位移法-結(jié)構(gòu)力學(xué)-教學(xué)課件

《結(jié)構(gòu)力學(xué)教程》（I）《結(jié)構(gòu)力學(xué)教程》（I）1第8章位移法第8章位移法2§8-1位移法概述§8-2 位移法未知量的確定§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系§8-4利用平衡條件建立位移法方程§8-5位移法舉例§8-6基本體系和典型方程法§8-7 對稱性的利用§8-8其它各種情況的處理主要內(nèi)容

§8-1位移法概述主要內(nèi)容3§8-1 位移法概述

●

位移法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本方法。分析超靜定結(jié)構(gòu)時，有兩種基本方法：第一種：

以多余未知力為基本未知量；先求其反力或內(nèi)力，然后計算位移——力法。第二種：

以結(jié)點未知位移為基本未知量；先求其位移，然后再計算內(nèi)力——位移法。結(jié)構(gòu)在外因作用下產(chǎn)生內(nèi)力變形內(nèi)力與變形間存在關(guān)系§8-1 位移法概述●位移法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基4§8-1 位移法概述

●位移法是以結(jié)點的位移作為的未知量的?！裎灰品ㄊ且粤Ψㄗ鳛榛A(chǔ)的。下面以一個例題來介紹一下位移法的解題思路。

結(jié)點位移與桿端位移分析

BD伸長：DA伸長：

DC伸長：

桿端位移分析由材料力學(xué)可知：桿端力與桿端位移的關(guān)系D結(jié)點有一向下的位移△FPABCD45o45o§8-1 位移法概述●位移法是以結(jié)點的位移作為的未知量5§8-1 位移法概述

建立力的平衡方程由方程解得：

位移法方程把△回代到桿端力的表達(dá)式中就可得到各桿的軸力：由結(jié)點平衡：

§8-1 位移法概述建立力的由方程解得：位移法方程把△回6§8-1 位移法概述

③由結(jié)點平衡或截面平衡，建立方程；

⑤結(jié)點位移回代，得到桿端力?？偨Y(jié)一下位移法解題的步驟：①確定結(jié)點位移的數(shù)量；②寫出桿端力與桿端位移的關(guān)系式；④解方程，得到結(jié)點位移；§8-1 位移法概述③由結(jié)點平衡或截面平衡，建立方程；7§8-2 位移法未知量的確定

●位移法是以結(jié)點的位移作為的未知量的?！?/p>

結(jié)點：指桿件與桿件的交結(jié)處，不包括支座結(jié)點（初學(xué)時）。

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桿件：等截面的直桿，不能是折桿或曲桿。

●

為了減少未知量，忽略軸向變形，即認(rèn)為桿件的EA=∞。只有一個剛結(jié)點B，由于忽略軸向變形，B結(jié)點只有

只有一個剛結(jié)點B，由于忽略軸向變形及C結(jié)點的約束形式，B結(jié)點有一個轉(zhuǎn)角和水平位移ABCABC例1：例2：§8-2 位移法未知量的確定●位移法是以結(jié)點的位移作為8§8-2 位移法未知量的確定

例3：

有兩個剛結(jié)點E、F、D、C，由于忽略軸向變形，E、F、D、C

點的豎向位移為零，E、F

點及D、C

點的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：例4：

有兩個剛結(jié)點B、C，由于忽略軸向變形，B、C點的豎向位移為零，B、C點的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：§8-2 位移法未知量的確定例3：9§8-2 位移法未知量的確定

有兩個剛結(jié)點B、C，由于忽略軸向變形及B、C點的約束，B、C點的豎向、水平位移均為零，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：

桁架桿件要考慮軸向變形。因此每個結(jié)點有兩個線位移。該結(jié)構(gòu)的未知量為：

剛架（不帶斜桿的）一個結(jié)點一個轉(zhuǎn)角，一層一個側(cè)移。結(jié)論：ABCD例5：ABCD例6：§8-2 位移法未知量的確定有兩個剛結(jié)點B、C，10

排架結(jié)構(gòu)，有兩個鉸結(jié)點A、B，由于忽略軸向變形，A、B兩點的豎向位移為零，A、B兩點的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：

EA=∞ABCD§8-2 位移法未知量的確定

兩跨排架結(jié)構(gòu)，有四個結(jié)點A、B、C、D，同理A與B點、D與C點的水平位移相同，各結(jié)點的豎向位移為零，但D結(jié)點有一轉(zhuǎn)角，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：

例7：

EA=∞ABCDEFG例8：

排架結(jié)構(gòu)，有兩個鉸結(jié)點A、B，EA=∞ABCD11§8-2 位移法未知量的確定

該題的未知量為

對圖示有斜桿的剛架，未知量分析的方法是：對于轉(zhuǎn)角位移，只需數(shù)剛結(jié)點，一個剛結(jié)點一個轉(zhuǎn)角位移。對于線位移，首先把所有的剛結(jié)點變成鉸結(jié)點，然后再加鏈桿，使其變成無多余約束的幾何不變體系，加了幾根鏈桿，就是有幾個線位移。ABCDEABCDE例9：§8-2 位移法未知量的確定該題的未知量為對12§8-2 位移法未知量的確定

分析方法：

該題有一個剛結(jié)點，因此有一個轉(zhuǎn)角位移。水平線位移的分析方法：假設(shè)B結(jié)點向左有一個水平位移△，BC桿平移至B’C’，然后它繞B’轉(zhuǎn)至D點。結(jié)論：該題有兩個未知量：其中BA桿的線位移為：△BC桿的線位移為：△例10：B’C’ABCD§8-2 位移法未知量的確定分析方法：結(jié)論：△例13

剛架在均布荷載作用下，產(chǎn)生如圖曲線所示的變形。§8-3 桿端力與桿端位移的關(guān)系

剛結(jié)點B處：兩桿桿端都發(fā)生了角位移；桿長為：L未知量為：qABCEIEIqBCEI對于BC桿：其變形及受力情況與：一根一端固定一端鉸結(jié)的單跨超靜定梁，在均布荷載q以及在固定端B處有一角位移作用下的情況相同，其桿端力可以用力法求解。BC桿剛架在均布荷載作用下，產(chǎn)生如圖曲線所示的變形?！?-314

對于BA桿：其變形與受力情況相當(dāng)于：一根兩端固定的單跨超靜定梁，在B端發(fā)生了角位移的結(jié)果,其桿端力也可以用力法求解?！?-3桿端力與桿端位移的關(guān)系

結(jié)論：在桿端力與桿端位移分析時，可以把結(jié)構(gòu)中的桿件，看作一根根單跨的超靜定梁，其桿端力可以由力法求解。BABA桿對于BA桿：其變形與受力情況相當(dāng)于：一根兩端固定的單跨超15§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系彎矩正負(fù)號的規(guī)定與原來不同了，現(xiàn)在是以使桿端順時針轉(zhuǎn)為正。剪力和軸力的規(guī)定與原來相同。為此，我們要把各種單跨超靜定梁在支座位移及荷載作用下的桿端彎矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。正彎矩：對桿端是順時針轉(zhuǎn)的，對結(jié)點是逆時針轉(zhuǎn)的。

下面開始對單跨超靜定梁在支座位移及荷載作用下的桿端彎矩用力法進行逐個求解?！?-3桿端力與桿端位移的關(guān)系彎矩正負(fù)號的規(guī)16§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系1、兩端固定單元，在A端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。由力法求得：2、兩端固定單元，在B端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。由力法求得：ABEI,LMABMBAABEI,LMABMBA§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系1、兩端固定單元，在A端由17§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系3、兩端固定單元，在B端發(fā)生一個向下的位移。由力法求得：4、一端固定一端鉸結(jié)單元，在A端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。由力法求得：△ABEI,LMABMBAABEI,LMABMBA§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系3、兩端固定單元，在B端由18§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系由力法求得：6、一端固定一端滑動單元，在A端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。由力法求得：5、一端固定一端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生一個向下的位移。MABABEI,LMBA△MABMBAABEI,L§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系由力法求得：6、一端固定一19§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系由材力可知：由力法求得：7、兩端鉸結(jié)單元，在A端發(fā)生一個軸向位移。8、兩端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生一個軸向位移△?！鱁A,LABEAL△EAL△△EA,LABEAL△EAL△§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系由材力可知：由力法求得：720§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系

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前面研究的是：單個超靜定梁在支座位移作用下的彎矩，至于在荷載作用下的情況，可以查書上的表格。

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前面研究的是：單個超靜定梁在一個支座位移作用下的彎矩，至于有多個支座位移同時作用的情況可以采用疊加原理進行。

兩端固定單元在荷載、支座位移共同作用下的桿端彎矩表達(dá)式：§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系●前面研究的是：單個21§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系

一端固定一端鉸結(jié)單元在荷載、支座位移共同作用下的桿端彎矩表達(dá)式：

一端固定一端滑動單元在荷載、支座位移共同作用下的桿端彎矩表達(dá)式：§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系一端固定一端22§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系利用前面得到的單跨超靜定梁的桿端彎矩表達(dá)式，就可寫出結(jié)構(gòu)中每根桿件的桿端力與桿端位移的表達(dá)式。例：桿長為：L未知量為：BC桿：可看作一端固定，一端鉸結(jié)的梁，在B端發(fā)生了轉(zhuǎn)角以及在均布荷載作用下，桿端彎矩表達(dá)式：BA桿：可看作兩端固定的梁，但是在B端支座發(fā)生了轉(zhuǎn)角，方向假設(shè)為順時針，桿端彎矩表達(dá)式：AEIBCEIq§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系利用前面得到23§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系例：未知量2個：BA桿：可看作兩端固定的梁，在B端支座發(fā)生了轉(zhuǎn)角水平位移，還有均布荷載作用下，桿端彎矩表達(dá)式：BC桿：可看作一端固定，一端鉸結(jié)的梁，在B端發(fā)生了轉(zhuǎn)角、以及在集中力作用下，桿端彎矩表達(dá)式：qEI2EIABCFPLL/2L/2§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系例：未知量2個：BA桿：B24§8-4利用平衡條件建立位移法方程基本思路——先拆、后裝，即：1）化整為零——逐桿寫出桿端彎矩式表達(dá)式；2）拼零為整——匯交于剛結(jié)點的各桿端彎矩應(yīng)滿足，對于任意的脫離體都應(yīng)滿足或?！?-4利用平衡條件建立位移法方程基本思路25§8-4利用平衡條件建立位移法方程

——位移法方程BA桿：桿端彎矩表達(dá)式：BC桿：桿端彎矩表達(dá)式：建立位移法方程：取B結(jié)點，應(yīng)該滿足:AEIBCEIq桿長為：L未知量為：例:

§8-4利用平衡條件建立位移法方程——位移法方程BA桿26例：未知量2個：—位移法方程①BA桿：桿端彎矩表達(dá)式：BC桿：端彎矩表達(dá)式：§8-4利用平衡條件建立位移法方程建立位移法方程：取B結(jié)點由:qEI2EIABCFPLL/2L/2例：未知量2個：—位移法方程①BA桿：桿端彎矩表達(dá)式：BC桿27§8-4利用平衡條件建立位移法方程求FQBA,取BA桿,由……②把FQBA代入②式,得:----位移法方程②建立位移法方程：取BC截面由:FQBAqFQABMABMBABA§8-4利用平衡條件建立位移法方程求FQBA,取BA桿,28§8-5位移法舉例桿長為：L

BA桿BC桿1.確定未知量未知量為:2.寫出桿端力的表達(dá)式3.建立位移法方程取B結(jié)點，由,得:……①AEIBCEIq例1:§8-5位移法舉例桿長為：LBA桿BC桿1.確定未知29§8-5位移法舉例4.解方程，得:5.把結(jié)點位移回代，得桿端彎矩6.畫彎矩圖qL28qL214qL228ABCM圖

§8-5位移法舉例4.解方程，得:5.把結(jié)點位移回代30§8-5位移法舉例例2：1.位移法未知量未知量：2.桿端彎矩表達(dá)式

3.建立位移方程取出B結(jié)點:……①……②LLqFP2EIEIABC§8-5位移法舉例例2：1.位移法未知量未知量：231§8-5位移法舉例求FQBA求FQBC把FQBCFQBA代入方程②中得：……②后面的工作就省略了。

§8-5位移法舉例求FQBA求FQBC把FQBC32§8-5位移法舉例例3：1.位移法未知量未知量：2.桿端彎矩表達(dá)式

3.建立位移方程……①§8-5位移法舉例例3：1.位移法未知量未知量：2.33§8-5位移法舉例……②取出EG截面：取出BEG截面：……②§8-5位移法舉例……②取出EG截面：取出BEG截面：34§8-5位移法舉例位移法方程：……③……③……②……①§8-5位移法舉例位移法方程：……③……③35小結(jié)：（1）用位移法計算兩類結(jié)構(gòu)（無側(cè)移、有側(cè)移)思路與方法基本相同；（2）在計算有側(cè)移剛架時，同無側(cè)移剛架相比，在具體作法上增加了一些新內(nèi)容：

▲在基本未知量中，要含結(jié)點線位移；

▲在桿件計算中，要考慮線位移的影響；

▲在建立基本方程時，要增加與結(jié)點線位移對應(yīng)的平衡方程?！?-5位移法舉例小結(jié)：（1）用位移法計算兩類結(jié)構(gòu)（無側(cè)移、有側(cè)移)§8-536§8-6基本體系和典型方程法1、位移法基本體系1）基本體系——單跨超靜定梁的組合體。（用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時，把每一根桿件都作為單跨超靜定梁看待）。2）構(gòu)造基本體系（1）在每個剛結(jié)點處添加一個附加剛臂——阻止剛結(jié)點轉(zhuǎn)動（不能阻止移動）；（2）在可能發(fā)生線位移的結(jié)點，加上附加鏈桿——阻止結(jié)點線位移（移動）?！?-6基本體系和典型方程法1、位移法基本體系（1）在每個37§8-6基本體系和典型方程法例：構(gòu)造圖示結(jié)構(gòu)位移法的基本體系?！?/p>

未知量2個：基本體系

在有轉(zhuǎn)角位移的結(jié)點處先加一剛臂，阻止轉(zhuǎn)動，然后再讓其發(fā)生轉(zhuǎn)角。經(jīng)過以上處理，原結(jié)構(gòu)就成為一個由n個獨立單跨超靜定梁組成的組合體——即為位移法的基本體系。在有線位移的結(jié)點處先加一鏈桿，阻止線位移，然后再讓其發(fā)生線位移。EIEIABCLqLq原結(jié)構(gòu)§8-6基本體系和典型方程法例：構(gòu)造圖示結(jié)構(gòu)位移法的基本體382、利用基本體系建立位移法方程1）基本原理

——先鎖、后松。鎖住——將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成基本結(jié)構(gòu)。把原結(jié)構(gòu)“拆成”孤立的單個超靜定桿件；放松——將基本結(jié)構(gòu)還原成原結(jié)構(gòu)。即強行使“鎖住”的結(jié)點發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角或線位移?！?-6基本體系和典型方程法2）位移法典型方程的建立與求解2、利用基本體系建立位移法方程1）基本原理§8-6基本體系39§8-6基本體系和典型方程法EIEIABCqLL

原結(jié)構(gòu)

EIEIABCq

基本體系3i4i2i

M1圖×Z1

M2圖×Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1

MP圖==++6EIL26EIL2在M1、M2、MP三個圖中的附加剛臂和鏈桿中一定有力產(chǎn)生，而三個圖中的力加起來應(yīng)等于零?！?-6基本體系和典型方程法EIEIABCqLL原結(jié)構(gòu)40§8-6基本體系和典型方程法3i4i2i

M1圖×Z1Z1=1Z1

基本體系EIEIABCqZ2qL28

MP圖+6EIL26EIL2

M2圖×Z2Z2=1+=k11k21F1Pk22F2Pk12附加剛臂和鏈桿上產(chǎn)生的力§8-6基本體系和典型方程法3i4i2iM1圖×Z41§8-6基本體系和典型方程法

位移法典型方程由反力互等定理可知：

在M1、M2、MP三個圖中附加剛臂和鏈桿中產(chǎn)生的附加力加起來應(yīng)等于零，則有：方程中的系數(shù)和自由項就是M1、M2、MP三個圖中剛臂和鏈桿中產(chǎn)生的附加力。§8-6基本體系和典型方程法位移法典型方程由反力互等42§8-6基本體系和典型方程法求系數(shù)和自由項——方法是：取各個彎矩圖中的結(jié)點或截面利用平衡原理求得。由M2圖：由M1圖：3i4ik11k11k21FQBA6i/Lk12k12k22FQBA§8-6基本體系和典型方程法求系數(shù)和自由項——方法是：取各43§8-6基本體系和典型方程法由MP圖：把系數(shù)和自由項代入典型方程，有：——位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0§8-6基本體系和典型方程法由MP圖：把系數(shù)和自由項代入典44§8-6基本體系和典型方程法3、解方程，得結(jié)點位移4、畫彎矩圖計算步驟:1、確定未知量，畫出基本結(jié)構(gòu)；2、畫出M1、…MP圖；3、求出系數(shù)和自由項，得到位移法方程；4、解方程，得到結(jié)點位移；5、按下式畫彎矩圖：§8-6基本體系和典型方程法3、解方程，得結(jié)點位移計算步驟45§8-6基本體系和典型方程法如果結(jié)構(gòu)有n個未知量，那么位移法方程為：

其中：是主系數(shù)，永遠(yuǎn)是正的。是副系數(shù)，有正有負(fù)。由反力互等定理可知：——物理意義是：由第j個結(jié)點位移發(fā)生單位位移后，在第i個結(jié)點位移處產(chǎn)生的反力?！?-6基本體系和典型方程法如果結(jié)構(gòu)有n個未知量，那么位移46§8-6基本體系和典型方程法例1：用典型方程法計算圖示結(jié)構(gòu)，桿長均為L，EI為常數(shù)。解：1、未知量：2、基本結(jié)構(gòu)如上圖所示3、位移法方程MABCEDLLL原結(jié)構(gòu)CMABED

Z3

Z1

Z2§8-6基本體系和典型方程法例1：用典型方程法計算圖示結(jié)構(gòu)47§8-6基本體系和典型方程法4、求系數(shù)和自由項取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面：

Z1=1ABEDi4i2i3iM1圖§8-6基本體系和典型方程法4、求系數(shù)和自由項取B結(jié)點：48§8-6基本體系和典型方程法取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面：

Z2=14i2i2i4iM2圖§8-6基本體系和典型方程法取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面49§8-6基本體系和典型方程法取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面：

Z3=13i/L6i/L6i/LM3圖§8-6基本體系和典型方程法取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE50§8-6基本體系和典型方程法MP圖取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面：

M§8-6基本體系和典型方程法MP圖取B結(jié)點：取E結(jié)點：51§8-6基本體系和典型方程法把系數(shù)和自由項代入位移法典型方程中，得：后面的計算省略了?！?-6基本體系和典型方程法把系數(shù)和自由項代入位移法典型方52§8-6基本體系和典型方程法例2：用典型方程法計算圖示桁架，桿長EA為常數(shù)。解：1、未知量：2、基本結(jié)構(gòu)如上圖所示原結(jié)構(gòu)3、位移法方程BCDAFP1FP2FP1FP2Z4Z2基本體系BCDAZ5Z3Z1§8-6基本體系和典型方程法例2：用典型方程法計算圖示桁架53§8-6基本體系和典型方程法4、求系數(shù)和自由項取D結(jié)點：取B結(jié)點：取C結(jié)點：BCDAZ1=1EA2LEALN1圖EALEA2LEA2LEAL§8-6基本體系和典型方程法4、求系數(shù)和自由項取D結(jié)54小結(jié)：

——與力法進行對此分析。位移法分析超靜定結(jié)構(gòu)，其解題步驟與方法同力法極為相似。（1）確定基本未知量，取基本體系。未知量：力法——多余未知力； 位移法——未知角位移、線位移。基本體系：力法——靜定結(jié)構(gòu)；位移法——單跨超靜定梁的組合體?！?-6基本體系和典型方程法小結(jié)：——與力法進行對此分析。位移法分析超靜定結(jié)未知55（2）列典型方程建立方程力法——去掉多余約束處的位移條件；

條件： 位移法——附加約束上約束反力的平衡條件。方程的力法——變形協(xié)調(diào)方程；性質(zhì)：位移法——力的平衡方程?！?-6基本體系和典型方程法（3）作

MP、圖，求系數(shù)和自由項M力法：

先作出靜定結(jié)構(gòu)分別在載荷FP、多余未知力作用下的彎矩圖MP、

；Mi（2）列典型方程方程的力法——變形協(xié)56

然后應(yīng)用圖乘法求出載荷FP，單位多余未知力（xi=1)所引起的去掉多余未知力處的位移，即系數(shù)和自由項：ΔiP、δij、

δii、

δjj；§8-6基本體系和典型方程法位移法：

先作出基本體系分別在載荷FP、單位位移（i=1)作用下所引起的彎矩圖（借助于轉(zhuǎn)角位移方程或圖表畫）；然后利用結(jié)點或截面的平衡，求出剛臂中的反力矩和鏈桿中的反力，即位移法的系數(shù)和自由項F

i

p、k

i

j、k

i

j、k

ii：然后應(yīng)用圖乘法求出載荷FP，單位多余未知力（xi=157（4）解典型方程，求基本未知量力法：

解多元一次方程組，求得多余未知力xi；位移法：

解多元一次方程組，求得結(jié)點角位移與結(jié)點線位移Zi。（5）繪制最后內(nèi)力圖——采用迭加法?！?-6基本體系和典型方程法力法：位移法：

（4）解典型方程，求基本未知量力法：§8-6基本58§8-7對稱性的利用對于對稱結(jié)構(gòu)用位移法求解時，可以取半剛架進行計算，所以下面先介紹半剛架的取法。紅線是結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的變形，對稱點C的位移和內(nèi)力如下：取半剛架如左圖所示：在C點用滑動支座描述它的位移和內(nèi)力以單跨剛架為例1、奇數(shù)跨對稱剛架在對稱荷載作用下§8-7對稱性的利用對于對稱結(jié)構(gòu)用位移法求59§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的變形，對稱點C的位移和內(nèi)力如下：取半剛架如左圖所示：2、偶數(shù)跨對稱剛架在對稱荷載作用下以雙跨剛架為例

在C點應(yīng)用固定支座描述它的位移和內(nèi)力，CB桿由于處在對稱軸上，彎矩等于零，因此沒有必要畫上去。§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的取半60§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的變形，對稱點C的位移和內(nèi)力如下：取半剛架如左圖所示：在C點應(yīng)用豎向可動鉸支座描述它的位移和內(nèi)力3、奇數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下以單跨剛架為例§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下取半61§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的變形，在對稱點C處只有一對剪力FQC存在。取半剛架如下圖所示：4、偶數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下以雙跨剛架為例對原結(jié)構(gòu)進行改造，如圖1、圖2所示。圖1圖2FPFP§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下取62小結(jié)：

（1）對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用時，變形一定對稱，在對稱點處只有對稱內(nèi)力存在，反對稱的內(nèi)力一定為零；（2）對稱結(jié)構(gòu)受反對稱荷載作用時，變形一定反對稱，在對稱點處只有反對稱內(nèi)力存在，對稱的內(nèi)力一定為零；（3）對于對稱結(jié)構(gòu)，若荷載是任意的，則可把荷載變換成：對稱與反對稱兩種情況之和；（4）在對稱結(jié)構(gòu)計算中，對取的半結(jié)構(gòu)，可選用任何適宜的方法進行計算（如位移法、力法），其原則就是哪一種未知量個數(shù)少，就優(yōu)先選用誰?！?-7對稱性的利用小結(jié)：（1）對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用時，變形一定對稱，在對稱63§8-7對稱性的利用例1：利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)，EI為常數(shù)。解：由于有兩根對稱軸，可以取1/4剛架進行計算。原結(jié)構(gòu)1、未知量：2、桿端彎矩表達(dá)式：LqqLACBD基本體系qAEFL/2L/2§8-7對稱性的利用例1：利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)，EI為64§8-7對稱性的利用……①3、建立位移法方程4、解方程，得：5、回代，得桿端彎矩：6、畫彎矩圖qL224qL224qL224qL224qL212M圖

§8-7對稱性的利用……①3、建立位移法方程4、解方程65§8-7對稱性的利用例2：利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)。所有桿長均為L，EI也均相同。原結(jié)構(gòu)解：1、由于該結(jié)構(gòu)的反力是靜定的，求出后用反力代替約束。

2、該結(jié)構(gòu)有兩根對稱軸，因此把力變換成對稱與反對稱的。==原結(jié)構(gòu)=對稱+反對稱FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4+§8-7對稱性的利用例2：利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)。原結(jié)構(gòu)66§8-7對稱性的利用原結(jié)構(gòu)

對稱情況，只是三根柱受軸力，由于忽略向變形，不會產(chǎn)生彎矩，因此不用計算。

反對稱情況，梁發(fā)生相對錯對，因此會產(chǎn)生彎矩，但左右兩半是對稱的，可取半剛架計算。由于對稱，中柱彎矩為零，因此可以不予考慮。FP/4FP/2FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4+FP/2§8-7對稱性的利用原結(jié)構(gòu)對稱情況，只是三根柱67§8-7對稱性的利用反對稱情況的半剛架：

此半剛架還是個對稱結(jié)構(gòu)，荷載是反對稱的，因此還繼續(xù)可取半剛架。

對此進行求解……①反對稱=…②1、未知量：2、桿端彎矩：3、建立位移法方程：FP/4FP/4FP/4ABCFP/4FQAB§8-7對稱性的利用反對稱情況的半剛架：此半剛架68§8-8其它各種情況的處理1、支座移動時的計算例：圖示結(jié)構(gòu)的A支座發(fā)生了一個轉(zhuǎn)角，用位移法求解。1、未知量：解：

未知量確定和計算與荷載作用時相同，即把支座移動看作是一種廣義的荷載。2、桿端彎矩：LABCEIEIL§8-8其它各種情況的處理1、支座移動時的計算例：圖示結(jié)69§8-8其它各種情況的處理3、建立位移法方程：……①取BC截面：……②§8-8其它各種情況的處理3、建立位移法方程：……①取70§8-8其它各種情況的處理2、溫度發(fā)生變化時的計算例：圖示結(jié)構(gòu)的溫度較竣工使發(fā)生了變化，用位移法求解。1、未知量：解：

未知量確定和計算與荷載作用時相同，即把溫度變化看作是一種廣義的荷載。2、桿端彎矩：BA桿軸線處溫度提高17.5°,桿件伸長：17.5×L×BC桿軸線處溫度提高15°,桿件伸長：15×L×由溫度引起的側(cè)移：B的位置BACLEIEIL200150100B’§8-8其它各種情況的處理2、溫度發(fā)生變化時的計算例：圖71§8-8其它各種情況的處理3、建立位移法方程：……①LBACEIEILB’200150100§8-8其它各種情況的處理3、建立位移法方程：……①L72§8-8其它各種情況的處理3、組合結(jié)構(gòu)的計算例：用位移法求解圖示組合結(jié)構(gòu)。1、未知量：解：3、建立位移法方程：…

…①2、桿端彎矩和軸力：LLLEIEIEIEAAEDCBq§8-8其它各種情況的處理3、組合結(jié)構(gòu)的計算例：用位移法73§8-8其它各種情況的處理取BC截面:……②qFQBDFQCEFNBA§8-8其它各種情況的處理取BC截面:……②qFQBD74§8-8其它各種情況的處理4、彈性支座的計算例：用位移法求解圖示有彈性支座的結(jié)構(gòu)。1、未知量：解：2、桿端彎矩：3、建立位移法方程：……①qEIEICBALL§8-8其它各種情況的處理4、彈性支座的計算例：用位移法75§8-8其它各種情況的處理取C結(jié)點：……②CFYCFQCBqFQCBFQBCMBC§8-8其它各種情況的處理取C結(jié)點：……②CFYCFQC76§8-8其它各種情況的處理2、桿端彎矩：5、帶斜桿剛架的計算例：用位移法求解圖示有斜桿的剛架。1、未知量：解：EIEIABCFPLLLFPEIEI△△§8-8其它各種情況的處理2、桿端彎矩：5、帶斜桿剛架77§8-8其它各種情況的處理5、帶斜桿剛架的計算3、建立位移法方程：其中：§8-8其它各種情況的處理5、帶斜桿剛架的計算3、建立位78§8-8其它各種情況的處理6、有無剪力桿件結(jié)構(gòu)的計算例：用位移法求解圖示有無剪力桿件的剛架。常規(guī)計算未知量是：

剪力是靜定的基本體系原結(jié)構(gòu)一端固定一端滑動單元但請注意：BA桿的剪力是靜定的,若只把B結(jié)點的轉(zhuǎn)角固定起來,它的受力與一端固定一端滑動單元相同。因此,此題的未知量可只取一個:?！?-8其它各種情況的處理6、有無剪力桿件結(jié)構(gòu)的計算例：79§8-8其它各種情況的處理桿端彎矩：AB桿的桿端彎矩，應(yīng)按一端固定一端滑動單元來寫。位移法方程：……①

上述計算方法稱為：無剪力法。只能用于上列結(jié)構(gòu)，即有側(cè)移的桿件其剪力是靜定的。

§8-8其它各種情況的處理桿端彎矩：AB桿的桿端彎矩80§8-8其它各種情況的處理特別要提醒的是固端彎矩的計算：AB桿的固端彎矩：用FP查一端固定一端滑動單元。AB桿的固端彎矩：應(yīng)用2FP查一端固定一端滑動單元。原因是：上層的力對下面層有影響，例如AB桿的剪力是：FP，BC桿的剪力是2FP。§8-8其它各種情況的處理特別要提醒的是固端彎矩的計算：81§8-8其它各種情況的處理7、有剛度無窮大桿件的剛架計算例：用位移法求解圖示有剛度無窮大桿件的剛架。

由于CD桿的抗彎剛度為無窮大，因此C、D結(jié)點不可能發(fā)生轉(zhuǎn)角，即：未知量只有：

由于BA桿只能繞A點轉(zhuǎn)動，因此BA桿的側(cè)移為，BC桿的側(cè)移為。又由于BC桿的剛度無窮大，不可能發(fā)生彎曲變形，為了保持原先的夾角，BA桿的B端必然發(fā)生轉(zhuǎn)角

。EI=∞ABCDFPEIEI=∞ABCLLL§8-8其它各種情況的處理7、有剛度無窮大桿件的剛架計算82§8-8其它各種情況的處理桿端彎矩：位移法方程：§8-8其它各種情況的處理桿端彎矩：位移法方程：83§8-8其它各種情況的處理8、支座位移也可以作為未知量例：用位移法求解圖示剛架。此題未知量通常只取一個，是把BC桿看作一端固定一端鉸結(jié)單元。同樣也可取兩個未知量，這時是把BC桿看作兩端固定單元。桿端彎矩：AEIBCEIM§8-8其它各種情況的處理8、支座位移也可以作為未知量例84§8-8其它各種情況的處理位移法方程：取B結(jié)點取C結(jié)點……①

解方程，得：……②

其結(jié)果與取一個未知量的完全相同?！?-8其它各種情況的處理位移法方程：取B結(jié)點取C結(jié)點…85《結(jié)構(gòu)力學(xué)教程》（I）《結(jié)構(gòu)力學(xué)教程》（I）86第8章位移法第8章位移法87§8-1位移法概述§8-2 位移法未知量的確定§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系§8-4利用平衡條件建立位移法方程§8-5位移法舉例§8-6基本體系和典型方程法§8-7 對稱性的利用§8-8其它各種情況的處理主要內(nèi)容

§8-1位移法概述主要內(nèi)容88§8-1 位移法概述

●

位移法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本方法。分析超靜定結(jié)構(gòu)時，有兩種基本方法：第一種：

以多余未知力為基本未知量；先求其反力或內(nèi)力，然后計算位移——力法。第二種：

以結(jié)點未知位移為基本未知量；先求其位移，然后再計算內(nèi)力——位移法。結(jié)構(gòu)在外因作用下產(chǎn)生內(nèi)力變形內(nèi)力與變形間存在關(guān)系§8-1 位移法概述●位移法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基89§8-1 位移法概述

●位移法是以結(jié)點的位移作為的未知量的?！裎灰品ㄊ且粤Ψㄗ鳛榛A(chǔ)的。下面以一個例題來介紹一下位移法的解題思路。

結(jié)點位移與桿端位移分析

BD伸長：DA伸長：

DC伸長：

桿端位移分析由材料力學(xué)可知：桿端力與桿端位移的關(guān)系D結(jié)點有一向下的位移△FPABCD45o45o§8-1 位移法概述●位移法是以結(jié)點的位移作為的未知量90§8-1 位移法概述

建立力的平衡方程由方程解得：

位移法方程把△回代到桿端力的表達(dá)式中就可得到各桿的軸力：由結(jié)點平衡：

§8-1 位移法概述建立力的由方程解得：位移法方程把△回91§8-1 位移法概述

③由結(jié)點平衡或截面平衡，建立方程；

⑤結(jié)點位移回代，得到桿端力?？偨Y(jié)一下位移法解題的步驟：①確定結(jié)點位移的數(shù)量；②寫出桿端力與桿端位移的關(guān)系式；④解方程，得到結(jié)點位移；§8-1 位移法概述③由結(jié)點平衡或截面平衡，建立方程；92§8-2 位移法未知量的確定

●位移法是以結(jié)點的位移作為的未知量的?！?/p>

結(jié)點：指桿件與桿件的交結(jié)處，不包括支座結(jié)點（初學(xué)時）。

●

桿件：等截面的直桿，不能是折桿或曲桿。

●

為了減少未知量，忽略軸向變形，即認(rèn)為桿件的EA=∞。只有一個剛結(jié)點B，由于忽略軸向變形，B結(jié)點只有

只有一個剛結(jié)點B，由于忽略軸向變形及C結(jié)點的約束形式，B結(jié)點有一個轉(zhuǎn)角和水平位移ABCABC例1：例2：§8-2 位移法未知量的確定●位移法是以結(jié)點的位移作為93§8-2 位移法未知量的確定

例3：

有兩個剛結(jié)點E、F、D、C，由于忽略軸向變形，E、F、D、C

點的豎向位移為零，E、F

點及D、C

點的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：例4：

有兩個剛結(jié)點B、C，由于忽略軸向變形，B、C點的豎向位移為零，B、C點的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：§8-2 位移法未知量的確定例3：94§8-2 位移法未知量的確定

有兩個剛結(jié)點B、C，由于忽略軸向變形及B、C點的約束，B、C點的豎向、水平位移均為零，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：

桁架桿件要考慮軸向變形。因此每個結(jié)點有兩個線位移。該結(jié)構(gòu)的未知量為：

剛架（不帶斜桿的）一個結(jié)點一個轉(zhuǎn)角，一層一個側(cè)移。結(jié)論：ABCD例5：ABCD例6：§8-2 位移法未知量的確定有兩個剛結(jié)點B、C，95

排架結(jié)構(gòu)，有兩個鉸結(jié)點A、B，由于忽略軸向變形，A、B兩點的豎向位移為零，A、B兩點的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：

EA=∞ABCD§8-2 位移法未知量的確定

兩跨排架結(jié)構(gòu)，有四個結(jié)點A、B、C、D，同理A與B點、D與C點的水平位移相同，各結(jié)點的豎向位移為零，但D結(jié)點有一轉(zhuǎn)角，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：

例7：

EA=∞ABCDEFG例8：

排架結(jié)構(gòu)，有兩個鉸結(jié)點A、B，EA=∞ABCD96§8-2 位移法未知量的確定

該題的未知量為

對圖示有斜桿的剛架，未知量分析的方法是：對于轉(zhuǎn)角位移，只需數(shù)剛結(jié)點，一個剛結(jié)點一個轉(zhuǎn)角位移。對于線位移，首先把所有的剛結(jié)點變成鉸結(jié)點，然后再加鏈桿，使其變成無多余約束的幾何不變體系，加了幾根鏈桿，就是有幾個線位移。ABCDEABCDE例9：§8-2 位移法未知量的確定該題的未知量為對97§8-2 位移法未知量的確定

分析方法：

該題有一個剛結(jié)點，因此有一個轉(zhuǎn)角位移。水平線位移的分析方法：假設(shè)B結(jié)點向左有一個水平位移△，BC桿平移至B’C’，然后它繞B’轉(zhuǎn)至D點。結(jié)論：該題有兩個未知量：其中BA桿的線位移為：△BC桿的線位移為：△例10：B’C’ABCD§8-2 位移法未知量的確定分析方法：結(jié)論：△例98

剛架在均布荷載作用下，產(chǎn)生如圖曲線所示的變形?！?-3 桿端力與桿端位移的關(guān)系

剛結(jié)點B處：兩桿桿端都發(fā)生了角位移；桿長為：L未知量為：qABCEIEIqBCEI對于BC桿：其變形及受力情況與：一根一端固定一端鉸結(jié)的單跨超靜定梁，在均布荷載q以及在固定端B處有一角位移作用下的情況相同，其桿端力可以用力法求解。BC桿剛架在均布荷載作用下，產(chǎn)生如圖曲線所示的變形?！?-399

對于BA桿：其變形與受力情況相當(dāng)于：一根兩端固定的單跨超靜定梁，在B端發(fā)生了角位移的結(jié)果,其桿端力也可以用力法求解?！?-3桿端力與桿端位移的關(guān)系

結(jié)論：在桿端力與桿端位移分析時，可以把結(jié)構(gòu)中的桿件，看作一根根單跨的超靜定梁，其桿端力可以由力法求解。BABA桿對于BA桿：其變形與受力情況相當(dāng)于：一根兩端固定的單跨超100§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系彎矩正負(fù)號的規(guī)定與原來不同了，現(xiàn)在是以使桿端順時針轉(zhuǎn)為正。剪力和軸力的規(guī)定與原來相同。為此，我們要把各種單跨超靜定梁在支座位移及荷載作用下的桿端彎矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。正彎矩：對桿端是順時針轉(zhuǎn)的，對結(jié)點是逆時針轉(zhuǎn)的。

下面開始對單跨超靜定梁在支座位移及荷載作用下的桿端彎矩用力法進行逐個求解?！?-3桿端力與桿端位移的關(guān)系彎矩正負(fù)號的規(guī)101§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系1、兩端固定單元，在A端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。由力法求得：2、兩端固定單元，在B端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。由力法求得：ABEI,LMABMBAABEI,LMABMBA§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系1、兩端固定單元，在A端由102§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系3、兩端固定單元，在B端發(fā)生一個向下的位移。由力法求得：4、一端固定一端鉸結(jié)單元，在A端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。由力法求得：△ABEI,LMABMBAABEI,LMABMBA§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系3、兩端固定單元，在B端由103§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系由力法求得：6、一端固定一端滑動單元，在A端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。由力法求得：5、一端固定一端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生一個向下的位移。MABABEI,LMBA△MABMBAABEI,L§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系由力法求得：6、一端固定一104§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系由材力可知：由力法求得：7、兩端鉸結(jié)單元，在A端發(fā)生一個軸向位移。8、兩端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生一個軸向位移△?！鱁A,LABEAL△EAL△△EA,LABEAL△EAL△§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系由材力可知：由力法求得：7105§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系

●

前面研究的是：單個超靜定梁在支座位移作用下的彎矩，至于在荷載作用下的情況，可以查書上的表格。

●

前面研究的是：單個超靜定梁在一個支座位移作用下的彎矩，至于有多個支座位移同時作用的情況可以采用疊加原理進行。

兩端固定單元在荷載、支座位移共同作用下的桿端彎矩表達(dá)式：§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系●前面研究的是：單個106§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系

一端固定一端鉸結(jié)單元在荷載、支座位移共同作用下的桿端彎矩表達(dá)式：

一端固定一端滑動單元在荷載、支座位移共同作用下的桿端彎矩表達(dá)式：§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系一端固定一端107§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系利用前面得到的單跨超靜定梁的桿端彎矩表達(dá)式，就可寫出結(jié)構(gòu)中每根桿件的桿端力與桿端位移的表達(dá)式。例：桿長為：L未知量為：BC桿：可看作一端固定，一端鉸結(jié)的梁，在B端發(fā)生了轉(zhuǎn)角以及在均布荷載作用下，桿端彎矩表達(dá)式：BA桿：可看作兩端固定的梁，但是在B端支座發(fā)生了轉(zhuǎn)角，方向假設(shè)為順時針，桿端彎矩表達(dá)式：AEIBCEIq§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系利用前面得到108§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系例：未知量2個：BA桿：可看作兩端固定的梁，在B端支座發(fā)生了轉(zhuǎn)角水平位移，還有均布荷載作用下，桿端彎矩表達(dá)式：BC桿：可看作一端固定，一端鉸結(jié)的梁，在B端發(fā)生了轉(zhuǎn)角、以及在集中力作用下，桿端彎矩表達(dá)式：qEI2EIABCFPLL/2L/2§8-3桿端力與桿端位移的關(guān)系例：未知量2個：BA桿：B109§8-4利用平衡條件建立位移法方程基本思路——先拆、后裝，即：1）化整為零——逐桿寫出桿端彎矩式表達(dá)式；2）拼零為整——匯交于剛結(jié)點的各桿端彎矩應(yīng)滿足，對于任意的脫離體都應(yīng)滿足或?！?-4利用平衡條件建立位移法方程基本思路110§8-4利用平衡條件建立位移法方程

——位移法方程BA桿：桿端彎矩表達(dá)式：BC桿：桿端彎矩表達(dá)式：建立位移法方程：取B結(jié)點，應(yīng)該滿足:AEIBCEIq桿長為：L未知量為：例:

§8-4利用平衡條件建立位移法方程——位移法方程BA桿111例：未知量2個：—位移法方程①BA桿：桿端彎矩表達(dá)式：BC桿：端彎矩表達(dá)式：§8-4利用平衡條件建立位移法方程建立位移法方程：取B結(jié)點由:qEI2EIABCFPLL/2L/2例：未知量2個：—位移法方程①BA桿：桿端彎矩表達(dá)式：BC桿112§8-4利用平衡條件建立位移法方程求FQBA,取BA桿,由……②把FQBA代入②式,得:----位移法方程②建立位移法方程：取BC截面由:FQBAqFQABMABMBABA§8-4利用平衡條件建立位移法方程求FQBA,取BA桿,113§8-5位移法舉例桿長為：L

BA桿BC桿1.確定未知量未知量為:2.寫出桿端力的表達(dá)式3.建立位移法方程取B結(jié)點，由,得:……①AEIBCEIq例1:§8-5位移法舉例桿長為：LBA桿BC桿1.確定未知114§8-5位移法舉例4.解方程，得:5.把結(jié)點位移回代，得桿端彎矩6.畫彎矩圖qL28qL214qL228ABCM圖

§8-5位移法舉例4.解方程，得:5.把結(jié)點位移回代115§8-5位移法舉例例2：1.位移法未知量未知量：2.桿端彎矩表達(dá)式

3.建立位移方程取出B結(jié)點:……①……②LLqFP2EIEIABC§8-5位移法舉例例2：1.位移法未知量未知量：2116§8-5位移法舉例求FQBA求FQBC把FQBCFQBA代入方程②中得：……②后面的工作就省略了。

§8-5位移法舉例求FQBA求FQBC把FQBC117§8-5位移法舉例例3：1.位移法未知量未知量：2.桿端彎矩表達(dá)式

3.建立位移方程……①§8-5位移法舉例例3：1.位移法未知量未知量：2.118§8-5位移法舉例……②取出EG截面：取出BEG截面：……②§8-5位移法舉例……②取出EG截面：取出BEG截面：119§8-5位移法舉例位移法方程：……③……③……②……①§8-5位移法舉例位移法方程：……③……③120小結(jié)：（1）用位移法計算兩類結(jié)構(gòu)（無側(cè)移、有側(cè)移)思路與方法基本相同；（2）在計算有側(cè)移剛架時，同無側(cè)移剛架相比，在具體作法上增加了一些新內(nèi)容：

▲在基本未知量中，要含結(jié)點線位移；

▲在桿件計算中，要考慮線位移的影響；

▲在建立基本方程時，要增加與結(jié)點線位移對應(yīng)的平衡方程。§8-5位移法舉例小結(jié)：（1）用位移法計算兩類結(jié)構(gòu)（無側(cè)移、有側(cè)移)§8-5121§8-6基本體系和典型方程法1、位移法基本體系1）基本體系——單跨超靜定梁的組合體。（用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時，把每一根桿件都作為單跨超靜定梁看待）。2）構(gòu)造基本體系（1）在每個剛結(jié)點處添加一個附加剛臂——阻止剛結(jié)點轉(zhuǎn)動（不能阻止移動）；（2）在可能發(fā)生線位移的結(jié)點，加上附加鏈桿——阻止結(jié)點線位移（移動）?！?-6基本體系和典型方程法1、位移法基本體系（1）在每個122§8-6基本體系和典型方程法例：構(gòu)造圖示結(jié)構(gòu)位移法的基本體系。▲

未知量2個：基本體系

在有轉(zhuǎn)角位移的結(jié)點處先加一剛臂，阻止轉(zhuǎn)動，然后再讓其發(fā)生轉(zhuǎn)角。經(jīng)過以上處理，原結(jié)構(gòu)就成為一個由n個獨立單跨超靜定梁組成的組合體——即為位移法的基本體系。在有線位移的結(jié)點處先加一鏈桿，阻止線位移，然后再讓其發(fā)生線位移。EIEIABCLqLq原結(jié)構(gòu)§8-6基本體系和典型方程法例：構(gòu)造圖示結(jié)構(gòu)位移法的基本體1232、利用基本體系建立位移法方程1）基本原理

——先鎖、后松。鎖住——將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成基本結(jié)構(gòu)。把原結(jié)構(gòu)“拆成”孤立的單個超靜定桿件；放松——將基本結(jié)構(gòu)還原成原結(jié)構(gòu)。即強行使“鎖住”的結(jié)點發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角或線位移?！?-6基本體系和典型方程法2）位移法典型方程的建立與求解2、利用基本體系建立位移法方程1）基本原理§8-6基本體系124§8-6基本體系和典型方程法EIEIABCqLL

原結(jié)構(gòu)

EIEIABCq

基本體系3i4i2i

M1圖×Z1

M2圖×Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1

MP圖==++6EIL26EIL2在M1、M2、MP三個圖中的附加剛臂和鏈桿中一定有力產(chǎn)生，而三個圖中的力加起來應(yīng)等于零。§8-6基本體系和典型方程法EIEIABCqLL原結(jié)構(gòu)125§8-6基本體系和典型方程法3i4i2i

M1圖×Z1Z1=1Z1

基本體系EIEIABCqZ2qL28

MP圖+6EIL26EIL2

M2圖×Z2Z2=1+=k11k21F1Pk22F2Pk12附加剛臂和鏈桿上產(chǎn)生的力§8-6基本體系和典型方程法3i4i2iM1圖×Z126§8-6基本體系和典型方程法

位移法典型方程由反力互等定理可知：

在M1、M2、MP三個圖中附加剛臂和鏈桿中產(chǎn)生的附加力加起來應(yīng)等于零，則有：方程中的系數(shù)和自由項就是M1、M2、MP三個圖中剛臂和鏈桿中產(chǎn)生的附加力?！?-6基本體系和典型方程法位移法典型方程由反力互等127§8-6基本體系和典型方程法求系數(shù)和自由項——方法是：取各個彎矩圖中的結(jié)點或截面利用平衡原理求得。由M2圖：由M1圖：3i4ik11k11k21FQBA6i/Lk12k12k22FQBA§8-6基本體系和典型方程法求系數(shù)和自由項——方法是：取各128§8-6基本體系和典型方程法由MP圖：把系數(shù)和自由項代入典型方程，有：——位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0§8-6基本體系和典型方程法由MP圖：把系數(shù)和自由項代入典129§8-6基本體系和典型方程法3、解方程，得結(jié)點位移4、畫彎矩圖計算步驟:1、確定未知量，畫出基本結(jié)構(gòu)；2、畫出M1、…MP圖；3、求出系數(shù)和自由項，得到位移法方程；4、解方程，得到結(jié)點位移；5、按下式畫彎矩圖：§8-6基本體系和典型方程法3、解方程，得結(jié)點位移計算步驟130§8-6基本體系和典型方程法如果結(jié)構(gòu)有n個未知量，那么位移法方程為：

其中：是主系數(shù)，永遠(yuǎn)是正的。是副系數(shù)，有正有負(fù)。由反力互等定理可知：——物理意義是：由第j個結(jié)點位移發(fā)生單位位移后，在第i個結(jié)點位移處產(chǎn)生的反力?！?-6基本體系和典型方程法如果結(jié)構(gòu)有n個未知量，那么位移131§8-6基本體系和典型方程法例1：用典型方程法計算圖示結(jié)構(gòu)，桿長均為L，EI為常數(shù)。解：1、未知量：2、基本結(jié)構(gòu)如上圖所示3、位移法方程MABCEDLLL原結(jié)構(gòu)CMABED

Z3

Z1

Z2§8-6基本體系和典型方程法例1：用典型方程法計算圖示結(jié)構(gòu)132§8-6基本體系和典型方程法4、求系數(shù)和自由項取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面：

Z1=1ABEDi4i2i3iM1圖§8-6基本體系和典型方程法4、求系數(shù)和自由項取B結(jié)點：133§8-6基本體系和典型方程法取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面：

Z2=14i2i2i4iM2圖§8-6基本體系和典型方程法取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面134§8-6基本體系和典型方程法取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面：

Z3=13i/L6i/L6i/LM3圖§8-6基本體系和典型方程法取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE135§8-6基本體系和典型方程法MP圖取B結(jié)點：取E結(jié)點：取BE截面：

M§8-6基本體系和典型方程法MP圖取B結(jié)點：取E結(jié)點：136§8-6基本體系和典型方程法把系數(shù)和自由項代入位移法典型方程中，得：后面的計算省略了?！?-6基本體系和典型方程法把系數(shù)和自由項代入位移法典型方137§8-6基本體系和典型方程法例2：用典型方程法計算圖示桁架，桿長EA為常數(shù)。解：1、未知量：2、基本結(jié)構(gòu)如上圖所示原結(jié)構(gòu)3、位移法方程BCDAFP1FP2FP1FP2Z4Z2基本體系BCDAZ5Z3Z1§8-6基本體系和典型方程法例2：用典型方程法計算圖示桁架138§8-6基本體系和典型方程法4、求系數(shù)和自由項取D結(jié)點：取B結(jié)點：取C結(jié)點：BCDAZ1=1EA2LEALN1圖EALEA2LEA2LEAL§8-6基本體系和典型方程法4、求系數(shù)和自由項取D結(jié)139小結(jié)：

——與力法進行對此分析。位移法分析超靜定結(jié)構(gòu)，其解題步驟與方法同力法極為相似。（1）確定基本未知量，取基本體系。未知量：力法——多余未知力； 位移法——未知角位移、線位移?；倔w系：力法——靜定結(jié)構(gòu)；位移法——單跨超靜定梁的組合體。§8-6基本體系和典型方程法小結(jié)：——與力法進行對此分析。位移法分析超靜定結(jié)未知140（2）列典型方程建立方程力法——去掉多余約束處的位移條件；

條件： 位移法——附加約束上約束反力的平衡條件。方程的力法——變形協(xié)調(diào)方程；性質(zhì)：位移法——力的平衡方程?！?-6基本體系和典型方程法（3）作

MP、圖，求系數(shù)和自由項M力法：

先作出靜定結(jié)構(gòu)分別在載荷FP、多余未知力作用下的彎矩圖MP、

；Mi（2）列典型方程方程的力法——變形協(xié)141

然后應(yīng)用圖乘法求出載荷FP，單位多余未知力（xi=1)所引起的去掉多余未知力處的位移，即系數(shù)和自由項：ΔiP、δij、

δii、

δjj；§8-6基本體系和典型方程法位移法：

先作出基本體系分別在載荷FP、單位位移（i=1)作用下所引起的彎矩圖（借助于轉(zhuǎn)角位移方程或圖表畫）；然后利用結(jié)點或截面的平衡，求出剛臂中的反力矩和鏈桿中的反力，即位移法的系數(shù)和自由項F

i

p、k

i

j、k

i

j、k

ii：然后應(yīng)用圖乘法求出載荷FP，單位多余未知力（xi=1142（4）解典型方程，求基本未知量力法：

解多元一次方程組，求得多余未知力xi；位移法：

解多元一次方程組，求得結(jié)點角位移與結(jié)點線位移Zi。（5）繪制最后內(nèi)力圖——采用迭加法。§8-6基本體系和典型方程法力法：位移法：

（4）解典型方程，求基本未知量力法：§8-6基本143§8-7對稱性的利用對于對稱結(jié)構(gòu)用位移法求解時，可以取半剛架進行計算，所以下面先介紹半剛架的取法。紅線是結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的變形，對稱點C的位移和內(nèi)力如下：取半剛架如左圖所示：在C點用滑動支座描述它的位移和內(nèi)力以單跨剛架為例1、奇數(shù)跨對稱剛架在對稱荷載作用下§8-7對稱性的利用對于對稱結(jié)構(gòu)用位移法求144§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的變形，對稱點C的位移和內(nèi)力如下：取半剛架如左圖所示：2、偶數(shù)跨對稱剛架在對稱荷載作用下以雙跨剛架為例

在C點應(yīng)用固定支座描述它的位移和內(nèi)力，CB桿由于處在對稱軸上，彎矩等于零，因此沒有必要畫上去?！?-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的取半145§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的變形，對稱點C的位移和內(nèi)力如下：取半剛架如左圖所示：在C點應(yīng)用豎向可動鉸支座描述它的位移和內(nèi)力3、奇數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下以單跨剛架為例§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下取半146§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的變形，在對稱點C處只有一對剪力FQC存在。取半剛架如下圖所示：4、偶數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下以雙跨剛架為例對原結(jié)構(gòu)進行改造，如圖1、圖2所示。圖1圖2FPFP§8-7對稱性的利用紅線是結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下取147小結(jié)：

（1）對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用時，變形一定對稱，在對稱點處只有對稱內(nèi)力存在，反對稱的內(nèi)力一定為零；（2）對稱結(jié)構(gòu)受反對稱荷載作用時，變形一定反對稱，在對稱點處只有反對稱內(nèi)力存在，對稱的內(nèi)力一定為零；（3）對于對稱結(jié)構(gòu)，若荷載是任意的，則可把荷載變換成：對稱與反對稱兩種情況之和；（4）在對稱結(jié)構(gòu)計算中，對取的半結(jié)構(gòu)，可選用任何適宜的方法進行計算（如位移法、力法），其原則就是哪一種未知量個數(shù)少，就優(yōu)先選用誰。§8-7對稱性的利用小結(jié)：（1）對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用時，變形一定對稱，在對稱148§8-7對稱性的利用例1：利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)，EI為常數(shù)。解：由于有兩根對稱軸，可以取1/4剛架進行計算。原結(jié)構(gòu)1、未知量：2、桿端彎矩表達(dá)式：LqqLACBD基本體系qAEFL/2L/2§8-7對稱性的利用例1：利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)，EI為149§8-7對稱性的利用……①3、建立位移法方程4、解方程，得：5、回代，得桿端彎矩：6、畫彎矩圖qL224qL224qL224qL224qL212M圖

§8-7對稱性的利用……①3、建立位移法方程4、解方程150§8-7對稱性的利用例2：利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)。所有桿長均為L，EI也均相同。原結(jié)構(gòu)解：1、由于該結(jié)構(gòu)的反力是靜定的，求出后用反力代替約束。

2、該結(jié)構(gòu)有兩根對稱軸，因此把力變換成對稱與反對稱的。==原結(jié)構(gòu)=對稱+反對稱FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4+§8-7對稱性的利用例2：利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)。原