期中測試卷02（人教A版2019）（選擇性必修第一冊第一章、第二章）（解析版）

期中測試卷02（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）測試范圍：選擇性必修第一冊RJ-A（2019）第一章、第二章一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.1．直線恒過一定點(diǎn)，則此定點(diǎn)為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】直線可變形為：，若該方程對任意都成立，則，即，直線恒過點(diǎn)，故選D。2．設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的()。A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，得：，是必要條件，而“”不一定有，也可能，故不是充分條件，故選B。3．設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，則，故選C。4．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵兩條直線與的距離為，∴所求圓的半徑為，由得，由得，∴直徑的兩個端點(diǎn)、，因此圓心坐標(biāo)，圓的方程為，故選B。5．在邊長為的等邊三角形中，于，沿折成二面角后，，此時二面角的大小為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】就是二面角的平面角，∵，∴，故選C。6．已知平面內(nèi)的角，射線與、所成角均為，則與平面所成角的余弦值是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由三余弦公式知，∴，故選D。7．在三棱錐中，平面，，，則該棱錐的外接球半徑為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知建立空間直角坐標(biāo)系，，，由平面知識得，設(shè)球心坐標(biāo)為，則，由空間兩點(diǎn)間距離公式知：，，，解得，，，∴半徑為，故選A。8．已知直線：，點(diǎn)，，若直線與線段相交，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】直線方程變形得：。由得，∴直線恒過點(diǎn)，，，由圖可知斜率的取值范圍為：或，又，∴或，即或，又時直線的方程為，仍與線段相交，∴的取值范圍為，故選C。二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且被兩條平行直線：和：截得的線段長為，則直線的方程為()。A、B、C、D、【答案】BC【解析】若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時與、的交點(diǎn)分別為，，截得的線段的長，符合題意，若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，解得，解得，由，得，解得，即所求的直線方程為，綜上可知，所求直線的方程為或，故選BC。10．已知，和直線：，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使，且點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)坐標(biāo)為()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點(diǎn)在直線上，∴，又點(diǎn)到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選BD。11．定義向量的外積：叫做向量與的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：(1)，，且、和構(gòu)成右手系(即三個向量兩兩垂直，且三個向量的方向依次與拇指、食指、中指的指向一致)；(2)的模(表示向量、的夾角)。如右圖所示，在正方體中，有以下四個結(jié)論中，不正確的有()。A、與方向相反B、C、與正方體表面積的數(shù)值相等D、與正方體體積的數(shù)值相等【答案】ABD【解析】對于A、根據(jù)向量外積的第一個性質(zhì)可知與的方向相同，故A錯，對于B、根據(jù)向量外積的第一個性質(zhì)可知與的方向相反，不可能相等，故B錯，對于C、根據(jù)向量外積的第二個性質(zhì)可知，則與正方體表面積的數(shù)值相等，故C對，對于D、與的方向相反，則，故D錯，故選ABD。12．如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是棱的中點(diǎn)，是的延長線與的延長線的交點(diǎn)。若點(diǎn)在直線上，則下列結(jié)論不正確的是()。A、當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，平面B、當(dāng)點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)時，平面C、在線段的延長線上，存在一點(diǎn)，使得平面D、不存在點(diǎn)，使與平面垂直【答案】ABC【解析】以為原點(diǎn)，、、為軸、軸、軸建系，由已知可得，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，則，設(shè)在直線上存在一點(diǎn)，使得平面，設(shè)則，且，，則，，，則，若平面，則與共線，則，此時無解，故不存在點(diǎn)，使得平面，故選ABC。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知是空間任一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且滿足，則?！敬鸢浮俊窘馕觥俊?，∴，∵是空間任一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，∴，∴。14．已知，方程表示圓，則圓心坐標(biāo)是，半徑是。（本小題每空2.5分）【答案】【解析】由題意，或，當(dāng)時方程為，即，圓心為，半徑為，當(dāng)時方程為，不表示圓。15．已知圓：和點(diǎn)，若頂點(diǎn)()和常數(shù)滿足：對圓上任意一點(diǎn)，都有，則?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)，∵，∴，任取、代入可得，，解得，，。16．空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面成角的正弦值為?！敬鸢浮俊窘馕觥俊咂矫娴姆匠虨?，∴平面的法向量可取，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，令，則直線與平面所成角的大小為，則。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）如圖所示，已知平行六面體中，各棱長均為，底面是正方形，且，設(shè)，，。(1)用、、表示，并求；(2)求異面直線與所成的角的余弦值。【解析】(1)∵，2分∴，4分∴；5分(2)，則，7分又，，∴，9分∴異面直線與所成的角的余弦值為。10分18．（本小題滿分12分）(1)求與向量共線且滿足方程的向量的坐標(biāo)；(2)已知，，，求點(diǎn)的坐標(biāo)使得；(3)已知，，求：①；②與夾角的余弦值；③確定、的值使得與軸垂直，且?！窘馕觥?1)∵與共線，故可設(shè)，由得：，故，∴；2分(2)設(shè)，則，，，∵，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為；5分(3)①，6分②∵，，∴，∴與夾角的余弦值為，9分③取軸上的單位向量，，依題意，即，故，解得，。12分19．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)，圓：。(1)求過點(diǎn)的圓的切線方程；(2)求過點(diǎn)的圓的切線方程，并求出切線長?！窘馕觥坑深}意得圓心，半徑，(1)∵，∴點(diǎn)在圓上，又，2分∴切線的斜率，4分∴過點(diǎn)的圓的切線方程是，即；5分(2)∵，∴點(diǎn)在圓外部，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，直線方程為，即，6分又點(diǎn)到直線的距離，即此時滿足題意，7分∴直線是圓的切線，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，8分即，則圓心到切線的距離，解得，9分∴切線方程為，即，10分綜上可得，過點(diǎn)的圓的切線方程為或，∵，∴過點(diǎn)的圓的切線長為。12分20．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱柱中，，，。(1)證明：；(2)若，在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為。若存在，求的長；若不存在，說明理由?！窘馕觥?1)證明：連接，∵為平行四邊形，且，∴為菱形，，2分又∵，∴平面，∴，又∵，∴平面，∴；4分(2)解：∵，，，∴，∴、、兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向?yàn)?、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，5分則、、、、，設(shè)，則，，，易知，平面，則平面的一個法向量，7分設(shè)是平面的一個法向量，則，∴，得，9分∴，解得，∴在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時，得二面角的大小為。12分21．（本小題滿分12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為梯形，且滿足，，，平面平面。(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值?！窘馕觥?1)取的中點(diǎn)，連接，∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形，2分∴，又，∴，3分令，則，，∴，∴，4分又平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴；5分(2)取的中點(diǎn)，連接、，則易知，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，∴、、兩兩垂直，6分故可以以、、所在直線分別、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，∴、、，7分設(shè)平面的法向量為，則，即，∴，令，則，∴為平面的一個法向量，9分設(shè)直線與平面所成的角為，則，11分∴直線與平面所成角的正弦值為。12分22．（本小題滿分12分）如圖所示，在多面體中，四邊形、、均為正方形，為的中點(diǎn)，過、、的平面交于。(1)證明：；(2)求二面角的余弦值?！窘馕觥?1)證明：由正方形的性質(zhì)可知，且，1分∴四邊形為平行四邊形，∴，2分又∵平面，平面，∴平面，3分又∵平面，平面平面，∴；4分(2)解：∵四邊形、、均為正方形，∴，，且，以為原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸單位正向量，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，