二次量子化簡(jiǎn)介

1第五章二次量子化方法

主要內(nèi)容§5.1全同粒子系的量子態(tài)的描述§5.2Bose子體系的單體和二體算符的表達(dá)式§5.3Fermi子體系的單體和二體算符的表達(dá)式§5.4坐標(biāo)表象與二次量子化§5.5Hartree-Fock自洽場(chǎng)獨(dú)立粒子模型2

給這些算符找一些作用對(duì)象，用來(lái)描述系統(tǒng)的量子狀態(tài)。一次量子化：是由經(jīng)典力學(xué)過(guò)渡到量子力學(xué)采用的方法。把經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的正則坐標(biāo)何謂二次量子化方法和正則動(dòng)量用算符表示：，使它們滿足一定的對(duì)易關(guān)系：[，]=

二次量子化方法：是從單粒子的量子理論出發(fā)，通過(guò)類似的方法建立全同粒子系統(tǒng)的量子化方法。用產(chǎn)生和湮滅算符來(lái)表示力學(xué)量的算符和波函數(shù)，稱之為二次量子化方法。3

何謂全同粒子？

各種微觀粒子有一定屬性，具有一定質(zhì)量、電荷、自旋…人們根據(jù)它們的屬性不同分別稱為電子，質(zhì)子，介子，等等。實(shí)驗(yàn)證明，每一種粒子，都是完全相同的（如兩個(gè)氫原子中的質(zhì)子或電子都一樣）。質(zhì)量、電荷、自旋等所有內(nèi)稟屬性都相同的粒子叫做全同粒子。例如：所有的電子都是全同粒子，所有的質(zhì)子也是全同粒子，但質(zhì)子和電子不是全同粒子。既然全同粒子的內(nèi)稟固有屬性都相同，它們之間完全不可區(qū)分，對(duì)粒子就不能進(jìn)行編號(hào)。這和經(jīng)典力學(xué)不同。4

經(jīng)典物理學(xué)中，我們習(xí)慣稱這是電子1，那是電子2……，它們?cè)谕饬ψ饔孟拢醋约旱能壍肋\(yùn)動(dòng)，我們?cè)谌魏螘r(shí)刻都能跟蹤它，我們不會(huì)誤認(rèn)電子1為電子2，即可以按軌道來(lái)區(qū)分不同的粒子。

但從量子力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，情況就發(fā)生變化。

它不能或根據(jù)一些力學(xué)量完全集來(lái)描述個(gè)粒子處于態(tài)；個(gè)粒子處于但它不可能告訴你，哪一個(gè)粒子處于

繪粒子所處狀態(tài)。即用軌道的概念來(lái)描述，而只能用波函數(shù)來(lái)描述。根據(jù)波函數(shù)來(lái)描述出現(xiàn)在

的體積之中幾率大小態(tài)……。一個(gè)粒子處于

態(tài)，那態(tài)，等等。5注意：全同性原理只是說(shuō)全同粒子不可區(qū)分，不可編號(hào)，但并不是說(shuō)它們的量子態(tài)不可區(qū)分。例如：氫原子中電子的波函數(shù)用表示，

的不同取值，就標(biāo)志了電子處在不同的量子態(tài)。四個(gè)量子數(shù)坐標(biāo)，動(dòng)量等來(lái)描述。應(yīng)該將多粒子體系的問(wèn)題由全同性原理的最根本意義在于：應(yīng)該用處于某一個(gè)量子態(tài)的粒子的數(shù)目來(lái)描寫(xiě)體系的狀態(tài)，而不是用它的原來(lái)的表象（例如：坐標(biāo)表象，動(dòng)量表象等）經(jīng)過(guò)表象變換后，換到粒子數(shù)表象中進(jìn)行討論。6何謂粒子數(shù)表象？

粒子數(shù)表象用第一個(gè)量子態(tài)中有n1個(gè)粒子，第二個(gè)稱為二次量子化方法。量子態(tài)中有n2個(gè)粒子……來(lái)表征。只能說(shuō)某一個(gè)量子態(tài)中有幾個(gè)粒子,但不能明確指明是那幾個(gè)粒子。這種用粒子數(shù)表象來(lái)

討論全同粒子系統(tǒng)的方法，7

粒子都有一定的壽命，都有生和死。因此可以用產(chǎn)生

引入粒子數(shù)表象的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在于：

它能描述粒子的產(chǎn)生和湮滅。在微觀世界中，絕大部分

算符和湮滅算符來(lái)處理全同粒子系統(tǒng)。85－1全同粒子系的量子態(tài)的描述.粒子數(shù)表象對(duì)于由全同粒子組成的體系，由于粒子的不可分辨性，

全同粒子的波函數(shù)只能取對(duì)稱的或反對(duì)稱的。用對(duì)稱波函數(shù)描述的全同粒子體系

：玻色子體系（Bose）,

自旋量子數(shù)是的整數(shù)倍（光子，介子……），遵守Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì).9用反對(duì)稱波函數(shù)費(fèi)米子體系（Fermi）,自旋量子數(shù)是（電子，質(zhì)子，中子……），遵守Bose-Einstain統(tǒng)計(jì).

描述的全同粒子體系：的半整數(shù)倍引進(jìn)一個(gè)置換算符：舉例：有N個(gè)全同粒子體系的波函數(shù)＝

10顯然：，的本征值若＝

＝

則―對(duì)稱波函數(shù)（當(dāng)兩粒子交換，波函數(shù)不變，即處于對(duì)稱態(tài)）＝11＝＝則―反對(duì)稱波函數(shù)即處于反對(duì)稱態(tài)）（當(dāng)兩粒子交換，波函數(shù)反號(hào)，若，則：12如何構(gòu)造，？以N=2,N=3為例：N=2有2個(gè)量子態(tài)：對(duì)稱波函數(shù)：反對(duì)稱波函數(shù)：13N=3有6個(gè)量子態(tài)：對(duì)稱波函數(shù)：反對(duì)稱波函數(shù)：14若忽略N個(gè)粒子間的相互作用，則N個(gè)全同粒子的波函數(shù)為N個(gè)單粒子波函數(shù)的乘積。即：1.多粒子體系波函數(shù)的二次量子化表示對(duì)全同粒子的體系而言，N個(gè)粒子構(gòu)成的狀態(tài)可以有以下三種表示形式：其中qi表示第i個(gè)粒子的全部坐標(biāo)和自旋變量，j表示粒子的第j個(gè)單粒子狀態(tài)相應(yīng)的全部量子數(shù)，nk表示第k個(gè)單粒子態(tài)上的粒子數(shù)。151.多粒子體系波函數(shù)的二次量子化表示（1）組態(tài)空間的多粒子體系波函數(shù)表示組態(tài)空間中的N體波函數(shù)，它是有N個(gè)單粒子態(tài)構(gòu)成的，對(duì)費(fèi)米子而言它是反對(duì)稱的波函數(shù)，對(duì)玻色子來(lái)說(shuō)它是對(duì)稱波函數(shù)。161.多粒子體系波函數(shù)的二次量子化表示（2）?？丝臻g的多粒子體系波函數(shù)表示N個(gè)粒子占據(jù)了用量子數(shù)標(biāo)志的N個(gè)單粒子態(tài)，它并不考慮哪個(gè)單粒子態(tài)被哪一個(gè)粒子占據(jù)，顯然，這與全同粒子的不可區(qū)分性是一致的，稱是?？丝臻g的一個(gè)態(tài)矢。171.多粒子體系波函數(shù)的二次量子化表示（3）粒子數(shù)表象中的多粒子體系波函數(shù)也可表示N個(gè)粒子的狀態(tài)，具體來(lái)說(shuō)，就是在第k個(gè)單粒子態(tài)上有nk個(gè)粒子，稱為粒子數(shù)表象中的態(tài)矢。對(duì)N個(gè)粒子的體系而言：對(duì)于費(fèi)密子體系，nk＝0，1；對(duì)玻色子體系，nk可取不同的值。182.N個(gè)全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)N=2N=319推廣：在坐標(biāo)表象中，N個(gè)全同費(fèi)米子的歸一化的量子態(tài)：P－置換算符是置換P的奇偶性。斯萊特（slater）行列式20根據(jù)斯萊特（slater）行列式的性質(zhì)，可以看出：（1）交換任意兩個(gè)粒子的坐標(biāo)（于交換行列式的兩列元素，行列式將改變符號(hào)，是反對(duì)稱的。），相當(dāng)即（2）若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子的單粒子態(tài)相同，

例如：

則行列式中兩行元素相同，所以。

結(jié)論：對(duì)于全同費(fèi)米子體系，處于每個(gè)粒子態(tài)上的數(shù)目不能超過(guò)1，此即Pauli原理。213.N個(gè)全同玻色子體系的波函數(shù)對(duì)于N個(gè)全同玻色子體系，波函數(shù)對(duì)任何兩個(gè)粒子

的交換是對(duì)稱的。所以可以有多個(gè)粒子處于同一個(gè)單粒子態(tài)。單粒子態(tài)粒子數(shù)

歸一化系數(shù)P－處于不同單粒子態(tài)的粒子進(jìn)行置換22粒子數(shù)

歸一化的對(duì)稱波函數(shù)：歸一化系數(shù)P－處于不同單粒子態(tài)的粒子進(jìn)行置換因?yàn)閷?duì)全同粒子的編號(hào)是沒(méi)有意義的。所以利用坐標(biāo)表象來(lái)描述全同粒子的量子態(tài)是比較麻煩的。

只需要把處于每個(gè)單粒子態(tài)上的粒子個(gè)數(shù)交待清楚，則全同粒子的量子態(tài)可以完全確定。23（occupationparticlenumberrepresentation）所以為了避免對(duì)全同粒子進(jìn)行編號(hào)，可以脫離具體的表象，采用粒子數(shù)表象（粒子填布數(shù)表象）－占有數(shù)表象全同玻色子體系的量子態(tài)可用下列右矢表示：24全同玻色子體系的量子態(tài)可用下列右矢表示：全同費(fèi)米子體系，pauli原理要求或兩個(gè)以上的粒子處于同一個(gè)單粒子態(tài)。量子態(tài)的表示：

，即不可能有兩個(gè)（其余狀態(tài)上沒(méi)有粒子，不寫(xiě)）或：，

（只標(biāo)明了被粒子占據(jù)的單粒子態(tài)）25為了在粒子數(shù)表象中進(jìn)行各種計(jì)算，引進(jìn)粒子產(chǎn)生算符和消滅（湮沒(méi)）算符。二.產(chǎn)生算符和湮沒(méi)算符1.福克空間描述全同粒子狀態(tài)的波函數(shù)必須正確反映全同粒子的性質(zhì)。在組態(tài)空間中，為反映費(fèi)米子體系的屬性引入了斯萊特行列式，它既滿足泡利不相容原理又滿足多體波函數(shù)反對(duì)稱化的要求，但是當(dāng)體系的粒子數(shù)較多時(shí)，非常麻煩。福克空間的態(tài)矢與粒子數(shù)表象中的態(tài)矢同樣可以表示全同粒子體系的狀態(tài)。26二.產(chǎn)生算符和湮沒(méi)算符1.?？丝臻g假設(shè)|0>表示沒(méi)有粒子的狀態(tài)，稱為真空態(tài)，|1>表示一個(gè)粒子處于1的狀態(tài)，|1，2

>表示兩個(gè)粒子處于1，2的狀態(tài)，|1，2

，3

>表示三個(gè)粒子處于1，2，3的狀態(tài)，…|1，2

，…N

>表示N個(gè)粒子處于1，2，…N的狀態(tài).把由零矢量和上述態(tài)矢張成的空間稱為?？丝臻g。272.產(chǎn)生算符和湮沒(méi)算符哈密頓量：復(fù)習(xí)：一維諧振子的升降算符定義二個(gè)無(wú)量綱的算符:28則：

Hermit算子，聲子數(shù)算符設(shè)是H的本征態(tài)，本征值（n=0,1,2…）即：

也是的本征態(tài)。29利用代數(shù)關(guān)系：，可以證明：

升算符產(chǎn)生算符

降算符湮沒(méi)算符可以證明：利用升、降算符，可以得到真空態(tài)：

…

012…本征態(tài)和本征值：的全部本征態(tài)：本征值:…30所以歸一化的本征態(tài)可以表示為：

對(duì)于N維諧振子，可以分解為N個(gè)彼此獨(dú)立的一維諧振子。

對(duì)于不同的諧振子，相應(yīng)的產(chǎn)生算符和湮沒(méi)算符滿足：，

（i,j=1,2…N）N維諧振子的歸一化的本征態(tài)：31N維諧振子的歸一化的本征態(tài)：本征值32下面，利用以上理論形式給出全同Bose子體系在粒子數(shù)表象中的基矢。設(shè)－單粒子態(tài)

的粒子的產(chǎn)生和湮沒(méi)算符，在

單粒子態(tài)上有子體系的量子態(tài)為：（i=1,2…N）個(gè)Bose子，則全同Bose粒子數(shù)算符：33粒子數(shù)算符：，則：，本征值同理：共軛式：（17）（18）

非常重要??！34三.全同F(xiàn)ermiz體系的量子態(tài)描述生算符，全同F(xiàn)ermiz體系的量子態(tài)：對(duì)于全同F(xiàn)ermiz體系，波函數(shù)反對(duì)稱，根據(jù)Pauli原理，每一個(gè)單粒子態(tài)只允許一個(gè)粒子被占據(jù)。利用粒子的產(chǎn)

代表在單粒子態(tài)上的粒子的產(chǎn)生算符。35根據(jù)波函數(shù)的交換反對(duì)稱性，：即：或因?yàn)槭侨我獾?，所以不同粒子的產(chǎn)生算符和湮沒(méi)算符之間的一些對(duì)易關(guān)系：36Fermiz產(chǎn)生算符滿足的對(duì)易式，反對(duì)易的。湮沒(méi)算符滿足的反對(duì)易式：當(dāng)

Pauli原理37產(chǎn)生算符與湮沒(méi)算符的對(duì)易式：個(gè)粒子處于的物理意義：若量子態(tài)中有態(tài)，

則的作用是去掉一個(gè)粒子，變成

個(gè)粒子處于態(tài)，若，則若沒(méi)有粒子處于態(tài)，則對(duì)此態(tài)的作用為0。即：去掉這個(gè)粒子；的作用是，

038一般情況，有：利用：039

即：是任意的，即：40若，則：因?yàn)槭侨我獾模詿o(wú)論對(duì)什么態(tài)，的作用相當(dāng)于恒等算符，即41Fermiz產(chǎn)生和湮沒(méi)算符的代數(shù)性質(zhì)：

反對(duì)易式