(guān)系式AZ⑴=fAx⑴+fAx⑴+???+fAx⑴TOC\o"1-5"\h\zQx1Qx2Qxn12nAZ（2）=fAx（2）+fAx（2）+…+fAx（2）Qx1Qx2Qxn12nAZ（k）=也Ax（k）+堂Ax（k）+v^—Ax（k）Qx1Qx2Qxn12n將以上各式等號兩邊平方后再相加，得IQx、2]IQx、2]f]22]+蕓.Qx）n'/i,j=1?豐J上式兩端各除以k，（Of丫Qx.JQfQxjxAx（Of丫Qx.JQfQxjxAxJ―?T~k因各變量x.的觀測值七均為彼此獨(dú)立的觀測，則當(dāng)i勺時(shí)，亦為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性可知，上式的末項(xiàng)當(dāng)S8時(shí)趨近于0，即[.[AxAx]0krsk故上式可寫為"Z2]

lim=limkT8kkT82Ax2]——+

kf[.[AxAx]0krsk故上式可寫為"Z2]

lim=limkT8kkT82Ax2]——+

kfnr、f（QxJ22Ax2]——2—+…+kIf]

n2Ax2n-k根據(jù)中誤差的定義，上式可寫成當(dāng)k為有限值時(shí)，即Vb12+￥b2+...+2m=±.2df9(dfm2+…+12m/vn7V

mn2(5-9)(疽、2f[dx.2)m2++2(產(chǎn)[dx'n（5-10）I常數(shù)。公式（5-9）或（5-10）即為計(jì)算函數(shù)中誤差的一般形式。xnxn)得列出獨(dú)立觀測量的函數(shù)式：Z=f（氣，x2，-求出真誤差關(guān)系式。對函數(shù)式進(jìn)行全微分，TOC\o"1-5"\h\zdfdfdfdZ=dX]+dx2+—+dxSX]8乂2合.〃因dZ、dx]、dx2、…都是微小的變量，可看成是相應(yīng)的真誤差△Z、M1、M2、…，因此上式就相當(dāng)于真誤差關(guān)系式，系數(shù)e均為常數(shù)。dxi求出中誤差關(guān)系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，系數(shù)也平方，即可直接寫出中V

mn2V

mn29Idf

m2+…+12[dx,n按上述方法可導(dǎo)出幾種常用的簡單函數(shù)中誤差的公式如表5-2所列,計(jì)算時(shí)可直接應(yīng)用。表5-2常用函數(shù)的中誤差公式函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)z=kx和差函數(shù)z=x1±x2±?—±xnm=kmm=±寸m,+m22++m2若m1=m2=?—=m日寸m^=m^n

線性函數(shù)z=kx±kx±…土kx1122nnJm=±Yk2m2+k2m2++k2m2z1122nn二、應(yīng)用舉例誤差傳播定律在測繪領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，利用它不僅可以求得觀測值函數(shù)的中誤差，而且還可以研究確定容許誤差值。下面舉例說明其應(yīng)用方法?！纠?-2】在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點(diǎn)的長度為d=23.4mm，其中誤差m疽±0.2mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離D及其中誤差mD。解：函數(shù)關(guān)系式為D=Md，屬倍數(shù)函數(shù)，M=500是地形圖比例尺分母。D=Md=500x23.4=11700mm=11.7mmD=Mm’=500x(±0.2)=±100mm=±0.1m兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為11.7m±0.1m。【例5-3】水準(zhǔn)測量中，已知后視讀數(shù)a=1.734m，前視讀數(shù)片0.476m，中誤差分別為m廣±0.002m，m廣±0.003m，試求兩點(diǎn)的高差及其中誤差?！敖猓汉瘮?shù)關(guān)系式為h=a-b，屬和差函數(shù)，得h=a-b=1.734-0.476=1.258mmh=±Jm〃2+mb2=±』0.0022+0.0032=±0.004m兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為1.258m±0.004m?！纠?-4】在斜坡上丈量距離，其斜距為L=247.50m，中誤差m廣±0.05m，并測得傾斜角a=10°34'，其中誤差ma=±3'，求水平距離D及其中誤差mD。解：首先列出函數(shù)式D=Lcosa水平距離D=247.50xcos10°34'=243.303m這是一個(gè)非線性函數(shù)，所以對函數(shù)式進(jìn)行全微分，先求出各偏導(dǎo)值如下：3D——=cos10°34'=0.98303L3D--一=-L-sin10。34'=-247.50xsin10。34'=-45.38643a寫成中誤差形式mD=±+￥ma2mD=±+/=±「0.98302=±「0.98302x0.052+(-45.3864)2xpL]2"3438')=±0.06m故得D=243.30m±0.06m。【例5-5】圖根水準(zhǔn)測量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為m廣±2mm，假定視距平均長度為50m，若以3倍中誤差為容許誤差，試求在測段長度為Lkm的水準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測量往返測所得高差閉合差的容許值。解：已知每站觀測高差為：h=a-b則每站觀測高差的中誤差為：mh=\!2m,=±2《2mm因視距平均長度為50m,則每公里可觀測10個(gè)測站，L公里共觀測10L個(gè)測站，L公里高差之和為：￡h=?+h2+…+hi0LL公里高差和的中誤差為：m=y10Lm=±4t'5Lmm￡h往返高差的較差（即高差閉合差）為：fh=￡h往+￡h返高差閉合差的中誤差為：m=<2rn=4-A0Lmmf￡以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：f=3m=±12打0L*38亙mmh容fh在前面水準(zhǔn)測量的學(xué)習(xí)中，我們?nèi)?容=±40互（mm）作為閉合差的容許值是考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響（如外界環(huán)境的影響、儀器的i角誤差等）。三、注意事項(xiàng)應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（一）要正確列出函數(shù)式例：用長30m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為mz=+5mm，求全長D及其中誤差mD。全長D=101=10x30=300m，D=10l為倍乘函數(shù)。但實(shí)際上全長應(yīng)是10個(gè)尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為D=l]+12+...+110（為和差函數(shù)）。用和差函數(shù)式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為Im=t10m=±16mm°若按倍數(shù)函數(shù)式求全長中誤差，將得出mD=10mi=±50mm按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式則是錯(cuò)誤的。（二）在函數(shù)式中各個(gè)觀測值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)。如有函數(shù)式TOC\o"1-5"\h\zz=y1+2y2+1（a）y1=3x；y2=2x+2（b）若已知x的中誤差為mx，求Z的中誤差mz。若直接用公式計(jì)算，由（a）式得：mz=±tm2y1+4m2y2（C）而my1=3mx，my2=2mx將以上兩式代入怎）式得Im=±\''（3m）2+4（2m）2=5mx但上面所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的。因?yàn)閬V和y2都是x的函數(shù)，它們不是互相獨(dú)立的觀測值，因此在（a）式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差傳播定律。正確的做法是先把（b）式代入（a）式，再把同類項(xiàng)合并，然后用誤差傳播定律計(jì)算。z=3x+2（2x+2）+1=7x+5nm=7mzx第四節(jié)等精度直接觀測平差當(dāng)測定一個(gè)角度、一點(diǎn)高程或一段距離的值時(shí)，按理說觀測一次就可以獲得。但僅有一個(gè)觀測值，測的對錯(cuò)與否，精確與否，都無從知道。如果進(jìn)行多余觀測，就可以有效地解決上述問題，它可以提高觀測成果的質(zhì)量，也可以發(fā)現(xiàn)和消除錯(cuò)誤。重復(fù)觀測形成了多余觀測，也就產(chǎn)生了觀測值之間互不相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測值求出觀測值的最佳估值，同時(shí)對觀測質(zhì)量進(jìn)行評估，即是“測量平差”所研究的內(nèi)容。對一個(gè)未知量的直接觀測值進(jìn)行平差，稱為直接觀測平差。根據(jù)觀測條件，有等精度直接觀測平差和不等精度直接觀測平差。平差的結(jié)果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般稱這個(gè)最接近真值的估值為“最或然值”，或“最可靠值”，有時(shí)也稱“最或是值”，一般用X表示。本節(jié)將討論如何求等精度直接觀測值的最或然值及其精度的評定。一、等精度直接觀測值的最或然值等精度直接觀測值的最或然值即是各觀測值的算術(shù)平均值。用誤差理論證明如下：設(shè)對某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測，其觀測值分別為L1、L2、???Ln，該量的真值設(shè)為X，各觀測值的真誤差為、、???、'，則△廣L廠X（i=1，2，…，〃），"將各式取和再除以次數(shù)〃，得"nn即囚=[A]+*nn根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性有l(wèi)im四=Xnsn所以lim回=0n—3n由此可見，當(dāng)觀測次數(shù)n趨近于無窮大時(shí)，算術(shù)平均值就趨向于未知量的真值。當(dāng)n為有限值時(shí)，算術(shù)平均值最接近于真值，因此在實(shí)際測量工作中，將算術(shù)平均值作為觀測的最后結(jié)果，增加觀測次數(shù)則可提高觀測結(jié)果的精度。二、評定精度（一）觀測值的中誤差1.由真誤差來計(jì)算當(dāng)觀測量的真值已知時(shí)，可根據(jù)中誤差的定義即兩m=±n由觀測值的真誤差來計(jì)算其中誤差。2.由改正數(shù)來計(jì)算在實(shí)際工作中，觀測量的真值除少數(shù)情況外一般是不易求得的。因此在多數(shù)情況下，我們只能按觀測值的最或然值來求觀測值的中誤差。（1）改正數(shù)及其特征最或然值x與各觀測值烏.之差稱為觀測值的改正數(shù)，其表達(dá)式為V.=x一L.（i=1,2,…，n）（5-11）在等精度直接觀測中，最或然值x即是各觀測值的算術(shù)平均值。即[L]x=n顯然[V]=￡（x-L）=nx-[L]=0（5-12）ii=1上式是改正數(shù)的一個(gè)重要特征，在檢核計(jì)算中有用。（2）公式推導(dǎo)已知△.=L,-X，將此式與式（5-8）相加，得V.+△.=x—X（a）令x—X=5，貝△.=-V.+5（b）對上面各式兩端取平方，再求和'[△△]=[VV]-25[V]+n52由于[v]=0,故（c）[△△]=[vv]+n52TOC\o"1-5"\h\zxy[L]v[L-X][△]5=x—X=—X==，nnn52=—=——(△2+△2+△2+2A△+2A△++2A△)n2n212n1223n-1n，（c）[△△I+2號-+△2△3+…+氣號n2n2根據(jù)偶然誤