數(shù)字邏輯設(shè)計與應(yīng)用：Lec04 Chap. 2 Number systems and Codes

1DigitalLogicDesignandApplication

Lecture#4Chap.2NumbersystemsandCodesUESTC,Spring2013Introduction所有信息都可以用有限位的二進(jìn)制數(shù)字表示，因此數(shù)字系統(tǒng)可以處理任何信息。如何用二進(jìn)制數(shù)字量來表示、運算信息模擬量有正、負(fù)之分模擬量有整、零之別除了二進(jìn)制還有其他表示方法嗎不能或不便抽象為兩值子集的信息如何處理？2學(xué)習(xí)要求掌握：十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)的表示方法以及它們之間的相互轉(zhuǎn)換、二進(jìn)制數(shù)的運算；符號數(shù)的表達(dá)：符號-數(shù)值碼（Signed-MagnitudeSystem、原碼），二進(jìn)制補碼(two'scomplement，補碼)、二進(jìn)制反碼（ones'complement,反碼）表示以及它們之間的相互轉(zhuǎn)換；符號數(shù)的運算；溢出的概念。掌握：其他信息的編碼表達(dá)：BCD碼（BinaryCodesforDecimalnumbers）、n中取1碼（獨熱碼）、格雷碼（Graycode）的特點及其與二進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；了解：模擬信息的數(shù)字表達(dá)：A/D轉(zhuǎn)換的基本概念；了解：字符的代碼表示，二進(jìn)制代碼在狀態(tài)、條件等的表示方面的應(yīng)用；32.1PositionalNumbersystem用進(jìn)位的方法進(jìn)行計數(shù)的數(shù)制稱為進(jìn)位計數(shù)制(或按位計數(shù)制PositionalNumbersystem)。4DigitRadixNumberWeightedsumofthedigits.Weight2.1PositionalNumbersystem5數(shù)制的三要素為：數(shù)碼(digit)：0~r-1，進(jìn)位規(guī)律：逢r進(jìn)一，借一當(dāng)r。基數(shù)(base/radix)：數(shù)碼的進(jìn)制數(shù)r，也稱為基數(shù)（底數(shù)）。位權(quán)(weight)：ri，數(shù)碼在一個數(shù)中的位置不同，其大小就不同。i是數(shù)碼所在的位置，稱為數(shù)位。2.1PositionalNumbersystemDecimal（十進(jìn)制）Digit：0~9，逢10進(jìn)1，借1當(dāng)10Weight：(10)10

iRadix：10

2.1PositionalNumbersystemBinary

(二進(jìn)制)Digit：0~1，逢2進(jìn)1，借一當(dāng)2Weight：(2)10

iRadix：2二進(jìn)制的優(yōu)點：運算簡單，電路簡單，工作可靠。數(shù)字電路中多使用二進(jìn)制.二進(jìn)制的不足：一個較大的十進(jìn)制用二進(jìn)制表示需要較多的位，為了克服二進(jìn)制書寫太長的缺點，常用八進(jìn)制和十六進(jìn)制。2.1PositionalNumbersystemOctal（八進(jìn)制）Digit：0~7，逢8進(jìn)1，借1當(dāng)8Weight：(8)10

iRadix：8

Hexadecimal（十六進(jìn)制）Digit：0~9A~F（10~15)，逢16進(jìn)1，借1當(dāng)16Weight：(16)10

iRadix：162.2Octal&HexadecimalNumbers計數(shù)制數(shù)碼位權(quán)基數(shù)舉例十進(jìn)制0~910i10(123)10（456.321）D二進(jìn)制0,12i2(1010)2(1001.101)B八進(jìn)制0~78i8(567)8(745.217)O十六進(jìn)制0~9、A~F16i16(2A2B)16(1B3.EC)H下標(biāo)：D:Decimal;

B:Binary；

O:Octal;H:Hexadecimal2.2Octal&HexadecimalNumbers2.2Octal&HexadecimalNumbers任何一種數(shù)制的權(quán)以本身數(shù)制來表示都是10i；任何一種數(shù)制，相同數(shù)碼所表示的數(shù)值大小都是相等的；任何一種數(shù)制，乘以基數(shù)r等于將數(shù)字向左移動一位，除以基數(shù)r等于將數(shù)字向右移動一位；幾個術(shù)語最高有效位（MostSignificantBit，MSB）最低有效位（LeastSignificantBit，LSB）任何一種數(shù)制，其位權(quán)均是左高右低。11122.3GeneralPositional-Number-SystemConversion2.3.1Radix-r-to-Decimal(R進(jìn)制-十進(jìn)制)Example1：(101.01)2=()10(7F.8)16=()105.25127.5Ashortcut?

(F1AC)16=((

(

F16

)

+1

)

16+A)16+CMethod:usetheformulanestedexpansionformula嵌套形式(0.1101)2=()2/=()10=2.3GeneralPositional-Number-SystemConversion13Fractionpartconversion(小數(shù)的轉(zhuǎn)換)任意數(shù)制的小數(shù)部分均小于1；數(shù)制轉(zhuǎn)換不影響整數(shù)和小數(shù)部分；可以分開轉(zhuǎn)換，按權(quán)展開；也可以按照整數(shù)處理，最后移動小數(shù)點。

2.3.1Radix-r-to-Decimal(R進(jìn)制-十進(jìn)制)Example：(0.1101)2=(

)10=()10(10.11)2=()10142.3.2Decimal-to-Radix-rConversions(十進(jìn)制-R進(jìn)制)Converttheintegerandfractionalpartsseparatelyandaddtheresultsafterwards.（1）Integerpart:Successivelydividenumberbyr,takingremainderasresult.Example:Convert5710tobinary57/2=28remainder1(LSB) /2=14remainder0 /2=7remainder0/2=3remainder1/2=1remainder1/2=0remainder1(MSB)Ans:11100122.3GeneralPositional-Number-SystemConversion152.3.2Decimal-to-Radix-rConversions(十進(jìn)制-R進(jìn)制)（2）FractionalPartSuccessivelymultiplynumberbyr,takingintegerpartasresultandchoppingoffintegerpartbeforenextiteration.Maybeunending!Example:convert.310tobinary..3*2=.6integerpart=0.6*2=1.2integerpart=1.2*2=.4integerpart=0.4*2=.8integerpart=0.8*2=1.6integerpart=1.6*2=1.2integerpart=1,etc.Ans:.01001122.3GeneralPositional-Number-SystemConversion162.3.2Decimal-to-Radix-rMethod:RadixMultiplicationorDivision

100111000.010112.3GeneralPositional-Number-SystemConversionIntegerParts整數(shù)部分：除r取余，逆序排列

Example2：(156)10=()2DecimalFraction小數(shù)部分：乘r取整，順序排列

Example3：(0.37)10=()2<2-5172.3.2Decimal-to-Radix-rMethod:RadixMultiplicationorDivision

2.3GeneralPositional-Number-SystemConversionIntegerParts整數(shù)部分：除r取余，逆序排列DecimalFraction小數(shù)部分：乘r取整，順序排列2.3GeneralPositional-Number-SystemConversion2.3.2Decimal-to-Radix-r18Example4：Require

<10-2

，completethefollowingconversion(617.28)10=()21001101001.01000112-n<=<10-2n=72.3GeneralPositional-Number-SystemConversion八進(jìn)制/十六進(jìn)制的權(quán)是2的冪，因此與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換十分容易；一位八進(jìn)制數(shù)碼可用3位二進(jìn)制數(shù)碼表示；一位十六進(jìn)制數(shù)碼可用4位二進(jìn)制數(shù)碼表示；不足位補零。192.3.2BinarytoOctal/Hex(100110)2=()846(100110)2=()2=()16001001102620(001011000110)2=()102.3GeneralPositional-Number-SystemConversion2.3.2BinarytoOctal/HexUseHexadecimalasthemiddlestatebetweenBinaryandDecimal.(001011000110)2=()16=()102C6710(10001)10=()2(10001)10=()16=()2271100100111000100012.3GeneralPositional-Number-SystemConversion小數(shù)轉(zhuǎn)換的精度轉(zhuǎn)換時不應(yīng)低于原精度受實際數(shù)字系統(tǒng)的限制可以采取零舍一入的近似方法:即小數(shù)點后第n+1位是1則將其進(jìn)位到第n位,如為零,則舍去,結(jié)果為小數(shù)點后n位.212-n<=<10-m222.4AdditionandSubtractionofNondecimalNumbersBinaryAddition:SCoutXYCinAdderDBoutXYBinSubtracter23BinaryadditiontruthtableTab.2-3InputOutputXYCinSCout0000001010100101100100110011011010111111ParityCheck24BinarysubtractiontruthtableTab.2-3inputoutputXYBinBoutD00000010111000111000001110111010100111112.4AdditionandSubtractionofNondecimalNumbersexample2510111110+1000110110101010–01010101UsetruthtableUsethebasicfunctionunit

101001011

0101

0101Builda4-bitunsignednumberfulladder.262.5RepresentationofNegativeNumbers無符號數(shù)加法的溢出(overflow)及處理10111110+10001101

101001011

190

+141331為什么使用符號數(shù)，什么時候使用符號數(shù)符號數(shù)的表示272.5RepresentationofNegativeNumbersSigned-MagnitudeRepresentation符號-數(shù)值表示法/原碼MSBasthesignbit(0=plus,1=minus)

000010012=+910 100010012=?910

011111112=+12710 111111112=?12710000000002=+010 100000002=?010TherearetwopossiblerepresentationsofZero.Ann-bitsigned-magnitudeintegerrangeis–(2n-1–1)~+(2n-1–1)Anequalnumberofpositiveandnegativeintegers.Adderforsigned-magnitudenumberismuchdifficult.282.5RepresentationofNegativeNumbers原碼不能做加法TheneedforComplementNumberSystems

00111101+1011110111111010A+(-A)≠0A+(-A)=0+3011-3101有了補碼，可以用加法完成減法,單獨的減法規(guī)則就是不必須的。2.5RepresentationofNegativeNumbersComplementNumberSystemsRadix-ComplementRepresentation（基數(shù)補碼）Thecomplementofann-digitnumberisobtainedbysubtractingitfromrn。IfanumberDiscomplementedtwice,theresultisD.Takingthecomplementismoredifficultthanchangingthesign,buttwonumberscanbeaddeddirectly.Howtomakeiteasy?292.5RepresentationofNegativeNumbers30Example5.若字長是一個字節(jié)，試求－119的補碼。解：－119的絕對值：119＝01110111則其補碼可以通過下式算法得到：

28：100000000減去－119絕對值：?

01110111 －119的補碼： 10001001-119:10001001+119:01110111

100000000舍去MSB的進(jìn)位312.5RepresentationofNegativeNumbersComplementNumberSystemsDiminishedRadix-Complement（基數(shù)減1補碼/反碼）TheDiminishedRadix-Complementofann-digitnumberisobtainedbysubtractingitfromrn-1.32Ones’–ComplementRepresentation(二進(jìn)制反碼)Thesignbitdoesn’tchange,otherbitsconversebasedonthesigned-magnitude.

符號位不變，其余在原碼基礎(chǔ)上按位取反Two’s-ComplementRepresentation(二進(jìn)制補碼)Ones’–complement+1OnlyonerepresentationsofZero

Ann-bittwo’s-complementrangeis

–2n-1~+(2n-1–1)Expandingthesignbit(符號位擴展)

2.5RepresentationofNegativeNumbers33Example5.若字長是一個字節(jié)，試求－119的補碼。解：首先計算－119的絕對值：119＝01110111則其補碼可以通過下式算法得到：

全1碼： 11111111

減去－119絕對值： 01110111 －119的反碼： 10001000 加1：

1 －119的補碼： 1000100134NOTEPositivenumberhasthesame：Sign-Magnitude,Ones’-Complement,andTwo’s-Complement正數(shù)的原碼、反碼、補碼相同35[[D]反]反=D[[D]補]補=D1、8位二進(jìn)制表示：原碼反碼補碼100011011111001011110011Example6：Writethe8-bitsigned-magnitude,two’s-complementrepresentationsforeachofthesebinarynumbers.(–1101)2(–0.1101)2原碼反碼補碼1.11011.00101.00112.5RepresentationofNegativeNumbers為什么補碼可以做加法?為什么二進(jìn)制的補碼是按位取反再加1?為什么正數(shù)的原/反/補碼相同?3637OnlyonerepresentationsofZero

(零只有一種表示)0＝00000000逐位取反11111111

＋1約定8位00000000＝010000000=??約定8bit字長，補碼表示范圍－128～127

-8382.5RepresentationofNegativeNumbersOnes’–ComplementRepresentation(二進(jìn)制反碼)符號位不變，其余在原碼基礎(chǔ)上按位取反或者在相應(yīng)正數(shù)的基礎(chǔ)上按位取反Two’s-ComplementRepresentation(二進(jìn)制補碼)Ones’–complement+1OnlyonerepresentationsofZero

Ann-bittwo’s-complementrangeis

–2n-1~+(2n-1–1)Extranumber,?2n?1,doesn’thaveapositivecounterpartTheweightoftheMSBis?2n?1

insteadof+2n?1.Expandingthesignbit(符號位擴展)

十進(jìn)制二進(jìn)制原碼二進(jìn)制反碼二進(jìn)制補碼-8————1000-7111110001001-6111010011010-5110110101011-4110010111100-3101111001101-2101011011110-110011110111101000或00001111或000000001000100010001200100010001030011001100114010001000100501010101010160110011001107011101110111Table2-6Decimaland4-bitnumbers原碼/反碼/補碼的小結(jié)為了表示負(fù)數(shù)才需要符號數(shù)的原碼;為了保證原碼加減法的正確才需要負(fù)數(shù)的補碼表達(dá)形式;正數(shù)的原/反/補碼相同.從正數(shù)A計算-A的補碼有兩種等效方法:-A的補碼=2n-A=A的原碼按位取反(帶符號位)+1。從負(fù)數(shù)-A計算-(-A)的補碼有兩種等效方法:-(-A)的補碼=2n-(-A)補=(-A)的補碼按位取反+1。正數(shù)的補碼MSB為0，負(fù)數(shù)的補碼MSB為1.N位二進(jìn)制原碼/反碼/補碼均可以表示2n個數(shù)。二進(jìn)制原碼和反碼中零有兩種表達(dá)形式,補碼中零只有一種表達(dá)方式,即+0。N位二進(jìn)制補碼可以表示-2n-1,原碼/反碼中沒有。二進(jìn)制原/反/補碼均有順序遞增/減的規(guī)律。40反碼410000000100100011010001011000100110101101111111101011110001110110+0+1+2+3+4+587631254+7+64-bittwo’s-complementnumbers422.6Two’s-ComplementAdditionandSubtractionAdditionRules:Byordinarybinaryaddition,ignoringanycarriesbeyondtheMSB;Nodifferentcasesbasedonoperands’signs!按照無