2020高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) .1.1.1 函數(shù)的概念練習(xí)（含解析）第一冊(cè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時(shí)函數(shù)的概念最新課程標(biāo)準(zhǔn)：在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上,用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用。了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域．知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念1．函數(shù)的概念一般地,給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A與B，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f，如果對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B（集合B一般默認(rèn)為實(shí)數(shù)集R，因此常常略去不寫．）中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y＝f(x）與x對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù),記作y＝f(x),x∈A。2．函數(shù)的定義域和值域函數(shù)y＝f（x）中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數(shù)集A）稱為這個(gè)函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集合{y∈B｜y＝f(x），x∈A｝稱為函數(shù)的值域．eq\x（狀元隨筆)對(duì)函數(shù)概念的3點(diǎn)說(shuō)明(1)當(dāng)A,B為非空實(shí)數(shù)集時(shí),符號(hào)“f:A→B”表示A到B的一個(gè)函數(shù)．(2）集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性．(3）符號(hào)“f”表示對(duì)應(yīng)關(guān)系,在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣．知識(shí)點(diǎn)二同一函數(shù)一般地，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同（即對(duì)自變量的每一個(gè)值，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個(gè)函數(shù)就是同一個(gè)函數(shù)．［基礎(chǔ)自測(cè)]1．下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是（）A．A＝｛－1,0，1｝，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方B．A＝{0，1},B＝{－1,0，1}，f：A中的數(shù)開(kāi)方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D．A＝｛平行四邊形}，B＝R，f:求A中平行四邊形的面積解析：對(duì)B，集合A中的元素1對(duì)應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)的定義；對(duì)C，集合A中的元素0取倒數(shù)沒(méi)有意義,在集合B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義；對(duì)D，A集合不是數(shù)集,故不符合函數(shù)的定義．綜上，選A.答案:A2．函數(shù)f(x）＝eq\f(\r(x－1）,x－2)的定義域?yàn)椋ǎ〢．(1，＋∞）B．［1，＋∞)C．[1,2）D．[1，2）∪（2，＋∞）解析:使函數(shù)f（x）＝eq\f(\r（x－1)，x－2)有意義，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－1≥0，，x－2≠0，))即x≥1，且x≠2.所以函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x≥1且x≠2｝．故選D.答案：D3．下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是(）A．y＝eq\f（x2－9，x－3）與y＝x＋3B．y＝eq\r(x2）－1與y＝x－1C．y＝x0（x≠0)與y＝1(x≠0)D．y＝x＋1,x∈Z與y＝x－1，x∈Z解析：A中兩函數(shù)定義域不同;B中兩函數(shù)值域不同；D中兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則不同．答案：C4．若函數(shù)f(x)＝eq\r（x）＋eq\f（6，x－1），求f(4)＝________.解析:f(4)＝eq\r（4）＋eq\f（6，4－1）＝2＋2＝4.答案：4題型一函數(shù)的定義［經(jīng)典例題]例1根據(jù)函數(shù)的定義判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為從集合A到集合B的函數(shù):(1)A＝｛1，2,3}，B＝｛7,8,9}，f（1)＝f(2)＝7，f（3)＝8；（2）A＝{1,2,3}，B＝｛4，5,6},對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示;(3）A＝R，B＝｛y|y>0}，f：x→y＝|x｜；(4)A＝Z，B＝｛－1，1}，n為奇數(shù)時(shí)，f(n)＝－1，n為偶數(shù)時(shí)，f（n)＝1?！窘馕觥繉?duì)于集合A中的任意一個(gè)值，在集合B中都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，因此（1）(4）中對(duì)應(yīng)關(guān)系f是從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．（2）集合A中的元素3在集合B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，且集合A中的元素2在集合B中有兩個(gè)元素（5和6)與之對(duì)應(yīng)，故所給對(duì)應(yīng)關(guān)系不是集合A到集合B的函數(shù)．（3）A中的元素0在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，故所給對(duì)應(yīng)關(guān)系不是集合A到集合B的函數(shù).1.從本題（1)可以看出函數(shù)f（x)的定義域是非空數(shù)集A，但值域不一定是非空數(shù)集B，也可以是集合B的子集．2．判斷從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)，一定要以函數(shù)的概念為準(zhǔn)則，另外也要看A中的元素是否有意義,同時(shí),一定要注意對(duì)特殊值的分析．方法歸納(1)判斷一個(gè)集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系的方法:①A,B必須都是非空數(shù)集;②A中任意一個(gè)數(shù)在B中必須有并且是唯一的實(shí)數(shù)和它對(duì)應(yīng)．［注意］A中元素?zé)o剩余，B中元素允許有剩余．(2)函數(shù)的定義中“任意一個(gè)x”與“有唯一確定的y”說(shuō)明函數(shù)中兩變量x，y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或者是“多對(duì)一"，而不能是“一對(duì)多”．跟蹤訓(xùn)練1（1)設(shè)M＝｛x｜0≤x≤2｝，N＝{y｜0≤y≤2},給出下列四個(gè)圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)（2）下列對(duì)應(yīng)是否是函數(shù)？①x→eq\f（3,x)，x≠0，x∈R；②x→y,其中y2＝x,x∈R,y∈R.解析：（1）圖號(hào)正誤原因①×x＝2時(shí),在N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng),不滿足任意性②√同時(shí)滿足任意性與唯一性③×x＝2時(shí)，對(duì)應(yīng)元素y＝3?N，不滿足任意性④×x＝1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),不滿足唯一性（2)①是函數(shù)．因?yàn)槿稳∫粋€(gè)非零實(shí)數(shù)x，都有唯一確定的eq\f(3，x)與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)定義．②不是函數(shù)．當(dāng)x＝1時(shí),y＝±1,即一個(gè)非零自然數(shù)x，對(duì)應(yīng)兩個(gè)y的值,不符合函數(shù)的概念．答案：（1）B(2）①是函數(shù)②不是函數(shù)1①x∈[0，1]取不到[1，2］。③y∈［0，3]超出了N∈［0，2］范圍.④可取一個(gè)x值，y有2個(gè)對(duì)應(yīng)，不符合題意.(2)關(guān)鍵是否符合函數(shù)定義．題型二求函數(shù)的定義域［教材P83例1]例2求下列函數(shù)的定義域：（1)f（x)＝eq\f（1，\r（x＋1)）；（2)g（x）＝eq\f（1,x)＋eq\f(1，x＋2).【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)有意義當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1≥0,，\r(x＋1)≠0，))解得x>－1，所以函數(shù)的定義域?yàn)?－1，＋∞)．（2）因?yàn)楹瘮?shù)有意義當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠0,，x＋2≠0，))解得x≠0且x≠－2，因此函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?，?)∪（－2,0)∪(0，＋∞).教材反思求函數(shù)的定義域（1)要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：①分式的分母不為0；②偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；③y＝x0要求x≠0.（2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí),定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合．（3)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示,若用區(qū)間表示數(shù)集,不能用“或”連接,而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接．跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的定義域:(1）f(x)＝eq\f(6,x2－3x＋2)；(2）f(x）＝eq\f（x＋10，\r（|x｜－x）)；（3）f(x）＝eq\r(2x＋3）－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x).解析：(1)要使函數(shù)有意義，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2,故函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x≠1且x≠2｝．(2）要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，，|x|－x〉0，）)解得x〈0且x≠－1。所以定義域?yàn)椋ǎ?，?）∪（－1，0)．(3)要使函數(shù)有意義,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋3≥0，，2－x>0,,x≠0，））解得－eq\f(3，2)≤x<2，且x≠0.故定義域?yàn)閑q\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3，2），0)）∪(0,2)．（1)分母不為0(2）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（偶次根式被開(kāi)方數(shù)≥0，x＋10底數(shù)不為0）)(3）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（偶次根式被開(kāi)方數(shù)≥0，分母不為0)）題型三同一函數(shù)[教材P66例3］例3下面各組函數(shù)中為相同函數(shù)的是(）A．f(x）＝eq\r（x－12），g(x)＝x－1B．f（x)＝eq\r（x2－1)，g(x）＝eq\r(x＋1）·eq\r(x－1)C．f（x）＝x,g(x)＝eq\f（x2，x）D．f（x)＝x0與g（x)＝eq\f（1，x0)【解析】函數(shù)的三要素相同的函數(shù)為相同函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A，f(x)＝|x－1|與g（x）對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,故排除選項(xiàng)A,選項(xiàng)B、C中兩函數(shù)的定義域不同，排除選項(xiàng)B、C，故選D?！敬鸢浮緿方法歸納判斷同一函數(shù)的三個(gè)步驟和兩個(gè)注意點(diǎn)（1）判斷同一函數(shù)的三個(gè)步驟（2）兩個(gè)注意點(diǎn)：①在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形；②與用哪個(gè)字母表示無(wú)關(guān)．跟蹤訓(xùn)練3試判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)．（1)f(x）＝eq\f(x2－x,x),g(x）＝x－1；（2)f（x)＝eq\f(\r（x),x），g(x)＝eq\f(x，\r（x)）；(3)f(x)＝x2,g（x）＝(x＋1）2；（4)f(x)＝｜x｜,g(x)＝eq\r（x2）.解析：序號(hào)是否相同原因（1）不同定義域不同,f(x）的定義域?yàn)閧x|x≠0｝,g（x)的定義域?yàn)镽（2）不同對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，f（x)＝eq\f(1,\r（x)），g(x)＝eq\r(x)(3)不同定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同（4)相同定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，要看三要素是否對(duì)應(yīng)相同．函數(shù)的值域可由定義域及對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)確定,因而只要判斷定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否對(duì)應(yīng)相同即可．題型四求函數(shù)的值域［經(jīng)典例題］例4求下列函數(shù)的值域．(1)y＝3－4x，x∈（－1，3]．(2）y＝eq\f（2x，x＋1)。（3）y＝x2－4x＋5，x∈｛1,2,3}．（4)y＝x2－4x＋5?！窘馕觥浚?)因?yàn)椋?<x≤3,所以－12≤－4x<4,所以－9≤3－4x〈7，所以函數(shù)y＝3－4x,x∈（－1,3]的值域是［－9，7)．(2)因?yàn)閥＝eq\f（2x，x＋1）＝eq\f(2x＋1－2，x＋1)＝2－eq\f（2,x＋1）≠2，所以函數(shù)y＝eq\f(2x,x＋1)的值域?yàn)椋鹹｜y∈R且y≠2｝．（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2，3｝，當(dāng)x＝1時(shí),y＝12－4×1＋5＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝22－4×2＋5＝1，當(dāng)x＝3時(shí),y＝32－4×3＋5＝2，所以這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)閧1,2｝，（4)因?yàn)閥＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1,x∈R時(shí)，（x－2）2＋1≥1，所以這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)椋?，＋∞）．eq\x(狀元隨筆）（1)用不等式的性質(zhì)先由x∈（－1，3]求－4x的取值范圍，再求3－4x的取值范圍即為所求．（2)先分離常數(shù)將函數(shù)解析式變形,再求值域．(3)將自變量x＝1,2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根據(jù)任意實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)求值域。方法歸納求函數(shù)值域的常用方法(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù),其值域可通過(guò)觀察法得到．（2)配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法．（3)換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對(duì)于f(x）＝ax＋b＋eq\r（cx＋d)(其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac≠0）型的函數(shù)常用換元法．(4）分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．跟蹤訓(xùn)練4求下列函數(shù)的值域:（1）y＝2x＋1，x∈｛1，2,3，4,5}；(2)y＝eq\r(x)＋1;(3）y＝eq\f(1－x2,1＋x2）;(4）y＝－x2－2x＋3（－5≤x≤－2）．解析：（1)將x＝1，2，3，4，5分別代入y＝2x＋1，計(jì)算得函數(shù)的值域?yàn)椋?，5,7，9,11｝．(2）因?yàn)閑q\r(x)≥0，所以eq\r(x）＋1≥1，即所求函數(shù)的值域?yàn)椋?，＋∞）．(3）因?yàn)閥＝eq\f（1－x2，1＋x2)＝－1＋eq\f(2,1＋x2）,所以函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閤2＋1≥1，所以0<eq\f（2,1＋x2)≤2.所以y∈（－1,1］．所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?，1］．(4）y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4.因?yàn)椋?≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1。所以1≤（x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋郏?2，3］．（3）先分離再求值域（4）配方法求值域課時(shí)作業(yè)15一、選擇題1．下列各個(gè)圖形中，不可能是函數(shù)y＝f（x)的圖像的是（）解析：對(duì)于1個(gè)x有無(wú)數(shù)個(gè)y與其對(duì)應(yīng),故不是y的函數(shù)．答案：A2．函數(shù)f(x）＝eq\r(x＋3)＋eq\f（2x＋30,\r（3－2x)）的定義域是（)A.eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（－3，\f(3，2））)B。eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（－3，－\f（3，2）））∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3，2)))C.eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（－3，\f（3，2）)）D。eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3，2)）)解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3≥0，,3－2x>0，，2x＋3≠0，)）解得－3≤x<eq\f（3，2）且x≠－eq\f（3,2），故選B.答案:B3．已知函數(shù)f（x）＝－1，則f(2）的值為(）A．－2B．－1C．0D．不確定解析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x)＝－1，所以不論x取何值其函數(shù)值都等于－1，故f(2)＝－1.故選B.答案：B4．下列各組函數(shù)表示相等函數(shù)的是（)A．f（x)＝x－2,g（x)＝eq\f（x2－4，x＋2）B．f(x)＝eq\f（｜x｜，x)，g(x)＝1C．f（x）＝x2－2x－1,g(t)＝t2－2t－1D．f（x)＝eq\f（1，2)，g（x)＝eq\f（x－10,2)解析:選項(xiàng)A中f(x）的定義域?yàn)镽，g（x)的定義域?yàn)閧x|x≠－2}，故定義域不同,因此不是相等函數(shù)；選項(xiàng)B中f(x)的定義域?yàn)椋鹸|x≠0｝，g(x)的定義域?yàn)镽，故定義域不同，因此不是相等函數(shù)；選項(xiàng)D中f(x）的定義域?yàn)镽，g(x）的定義域?yàn)椋鹸|x≠1｝，定義域不同，因此不是相等函數(shù)；而C只是表示變量的字母不一樣，表示的函數(shù)是相等的．答案：C二、填空題5．已知函數(shù)f(x）＝eq\f（6，x2－1)，求f（2）＝________。解析：f(2)＝eq\f（6,4－1)＝2.答案：26．函數(shù)f（x）的圖像如圖所示,則f(x）的定義域?yàn)開(kāi)_______，值域?yàn)開(kāi)_______．解析：由f(x）的圖像可知－5≤x≤5,－2≤y≤3.答案：［－5，5］[－2,3]7．若A＝{x|y＝eq\r(x＋1)｝,B＝{y|y＝x2＋1}，則A∩B＝________.解析：由A＝｛x｜y＝eq\r(x＋1）｝,B＝｛y|y＝x2＋1}，得A＝［－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)三、解答題8．(1)求下列函數(shù)的定義域:①y＝eq\r（4－x）；②y＝eq\f(1,｜x｜－x)；③y＝eq\r(5－x)＋eq\r（x－1)－eq\f（1，x2－9)；（2）將長(zhǎng)為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長(zhǎng)x的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．解析:（1）①4－x≥0，即x≤4，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤4｝．②分母|x｜－x≠0,即|x｜≠x,所以x<0。故函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x<0}．③解不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（5－x≥0，，x－1≥0，，x2－9≠0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5，，x≥1，，x≠±3。))故函數(shù)的定義域是{x｜1≤x≤5，且x≠3｝．(2)設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為x，則另一邊