2020高中數(shù)學 模塊復習課講義 5

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19-學必求其心得，業(yè)必貴于專精模塊復習課一、正、余弦定理及其應用1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B,C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容（1）eq\f（a，sinA)＝eq\f(b，sinB）＝eq\f(c,sinC)＝2R（2）a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B;c2＝a2＋b2－2abcos_C（3)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝eq\f(a,2R），sinB＝eq\f(b，2R），sinC＝eq\f(c,2R）；(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(6）asinB＝bsinA,bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc）；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2，2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab）變形2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；（2)S＝eq\f（1,2）absinC＝eq\f(1，2）acsinB＝eq\f(1，2)bcsinA；（3)S＝eq\f（1,2）r（a＋b＋c）(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．二、等差數(shù)列及其前n項和1．等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示．2．等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列｛an｝的首項為a1，公差為d,那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1）d.3．等差中項由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列．這時,A叫做a與b的等差中項．4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)（1)通項公式的推廣:an＝am＋(n－m)d(n,m∈N*）．（2)若｛an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＊)，則ak＋al＝am＋an。(3）若{an｝是等差數(shù)列，公差為d,則｛a2n｝也是等差數(shù)列，公差為2d。（4)若{an｝，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．（5）若｛an｝是等差數(shù)列,公差為d,則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＊）是公差為md的等差數(shù)列．(6）數(shù)列Sm,S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．5．等差數(shù)列的前n項和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝eq\f(na1＋an,2）或Sn＝na1＋eq\f（nn－1,2）d.6．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝eq\f(d，2）n2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d，2））)n。數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)）7．等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列｛an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．三、等比數(shù)列及其前n項和1．等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0）．2．等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1·qn－1（a1≠0，q≠0)．3．等比中項如果在a與b中插入一個數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，eq\f（G，a）＝eq\f(b,G），G2＝ab，G＝±eq\r（ab)，稱G為a，b的等比中項．4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項公式的推廣：an＝am·qn－m（n，m∈N*）．（2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＊)，則ak·al＝am·an.(3）若｛an｝，｛bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列,則{λan｝（λ≠0），eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f(1，an)）)，{aeq\o\al（2，n)｝,{an·bn｝,eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（an,bn)))仍是等比數(shù)列．5．等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列｛an}的公比為q(q≠0），其前n項和為Sn，當q＝1時,Sn＝na1;當q≠1時,Sn＝eq\f（a11－qn，1－q）＝eq\f（a1－anq,1－q）。6．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為－1的等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,則Sn,S2n－Sn,S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn。四、數(shù)列求和的常用方法1．公式法直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式求和．2．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列,再求解．3．裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和,正負相消剩下首尾若干項．常見的裂項公式（1）eq\f（1,nn＋1）＝eq\f（1,n)－eq\f（1,n＋1）；(2)eq\f(1，2n－12n＋1）＝eq\f(1，2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2n－1)－\f(1,2n＋1）));(3）eq\f（1,\r(n)＋\r(n＋1)）＝eq\r(n＋1)－eq\r（n)。4．倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣．5．錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和．6．并項求和法一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1）nf（n）類型，可采用兩項合并求解．五、不等關(guān)系兩個實數(shù)比較大小的方法(1）作差法eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a－b＞0?a＞b，，a－b＝0?a＝b,a－b＜0?a＜b.））(a,b∈R），(2）作商法eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a，b)＞1?a＞b，，\f(a，b)＝1?a＝b,\f（a,b）＜1?a＜b。）)(a∈R，b＞0），六、一元二次不等式及其解法1．“三個二次”的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0）的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根有兩相異實根x1,x2(x1＜x2）有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x｜x＜x1或x＞x2｝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b，2a）)))）{x|x∈R｝一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0）的解集｛x|x1＜x＜x2｝??2。常用結(jié)論（x－a)(x－b)＞0或(x－a)（x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a＜ba＝ba＞b(x－a）·（x－b)＞0｛x|x＜a或x＞b｝｛x｜x≠a｝{x｜x＜b或x＞a｝(x－a）·（x－b）＜0{x｜a＜x＜b}?{x｜b＜x＜a}口訣：大于取兩邊，小于取中間．3．常見分式不等式的解法(1）eq\f(fx,gx)＞0(＜0)?f(x）·g(x）＞0（＜0）．(2)eq\f（fx,gx）≥0(≤0)?f（x)·g(x)≥0（≤0）且g（x)≠0.以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式．七、基本不等式及其應用1．基本不等式：eq\r（ab）≤eq\f(a＋b，2)(a＞0，b＞0）(1)基0本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.(a＞0，b＞0）（2）等號成立的條件:當且僅當a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式(1）a2＋b2≥2ab(a,b∈R)(2)eq\f(b，a）＋eq\f（a,b）≥2（a，b同號）．（3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a＋b，2）)）eq\s\up20(2）（a,b∈R）．(4)eq\f（a2＋b2，2)≥eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a＋b，2)))eq\s\up20(2）（a，b∈R）．以上不等式等號成立的條件均為a＝b。3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f（a＋b，2)，幾何平均數(shù)為eq\r（ab),基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x＞0，y＞0，則（1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p）.(簡記：積定和最小)（2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4）.（簡記：和定積最大)1．在△ABC中，若sinA＞sinB,則A＞B.(√)2．當b2＋c2－a2＞0時，三角形ABC為銳角三角形．（×）［提示]只能保證A為銳角，但不能保證三角形為銳角三角形．3．在△ABC中，eq\f(a,sinA）＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC)。（√）4．在三角形中,已知兩邊和一角就能求三角形的面積．(√)5．若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列．（×）［提示]“常數(shù)”必須強調(diào)為“同一個常數(shù)"．6．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(√)7．數(shù)列｛an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N＊，都有2an＋1＝an＋an＋2。（√)8．已知數(shù)列{an｝的通項公式是an＝pn＋q（其中p，q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．（√)9．滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(×)［提示]必須強調(diào)q≠0。10．G為a，b的等比中項?G2＝ab。（×）[提示］G2＝ab不能得出G是a，b的等比中項，如G＝0，a＝0，b＝1。11．如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列｛lnan}是等差數(shù)列．（×）［提示］當an＞0時,結(jié)論才能成立．12．數(shù)列｛an｝的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝eq\f(a1－an，1－a).(×)[提示］公式成立的條件是a≠0，且a≠1.13．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞,x1）∪（x2,＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2。(√）14．若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)沒有實數(shù)根,則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(×)［提示］當a＞0或a＝0，b＝0且c＞0時，結(jié)論才能成立．15．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)［提示]當a＝0，b＝0且c≤0時，不等式在R上也是恒成立的．16．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(√)17．函數(shù)y＝x＋eq\f（1，x)的最小值是2。（×）［提示］當x＞0時，x＋eq\f（1，x）的最小值是2。18．函數(shù)f(x）＝cosx＋eq\f(4,cosx），x∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2))）的最小值等于4。(×）［提示]cosx≠eq\f(4,cosx)。19．“x＞0且y＞0”是“eq\f（x，y）＋eq\f（y,x)≥2”的充要條件．(×)［提示]eq\f（x,y)＋eq\f（y,x）≥2Dx＞0且y＞0，如x＝－4，y＝－1。20．若a＞0，則a3＋eq\f（1,a2）的最小值為2eq\r(a）.（×)[提示］2eq\r(a）不是定值．21．不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b，2）≥eq\r（ab)有相同的成立條件．（×)[提示]a2＋b2≥2ab成立的條件是a,b∈R。eq\f（a＋b，2）≥eq\r(ab)成立的條件是a＞0，b＞0.22．兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項．(√）1．(2018·全國卷Ⅲ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,若△ABC的面積為eq\f（a2＋b2－c2，4)，則C＝()A.eq\f（π，2） B.eq\f（π，3)C.eq\f(π,4)D。eq\f（π，6)C[因為S△ABC＝eq\f（1，2)absinC,所以eq\f（a2＋b2－c2,4）＝eq\f（1，2）absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC,即cosC＝sinC，所以在△ABC中,C＝eq\f(π,4).故選C。］2．(2018·全國卷Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f（\r(5),5），BC＝1,AC＝5，則AB＝（）A．4eq\r（2）B。eq\r(30)C。eq\r（29) D．2eq\r（5）A[因為coseq\f（C,2）＝eq\f(\r（5）,5)，所以cosC＝2cos2eq\f（C，2）－1＝2×eq\f(\r（5),5)2－1＝－eq\f（3,5)。于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×－eq\f（3,5）＝32，所以AB＝4eq\r(2）。故選A。］3．（2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a，b,c。已知sinB＋sinA(sinC－cosC）＝0，a＝2，c＝eq\r（2)，則C＝（)A.eq\f（π,12）B.eq\f（π,6)C。eq\f（π，4） D。eq\f(π,3)B［因為a＝2，c＝eq\r（2）,所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA）＝eq\f(\r（2），sinC），故sinA＝eq\r（2)sinC.又B＝π－（A＋C)，故sinB＋sinA（sinC－cosC)＝sin(A＋C）＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝（sinA＋cosA）sinC＝0.又C為△ABC的內(nèi)角，故sinC≠0，則sinA＋cosA＝0,即tanA＝－1。又A∈（0，π），所以A＝eq\f(3π,4）.從而sinC＝eq\f（1,\r（2）)sinA＝eq\f(\r（2）,2)×eq\f(\r（2）,2）＝eq\f（1，2)。由A＝eq\f（3π，4）知C為銳角，故C＝eq\f(π，6)。故選B。]4．(2018·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC,b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________．eq\f（2\r（3）,3）[由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC,因為sinBsinC≠0，所以sinA＝eq\f（1，2).因為b2＋c2－a2＝8,cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc），所以bc＝eq\f(8\r（3),3),所以S△ABC＝eq\f（1，2）bcsinA＝eq\f（1,2）×eq\f(8\r(3),3）×eq\f（1,2)＝eq\f（2\r（3）,3）。］5．（2017·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA,則B＝________.eq\f(π,3）[法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin（π－B）＝sinB。又sinB≠0,∴cosB＝eq\f（1，2）?！郆＝eq\f（π,3）。法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b,∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝eq\f（1，2）.又0＜B＜π，∴B＝eq\f（π,3）。］6．(2018·全國卷Ⅰ）已知數(shù)列｛an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1）an。設(shè)bn＝eq\f（an,n)。(1)求b1，b2,b3;（2）判斷數(shù)列{bn｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3)求{an｝的通項公式．［解］(1)由條件可得an＋1＝eq\f（2n＋1，n)an。將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以,a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2,所以，a3＝12.從而b1＝1,b2＝2,b3＝4。（2）{bn｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列．由條件可得eq\f（an＋1，n＋1）＝eq\f(2an，n),即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．(3）由(2）可得eq\f（an，n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.7．（2018·全國卷Ⅲ）等比數(shù)列{an｝中，a1＝1，a5＝4a3。（1)求｛an｝的通項公式；(2）記Sn為｛an｝的前n項和．若Sm＝63，求m。[解］（1)設(shè)｛an｝的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1。由已知得q4＝4q2,解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2.故an＝（－2)n－1或an＝2n－1。（2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝eq\f（1－－2n，3）。由Sm＝63得（－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．若an＝2n－1，則Sn＝2n－1。由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6。綜上,m＝6.8．（2017·全國卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1）an＝2n.（1)求｛an}的通項公式;(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（an,2n＋1）))的前n項和．［解](1）因為a1＋3a2＋…＋（2n－1)an＝2n，故當n≥2時,a1＋3a2＋…＋（2n－3)an－1＝2（n－1），兩式相減得(2n－1）an＝2，所以an＝eq\f（2，2n－1）(n≥2)．又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式,所以{an｝的通項公式為an＝eq\f(2，2n－1）。（2)記eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(an，2n＋1)））的前n項和為Sn.由(1)知eq\f(an,2n＋1）＝eq\f(2，2n＋12n－1）＝eq\f(1，2n－1)－eq\f(1,2n＋1），則Sn＝eq\f(1，1)－eq\f(1,3）＋eq\f（1,3）－eq\f(1，5）＋…＋eq\f（1,2n－1)－eq\f(1