2018年成人高考《高等數(shù)學(xué)(一)》模擬試題和答案詳解(三)

2018(一)（三）5420有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。*1x0

fxex22x31 gxx2與 比較是（）fx)gx高階的無窮小量fx)gx低階的無窮小量fxgx是同階無窮小量，但不是等價無窮小量fxgx是等價無窮小量f(x)

ex22x31

，

f(x)

limx22x

x1解析：

g(x) x2

x0g(x) x0 x2

x0故選C。*2.設(shè)函數(shù)

fx，則

f'0

等于（）A.2003

B.2003 C.2003! D.2003!f(x)f(0)解析：

f'(limx0

x0

lim(x1)(x2)……(xx0選C3.設(shè)

3，0，4，則向量

在向量

上的投影為（）665 566A. B.1 C.

D.1*4y1、y2y"Py'

y0的兩個特解則cy c2y（）1 2是所給方程的解，但不是通解C.是所給方程的通解D.不是所給方程的通解

1 1 2解：y1、y2c

c2

y"Py'

y0的通解；當(dāng)y1、y2線性1 1 2 1 2相關(guān)時，不是通解，故應(yīng)選B。axn*5.設(shè)冪級數(shù)n0 在x2處收斂，則該級數(shù)在x1處必定（）nA.發(fā)散C.絕對收斂

B.條件收斂D.斂散性不能確定n0

axnn

在x2處收斂，故冪級數(shù)的收斂半徑R2，收斂區(qū)間(2，2)，而12，2R，R，故故應(yīng)選C。

n1

axnn

在x1處絕對收斂。10104406.設(shè)

fx4x23x，g(x)fex，則

g'x 。lim1

k2xe7.

x

，則k 。8.函數(shù)yx55x5在區(qū)間上的最小值。9.設(shè)a0，則

axb2002dx 。*10.定積分

1x1ex22xdx10 11xex22xdx

11ex22xd(x

2x)

1 ex22x

e3

1解：0

20 3

2 0 2*11.廣義積分1

x2dx 。

x3dx

b

3dxlim2x

12lim2112

122221解：1 b1 b2221y y

b *12.設(shè)

zlnyyexcosxy，則 。cosxy

lnyyex

cosx1 y[lnyyex] cosx1 1 cosxlnyyex

exy 13.微分方程y"2y'2y0的通解。*14.冪級數(shù)

n1

n1xn2n的收斂半徑。a

n1 12n

，a n1

12n1limn

limnan1an1an

(1)n1

1 112n2 R212n，所以收斂半徑為12n1設(shè)區(qū)域D由yyxy12n1

xdxdyD 。139016～25626～第28題每小題10分。解答時要求寫出推理，演算步驟。limxcos求極限x

1。 1*17.設(shè)

f(x)

exk

x1x1，試確定k的值使f(x)在點x1處連續(xù)。 1 limf(x)lim1e解：x1 x1

x121x1fxx1處連續(xù)，應(yīng)有kflimf(x)x1設(shè)yex

xe

e，求曲線上點處的切線方程。f(x) '(x)dx設(shè)x2x是 的原函數(shù)，求0 。2z，2z設(shè)zxexsiny，求。*21.已知平面1：x2yz122xyz3。求過點

M、0 且與平面1

2都垂直的平面的方程。1的法向量為

1，2，1，

2的法向量2

2，1，11 所求平面與都垂直，故1 1

12

j kk2 13j5k2 1 1所求平面又過點

M1x1100 ，故其方程為：即：x3y5z9022n1

n1 1n2n2n

的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂。*23.求微分方程

y'

yx x

滿足初始條件

y|x

0的特解。p(x)dx

1dx 1 1dx ye

q(x)ep(x)dxdxc e

x e 1 x21

dxceln1

1elnxdx

1

dx

1xcxx2

x

xy由x1

00c

y，故所求特解為

lnxx*24.求

xydxdyD

，其中區(qū)域Dyx3，yx3y1所圍成。因區(qū)域關(guān)于y軸對稱，而x是奇函數(shù)，故

xdxdy0Dydxdy2ydxdy2x

ydy0 x3D D1211y202

1dx 1(1x6)dx0x3x

1 1 67x770y(1,1)D10 x*25y"4y'3y9e3x的通解。r

4r30r1

1，r2

3故對應(yīng)的齊次方程y"4y'3y0的通解為ycex

ce3x（1）1 2因3是特征值，故可設(shè)特解為y*Axe3x y*'Ae3x3Axe y*"3Ae3x3Ae3x3Axe3x 6Ae3x9Axe3x代入原方程并整理得：9y*xe3x92

2Ae3x9e3xA 9299故所求通解為：

yc1

exc2

e3xxe3x226.求函數(shù)

fx

xlntdt12 的極值點與極值，并指出曲線的凸凹區(qū)間。*27.將函數(shù)

fx 1x5x6展開成x的冪級數(shù)。1 1 1 1 1 1 1f(x)

x2

x32

x 3 x1 2

1 31 x

1 x

n 1

1 2 22n0

3n0

3

1n0

2n1

xn3n1

2x2fx,yyx2y2*28.求函數(shù) 的極值點與極植。f 42x0xfy42y0解：令解得唯一的駐點（2，-2）22

2，2f

0，22

2A2，B0，C2ACB40A0，知（2，-2）fxy)的極大值點極大值為f(2,2)4(22)448參考答案一.f(

ex22x31

，

f(x)

limx22x

x11.g(x) x2

x0g(x) x0 x2

x0故選C。f'(2. x0選C

f(x)f(0)x0

lim(x1)(x2)……(xx0ba在bb

bb

bbP aab)a

rjb

b3202421310320242應(yīng)選B解：y1、y2c

c2

y"Py'

y0的通解；當(dāng)y1、y2線1 1 2 1 2性相關(guān)時，不是通解，故應(yīng)選B。axn解：n0 在x2處收斂，故冪級數(shù)的收斂半徑R2，收斂區(qū)間(2，2)，而n12，2R，R，故故應(yīng)選C。二.

n1

axnn

x1處絕對收斂。

f(x)4x28x45x52x2

12令ux1

f(u)4u2

2f(x)4x

5x2g(x)f ex 4e2x5ex2g'(x)8e2x5ex

lim1x

k2x

lim1x

x2kkkx

e2ke2k1，k12x8解y'5x50x，)故y在[5上嚴(yán)格單調(diào)遞增于是最小值是y| 1xaxb2002dx

1axb2002d(axb) 1 axb2003c解：

a 1xex22xdx

11ex22xd(x

2x)

1 ex22x

e3

111

0 3

20 212b 12

0 2 11解：

x2dxlim b1

2dxlim2xb

lim21b22b 1

cosx

lnyyex

cosx1 y[lnyyex] cosx1 1 cosxlnyyex

exy 解：

r22r20，r 22 48

1i通解為

yexc1

cosxc2

sinxa11

n1 12n

，a n1

12n112n1alim n1 lim12n1a

n11 1

R 2n a n

2n 2

，所以收斂半徑為xdxdydyyxdx1

111y2dy y3 11yDOyDOx

0 0 02 6 60三.cos11

11limxcos1lim x

2x

lim10

x

x

x 1 x 1 x2xx x 1 limf(x)17.解：x1 x1

x121x1fxx1處連續(xù)，應(yīng)有kflimfx)x1y'exexe1，y' 2e ky' 2e18.解： x1 ，切線的斜率為 x1y exy2e1y ex切線方程為： ，即19.x2xfx的原函數(shù)fx2x1f'x2xf'(x)dx2xdxx2110 0

0

2z

x

xexsiny

exxex

siny，

x1excosy2z

xexcosy，

x

xexcosy

x1excosy

1的法向量為1 ，2的法向量21 所求平面與都垂直，故1 1

12

j kk2 13j5k2 1 1所求平面又過點

M1x1100 ，故其方程為：即：x3y5z901 1n2n2nn解：

滿足（i）

un1

limu（i）n

lim 0n2n2n由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂1limn 1

lim 1n2n1n 1 n2n1又因 n n

n

n，則n1

n1 1n2n

1n2nn2n

Vn與n1

n1

1n同時發(fā)散。故原級數(shù)條件收斂。p(x)dx

1dx 1 1dx 11

ye

q(x)ep(x)dxdxc e

x e x x2

dxceln1

1elnxdx

1

dx

1lnxcxx2

x

xy由x1y

00c y，故所求特解為

lnxx因區(qū)域關(guān)于y軸對稱，而x

xdxdy0Dydxdy2ydxdy2x

ydy0 x3D D1211y202 1

1dx 1(1x6)dx0x31x7x7 70r

4r30r1

1，r2

3y"4y'3y0yce

ce3x（1）1 2因3是特征值，故可設(shè)特解為y*Axe3xy*'Ae3x3Axe