【班海精品課件】冀教版（新）八下-22.4 矩形 第一課時

22.4矩形第1課時一鍵發(fā)布配套作業(yè)&AI智能精細(xì)批改（任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇章節(jié)）目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.ABCD四邊形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBD?ABCDAC平行四邊形的性質(zhì)：邊平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相等；角平行四邊形的對角相等；平行四邊形的鄰角互補；對角線平行四邊形的對角線互相平分；班?！蠋熤腔劢虒W(xué)好幫手班海，老師們都在免費用的數(shù)學(xué)作業(yè)精細(xì)批改微信小程序！感謝您下載使用【班?！拷虒W(xué)資源！為什么他們都在用班海？一鍵發(fā)布作業(yè)，系統(tǒng)自動精細(xì)批改（錯在哪？為何錯？怎么改？），從此告別批改作業(yè)難幫助學(xué)生查漏補缺，培養(yǎng)規(guī)范答題好習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)解題能力快速查看作業(yè)批改詳情，全班學(xué)習(xí)情況盡在掌握多個班級可自由切換管理，學(xué)生再多也能輕松當(dāng)老師無需下載，不占內(nèi)存，操作便捷，永久免費！掃碼一鍵發(fā)布數(shù)學(xué)作業(yè)AI智能精細(xì)批改(任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇題目)情景導(dǎo)入我們已經(jīng)知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質(zhì)外，還有它的特殊性質(zhì)，同樣對于平行四邊形來說有特殊情況即特殊的平行四邊形，也，這堂課我們就來研究一種恃殊的平行四邊形——矩形.一個角是直角兩組對邊分別平行平行四邊形矩形新課精講探索新知知識點矩形及其對稱性1.如圖，剪出一個矩形紙片ABCD，點O是這個矩形的中心.請你用折疊的方法，驗證它是軸對稱圖形.

矩形有幾條對稱軸.它們都經(jīng)過矩形的中心嗎？1探索新知2.四邊形具有不穩(wěn)定性，即當(dāng)一個四邊形的四條邊長

保持不變時，它的形狀卻是可以改變的.如圖，使

一個平行四邊形保持四條邊長不變，而將一個內(nèi)角α由鈍角先變成直角，再變成銳角.探索新知在這個過程中：(1)這個四邊形總是平行四邊形嗎？(2)當(dāng)α=90°時，其余三個內(nèi)角各是多少度的角？(3)當(dāng)α=90°時，兩條對角線的長有什么關(guān)系？探索新知歸納矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.探索新知例1如圖，直線EF過矩形ABCD對角線的交點O，分別交AB、CD于點E、F，若AB＝3，BC＝4，那么陰影部分的面積為________．導(dǎo)引：由題意易得到△OEB≌△OFD，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形的面積進(jìn)行計算．3探索新知方法一：∵四邊形ABCD是矩形，∴由矩形中心對稱的性質(zhì)知S△EBO＝S△FDO，∴陰影部分的面積為矩形面積的.∴S陰影部分＝S△ABO＝×3×4＝3.方法二：在矩形ABCD中，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO.在△OEB與△OFD中，∴△OEB≌△OFD.∴S陰影部分＝S△ABO＝

S矩形ABCD＝×3×4＝3.探索新知總

結(jié)

矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，根據(jù)對稱性將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形的面積求解．體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．典題精講下列說法不正確的是(

)A．矩形是平行四邊形B．矩形不一定是平行四邊形C．有一個角是直角的平行四邊形是矩形D．矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形1B典題精講在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，連接AC，BD，當(dāng)?ABCD的面積最大時，下列結(jié)論正確的有(

)①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④2B探索新知2知識點矩形的邊角性質(zhì)因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì).由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？思考探索新知(1)取一張矩形的紙片，分別沿它的兩組對邊的中點所在

的直線折疊，你發(fā)現(xiàn)矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它

有幾條對稱軸？(2)利用矩形的軸對稱性質(zhì)，由矩形的一個角是直角，你

發(fā)現(xiàn)矩形的另外三個角有什么性質(zhì)？證明你的結(jié)論．探索新知歸納矩形的四個角都是直角.探索新知例2如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，

∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO的度數(shù)．由∠DAE與∠BAE之和為矩形的一個內(nèi)角及兩角之比即可求出∠DAE和∠BAE的度數(shù)，從而得出∠ABE的度數(shù)，由矩形的性質(zhì)易得∠BAO＝∠ABE，即可求出∠BAO的度數(shù)，再由∠EAO＝∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度數(shù)．導(dǎo)引：探索新知∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝

AC，BO＝

BD，AC＝BD.∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.解：探索新知總

結(jié)

矩形的每條對角線把矩形分成兩個直角三角形，矩形的兩條對角線將矩形分成四個等腰三角形，因此有關(guān)矩形的計算問題經(jīng)常通過轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中來解決．典題精講1已知：如圖，E為矩形ABCD的邊AD的中點，連接BE，CE.求證：△EBC是等腰三角形.在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，∵E為AD的中點，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE.∴EB＝EC，∴△EBC是等腰三角形．解：典題精講如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，對角線AC與BD相交于點O，EF經(jīng)過點O且分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為________．23典題精講如圖，點E是矩形ABCD的邊AD延長線上的一點，且AD＝DE，連接BE交CD于點O，連接AO，下列結(jié)論中不正確的是(

)A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOC3A典題精講如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，OM∥AB交AD于點M，若OM＝3，BC＝10，則OB的長為(

)A．5B．4C.D.4D典題精講如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，把紙片沿直線AC折疊，點B落在E處，AE交DC于點O.若AO＝5cm，則AB的長為(

)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm5C探索新知3知識點矩形的對角線性質(zhì)任意畫一個矩形，作出它的兩條對角線，并比較它們的長．你有什么發(fā)現(xiàn)?已知：如圖所示，四邊形ABCD是矩形．求證：AC=DB．ABCDO探索新知證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性質(zhì)定理1)．∵AB=CD(平行四邊形的對邊相等)，BC=CB．∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．于是，就得到矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等.探索新知歸納矩形的對角線相等.∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=BO=OD.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴∠AOB是等邊三角形.∴AO=BO=AB=4cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),即矩形ABCD對角線的長為8cm.探索新知例4如圖，矩形ABCD兩條對角線相交于點O，∠AOD=120°，AB=4cm.求矩形對角線的長.解：ABCDO探索新知總

結(jié)

因為矩形的對角線相等且互相平分，所以矩形的對角線將矩形分成了四個等腰三角形，再由特殊角可得到特殊的三角形——等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可求解．典題精講矩形具有而一般平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是__________________________________________________________________________.1①矩形的四個內(nèi)角都是直角；②矩形的兩條對角線相等典題精講如圖，四邊形ABCD為矩形，指出圖中相等的線段和角.2相等的線段：AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD.相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD，∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB.解：ABCDO典題精講已知矩形ABCD的邊AB=4，BC=5.求對角線AC的長.3如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°.∴AC＝解：ABCD典題精講如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點，EF丄CE，交AB于點F，DE=2.矩影的周長為16，且CE=EF.求AE的長.4典題精講在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD，設(shè)AE＝x，則CD＝x，AD＝x＋2.∵矩形的周長為16，∴2(x＋x＋2)＝16.解得x＝3.即AE＝3.解：在矩形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，因為AB∥CE，BE∥AC，所以四邊形ABEC是平行四邊形．所以AC＝BE，又因為AC＝BD，所以BD＝BE.典題精講已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點B作BE∥AC，交DC的延長線于點E.求證：BD=BE.5證明：連接PO，在矩形ABCD中，AC＝BD＝

＝5.OA＝OD＝

AC＝

BD＝.S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝

OA·PE＋

OD·PF＝OA·(PE＋PF)＝

S△ADC＝×AD·DC＝3.故PE＋PF＝.典題精講已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P為AD上一點，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn).求PE+PF的值.6解：典題精講如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為CD的中點，連接AE并延長，交BC的延長線于點F，連接DF.求DF的長.7典題精講連接AC，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠DCF＝90°，因為E為CD的中點，所以DE＝CE.因為AD∥CF，所以∠DAE＝∠CFE.在△ADE和△FCE中，所以△ADE≌△FCE，所以CF＝AD，又因為AD＝BC，所以BC＝CF，又因為DC⊥BF，所以DF＝BD＝＝5.解：典題精講如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，則AB的長是(

)A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm8A典題精講9如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝

DE＝2，則四邊形OCED的面積為(

)A．2B．4C．4D．8A易錯提醒矩形一個角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個矩形的面積為

．4cm2或12cm2易錯點：對題意理解不透徹導(dǎo)致漏解.學(xué)以致用小試牛刀在探索“尺規(guī)三等分角”這個數(shù)學(xué)名題的過程中，曾利用了如圖所示的圖形．該圖中，四邊形ABCD是矩形，E是BA延長線上一點，F(xiàn)是CE上一點，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，則∠ECD的度數(shù)是(

)A．7°B．21°C．23°D．24°1C小試牛刀如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB，BC的長分別是6和8，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是(

)

A．4.8B．5C．6D．7.2A2小試牛刀3在矩形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，CE、AF分別交BD于G、H兩點．求證：(1)四邊形AFCE是平行四邊形；(2)EG＝FH.小試牛刀(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵E、F分別是AD、BC的中點，∴AE＝

AD，CF＝

BC.∴AE＝CF.∴四邊形AFCE是平行四邊形．證明：小試牛刀(2)∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴CE∥AF.∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF.∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.∵DE＝

AD，BF＝

BC，AD＝BC，∴DE＝BF.

在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH(AAS)．∴EG＝FH.小試牛刀4如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，BE＝DF.(1)求證：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面積．小試牛刀(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.∵BE＝DF，∴OE＝OF.

在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(SAS)．∴AE＝CF.證明：小試牛刀(2)∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB.∵∠AOB＝∠COD＝60°.∴△AOB是等邊三角形．∴OA＝AB＝6.∴AC＝2OA＝12.

在Rt△ABC中，BC＝

＝6，∴矩形ABCD的面積為AB·BC＝6×6＝36.解：小試牛刀5數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等(如圖所示)”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證．(以上材料來源于《古證復(fù)原的原理》、《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徵》)小試牛刀請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程．證明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋________)．易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMFS△AEFS△FMCS△ANF