倒易點陣和晶體的衍射方向課件

螺旋軸（screwaxis)即平移和旋轉(zhuǎn)軸的偶合

晶體學中很常見的對稱元素，記作nm，n表示螺旋軸的階次，m表示沿軸平移的分量c21軸，180度，平移1/2c31軸，120度，平移1/3c螺旋軸（screwaxis)即平移和旋轉(zhuǎn)軸的偶合1滑移面和螺旋軸對稱元素符號平移量軸滑移面a、b、ca/2、b/2、c/2對角滑移面n(a+b)/2或(a+c)/2或(b+c)/2菱形滑移面d(a±b)/4或(a±c)/4或(b±c)/4二重螺旋軸21a/2或b/2或c/2三重螺旋軸31、32c/3、2c/3四重螺旋軸41、42、43c/3、2c/3、3c/4六重螺旋軸61、62、63、

64、65c/6、2c/6、3c/6、4c/6、5c/6利用這所有的對稱元素就能推導出描述晶體中所有可能的內(nèi)部對稱性排列的230個空間群滑移面和螺旋軸對稱元素符號平移量軸滑移面24．不對稱單元

在空間群的對稱操作作用下，可以產(chǎn)生晶胞中全部原子的最少數(shù)目的原子或原子團，就叫不對稱單元（位）（asymmetricunit)，也叫晶體學獨立單元

(crystallographicindependentunit)

在晶體結(jié)構(gòu)解析中，獨立單元中常常只有一個分子，甚至半個、不足半個，有時也會二個、三個。三、空間群

1．空間群和Laue群

空間群可以明確說明一種晶體可能具有的對稱元素種類及其在晶胞中的位置，故在晶體結(jié)構(gòu)解析中，了解晶體的空間群十分重要晶體點陣結(jié)構(gòu)的空間對稱操作群稱為空間群4．不對稱單元在空間群的對稱操作作用下，可以產(chǎn)生3晶體的宏觀對稱性是在晶體結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上表現(xiàn)出的相應對稱性

由于宏觀上，晶體不具備平移對稱性，晶體結(jié)構(gòu)中的螺旋軸和滑移面，分別表現(xiàn)為宏觀的旋轉(zhuǎn)軸和鏡面

則230個空間群又可歸并為32個點群，又只表現(xiàn)出11種中心對稱點群稱為Laue群

實際上，Laue群就是忽略了反常散射條件下，晶體X射線衍射花樣的11種中心對稱點群

Laue群、點群、空間群一些參考書中都可查到，特別是在“X-射線晶體學國際表”中對230個空間群有詳細的描述，并附有完整的圖示和其它有用的資料晶體的宏觀對稱性是在晶體結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上表現(xiàn)出的相應對稱性42．空間群的國際記號國際記號的格式：P1、C2/c、Pnma符號中，第一個斜體大寫字母表示Bravais點陣的種類，其后最多三個位置，表示主要的對稱操作，字母小寫用斜體，數(shù)字用正體2．空間群的國際記號國際記號的格式：P1、C2/c、Pnm5各晶系空間群國際記號中三個位置代表的方向晶系可能的點陣位置所代表的方向123三斜triclincP一一一單斜monoclincP，Cb一一正交orthorhombicP，C，F(xiàn)，Iabc四方tetragonalP，Ica(110)六方hexagonalPca(210)三方trigonalRca(210)正方cubicP，F(xiàn)，Ic(111)(110)各晶系空間群國際記號中三個位置代表的方向晶系可62．2衍射幾何和結(jié)構(gòu)因子

一、X-射線與衍射幾何

1．X-射線的產(chǎn)生

X-射線（光）管,真空度10-4Pa

30~60kV的加速電子流，沖擊金屬（如純Cu或Mo）靶面產(chǎn)生

常用MoKα射線，包括Kα1和Kα2兩種射線（強度2:1），波長71.073pmCuKα射線的波長為154.18pm2．2衍射幾何和結(jié)構(gòu)因子一、X-射線與衍射幾何1．X72．衍射幾何

晶體的點陣結(jié)構(gòu)類同于光柵，X-光照上就會產(chǎn)生衍射效應

一維晶體引起的散射光程差示意圖光程差:Δ=acosθa0+acosθa

衍射方向和強度，即衍射花樣決定于晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其周期性。描述衍射方向可用Laue和Bragg方程2．衍射幾何晶體的點陣結(jié)構(gòu)類同于光柵，X-光照上就8一束相鄰光程差Δ為λ/2的散射光疊加示意圖一束相鄰光程差Δ為λ/8的散射光疊加示意圖衍射條件：Δ=hλ

h為整數(shù)一束相鄰光程差Δ為λ/2的散射光疊加示意圖一束相鄰光程差Δ為9

Laue方程是產(chǎn)生衍射的嚴格條件，滿足就會產(chǎn)生衍射，形成衍射點（reflectin

)acosθa0+acosθa=hλ

bcosθb0+bcosθb=kλ

ccosθc0+ccosθc=lλ

即：acosθa0+acosθa=hλ

這就是一維結(jié)構(gòu)的衍射原理。據(jù)此可推導出適用于真實的晶體三維Laue方程：

Laue方程中，λ的系數(shù)hkl稱做衍射指標，它們必須為整數(shù)，與晶面指標（hkl）的區(qū)別是，可以不互質(zhì)

衍射點是分立、不連續(xù)的，只在某些方向出現(xiàn)Laue方程是產(chǎn)生衍射的嚴格條件，滿足就會10

已講過，晶體的空間點陣可劃分成平面點陣族。它們是一組相互平行、等間距[d(hkl)

]、相同的點陣平面

平面點陣對X-射線的散射

要保證產(chǎn)生衍射，則必須：PP’=QQ’=RR’，這就要求：入射角和散射角相等，而且入射線、散射線和點陣平面的法線在同一個平面上。已講過，晶體的空間點陣可劃分成平面點陣族。11整個平面點陣族對X-射線的散射射到兩個相鄰平面（如圖1和2）的X-射線的光程差：Δ=MB+NB而MB=NB=dsinθ整個平面點陣族對X-射線的散射射到兩個相鄰平面（如圖1和212根據(jù)衍射條件得--Bragg方程：2dhklsinθ=nλ

對于每一套指標為hkl、間隔為d的晶格平面，其衍射角和衍射級數(shù)n直接對應

不同n值對應的衍射點可以看成晶面距離不同的晶面的衍射，例如，hkl晶面在n=2時的衍射和2h2k2l晶面在n=1時的衍射點等同這樣Bragg方程可以簡化重排成下式，這樣每個衍射點可以唯一地用一個hkl來標記

根據(jù)衍射條件得--Bragg方程：2dhklsinθ=n133．分辨率

定義為Bragg方程中的最小d值：

dmin=λ/2sinθmax

MoKα射線，最大分辨率是36pm，當θmax等于20、22、25、30度時的分辨率分別為：104、95、84、71pmCuKα射線的分辨率要低得多

3．分辨率定義為Bragg方程中的最小d值：dmin14二、倒易點陣和晶體的衍射方向

1．倒易點陣

單斜晶體點陣S和相應的倒易點陣S*

若在點陣S中任選一點O為原點，對一族平面點陣作法線，沿該法線方向在離O為n/dhkl處，畫出一系列點（n為整數(shù)），這些點形成了一直線點陣，所有這些直線點陣形成的三維點陣，稱為點陣S的倒易點陣S*

二、倒易點陣和晶體的衍射方向1．倒易點陣單斜晶體點陣S和15S和S*的關(guān)系如下：

a·a*=b·b*=c·c*=1

a·b*=a·c*=b·a*=b·c*=c·a*=c·b*=0

V·V*=1

a*=(bxc)/Vb*=(cxa)/Vc=(axb)/V

a*=bcsinα/V

b*=acsinβ/V

c*=absinγ/V

a*=1/d100

b*=1/d010

c*=1/d001

S和S*的關(guān)系如下：a·a*=b·b*=c·c*=1162．倒易點陣和晶體的衍射方向

晶體產(chǎn)生衍射的基本條件是滿足Bragg方程：

此式可用幾何圖形表達

產(chǎn)生衍射的幾何關(guān)系

當S*的陣點P點在園周上時，sinθ=OP/AO=(1/dhkl)·(λ/2)符合Bragg方程，滿足衍射條件，就能產(chǎn)生衍射。而SP的方向就是衍射線的方向2．倒易點陣和晶體的衍射方向晶體產(chǎn)生衍射的基本條件是滿足B17結(jié)論：當入射X射線射到晶體（S）上，在入射線方向上找一點O（使OS=1/λ）為倒易點陣的圓心，以S為圓心、以1/λ為半徑做園，當?shù)挂c陣點P與園周相遇時，SP的方向即為衍射的方向

如果以S為球心，以1/λ為半徑做球，則這種球稱為反射球，同樣，當?shù)挂c陣點P與球面相遇時，SP的方向即為衍射的方向

所以倒易點陣可以用來描述衍射空間，衍射點相應于倒易空間的點陣點

各種衍射數(shù)據(jù)的收集方法的基本原理，都是根據(jù)反射球與倒易點陣的關(guān)系設計的

結(jié)論：當入射X射線射到晶體（S）上，在入射線方向上找一點O（18三、衍射強度與結(jié)構(gòu)因子

1．原子散射因子

X-射線散射是由核外電子引起的，故原子散射強度約正比于原子序數(shù)，并與電子分布和衍射角θ和波長λ有關(guān)

故散射中心偏離衍射平面，如果偏離的距離為δ，則相應的相角差為2πδ/d

將原子中不同空間位置對X射線的散射貢獻加和起來，就是原子的散射因子（formfator),記為f三、衍射強度與結(jié)構(gòu)因子1．原子散射因子X19

一個原子對X-射線的衍射能力正比于原子序數(shù)。重原子對散射的貢獻大，而氫原子周圍電子少，對散射貢獻很少，因此其位置很難確定

另外，f值隨衍射角θ的增加而減?。?5°）

在晶體學中把比碳明顯重的原子，稱為重原子；把碳、氮、氧等非氫原子稱為輕原子；最輕的氫原子就直稱氫原子

還由于，分散于原子外圍的價電子與內(nèi)層電子相比貢獻很少，故中性原子和其離子的貢獻差別非常小。因此，幾乎所有的X-射線衍射實驗均采用中性原子的散射因子參與結(jié)構(gòu)計算

一個原子對X-射線的衍射能力正比于原子序數(shù)。重原子對20螺旋軸（screwaxis)即平移和旋轉(zhuǎn)軸的偶合

晶體學中很常見的對稱元素，記作nm，n表示螺旋軸的階次，m表示沿軸平移的分量c21軸，180度，平移1/2c31軸，120度，平移1/3c螺旋軸（screwaxis)即平移和旋轉(zhuǎn)軸的偶合21滑移面和螺旋軸對稱元素符號平移量軸滑移面a、b、ca/2、b/2、c/2對角滑移面n(a+b)/2或(a+c)/2或(b+c)/2菱形滑移面d(a±b)/4或(a±c)/4或(b±c)/4二重螺旋軸21a/2或b/2或c/2三重螺旋軸31、32c/3、2c/3四重螺旋軸41、42、43c/3、2c/3、3c/4六重螺旋軸61、62、63、

64、65c/6、2c/6、3c/6、4c/6、5c/6利用這所有的對稱元素就能推導出描述晶體中所有可能的內(nèi)部對稱性排列的230個空間群滑移面和螺旋軸對稱元素符號平移量軸滑移面224．不對稱單元

在空間群的對稱操作作用下，可以產(chǎn)生晶胞中全部原子的最少數(shù)目的原子或原子團，就叫不對稱單元（位）（asymmetricunit)，也叫晶體學獨立單元

(crystallographicindependentunit)

在晶體結(jié)構(gòu)解析中，獨立單元中常常只有一個分子，甚至半個、不足半個，有時也會二個、三個。三、空間群

1．空間群和Laue群

空間群可以明確說明一種晶體可能具有的對稱元素種類及其在晶胞中的位置，故在晶體結(jié)構(gòu)解析中，了解晶體的空間群十分重要晶體點陣結(jié)構(gòu)的空間對稱操作群稱為空間群4．不對稱單元在空間群的對稱操作作用下，可以產(chǎn)生23晶體的宏觀對稱性是在晶體結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上表現(xiàn)出的相應對稱性

由于宏觀上，晶體不具備平移對稱性，晶體結(jié)構(gòu)中的螺旋軸和滑移面，分別表現(xiàn)為宏觀的旋轉(zhuǎn)軸和鏡面

則230個空間群又可歸并為32個點群，又只表現(xiàn)出11種中心對稱點群稱為Laue群

實際上，Laue群就是忽略了反常散射條件下，晶體X射線衍射花樣的11種中心對稱點群

Laue群、點群、空間群一些參考書中都可查到，特別是在“X-射線晶體學國際表”中對230個空間群有詳細的描述，并附有完整的圖示和其它有用的資料晶體的宏觀對稱性是在晶體結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上表現(xiàn)出的相應對稱性242．空間群的國際記號國際記號的格式：P1、C2/c、Pnma符號中，第一個斜體大寫字母表示Bravais點陣的種類，其后最多三個位置，表示主要的對稱操作，字母小寫用斜體，數(shù)字用正體2．空間群的國際記號國際記號的格式：P1、C2/c、Pnm25各晶系空間群國際記號中三個位置代表的方向晶系可能的點陣位置所代表的方向123三斜triclincP一一一單斜monoclincP，Cb一一正交orthorhombicP，C，F(xiàn)，Iabc四方tetragonalP，Ica(110)六方hexagonalPca(210)三方trigonalRca(210)正方cubicP，F(xiàn)，Ic(111)(110)各晶系空間群國際記號中三個位置代表的方向晶系可262．2衍射幾何和結(jié)構(gòu)因子

一、X-射線與衍射幾何

1．X-射線的產(chǎn)生

X-射線（光）管,真空度10-4Pa

30~60kV的加速電子流，沖擊金屬（如純Cu或Mo）靶面產(chǎn)生

常用MoKα射線，包括Kα1和Kα2兩種射線（強度2:1），波長71.073pmCuKα射線的波長為154.18pm2．2衍射幾何和結(jié)構(gòu)因子一、X-射線與衍射幾何1．X272．衍射幾何

晶體的點陣結(jié)構(gòu)類同于光柵，X-光照上就會產(chǎn)生衍射效應

一維晶體引起的散射光程差示意圖光程差:Δ=acosθa0+acosθa

衍射方向和強度，即衍射花樣決定于晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其周期性。描述衍射方向可用Laue和Bragg方程2．衍射幾何晶體的點陣結(jié)構(gòu)類同于光柵，X-光照上就28一束相鄰光程差Δ為λ/2的散射光疊加示意圖一束相鄰光程差Δ為λ/8的散射光疊加示意圖衍射條件：Δ=hλ

h為整數(shù)一束相鄰光程差Δ為λ/2的散射光疊加示意圖一束相鄰光程差Δ為29

Laue方程是產(chǎn)生衍射的嚴格條件，滿足就會產(chǎn)生衍射，形成衍射點（reflectin

)acosθa0+acosθa=hλ

bcosθb0+bcosθb=kλ

ccosθc0+ccosθc=lλ

即：acosθa0+acosθa=hλ

這就是一維結(jié)構(gòu)的衍射原理。據(jù)此可推導出適用于真實的晶體三維Laue方程：

Laue方程中，λ的系數(shù)hkl稱做衍射指標，它們必須為整數(shù)，與晶面指標（hkl）的區(qū)別是，可以不互質(zhì)

衍射點是分立、不連續(xù)的，只在某些方向出現(xiàn)Laue方程是產(chǎn)生衍射的嚴格條件，滿足就會30

已講過，晶體的空間點陣可劃分成平面點陣族。它們是一組相互平行、等間距[d(hkl)

]、相同的點陣平面

平面點陣對X-射線的散射

要保證產(chǎn)生衍射，則必須：PP’=QQ’=RR’，這就要求：入射角和散射角相等，而且入射線、散射線和點陣平面的法線在同一個平面上。已講過，晶體的空間點陣可劃分成平面點陣族。31整個平面點陣族對X-射線的散射射到兩個相鄰平面（如圖1和2）的X-射線的光程差：Δ=MB+NB而MB=NB=dsinθ整個平面點陣族對X-射線的散射射到兩個相鄰平面（如圖1和232根據(jù)衍射條件得--Bragg方程：2dhklsinθ=nλ

對于每一套指標為hkl、間隔為d的晶格平面，其衍射角和衍射級數(shù)n直接對應

不同n值對應的衍射點可以看成晶面距離不同的晶面的衍射，例如，hkl晶面在n=2時的衍射和2h2k2l晶面在n=1時的衍射點等同這樣Bragg方程可以簡化重排成下式，這樣每個衍射點可以唯一地用一個hkl來標記

根據(jù)衍射條件得--Bragg方程：2dhklsinθ=n333．分辨率

定義為Bragg方程中的最小d值：

dmin=λ/2sinθmax

MoKα射線，最大分辨率是36pm，當θmax等于20、22、25、30度時的分辨率分別為：104、95、84、71pmCuKα射線的分辨率要低得多

3．分辨率定義為Bragg方程中的最小d值：dmin34二、倒易點陣和晶體的衍射方向

1．倒易點陣

單斜晶體點陣S和相應的倒易點陣S*

若在點陣S中任選一點O為原點，對一族平面點陣作法線，沿該法線方向在離O為n/dhkl處，畫出一系列點（n為整數(shù)），這些點形成了一直線點陣，所有這些直線點陣形成的三維點陣，稱為點陣S的倒易點陣S*

二、倒易點陣和晶體的衍射方向1．倒易點陣單斜晶體點陣S和35S和S*的關(guān)系如下：

a·a*=b·b*=c·c*=1

a·b*=a·c*=b·a*=b·c*=c·a*=c·b*=0

V·V*=1

a*=(bxc)/Vb*=(cxa)/Vc=(axb)/V

a*=bcsinα/V

b*=acsinβ/V

c*=absinγ/V

a*=1/d100

b*=1/d010

c*=1/d001

S和S*的關(guān)系如下：a·a*=b·b*=c·c*=1362．倒易點陣和晶體的衍射方向

晶體產(chǎn)生衍射的基本條件是滿足Bragg方程：

此式可用幾何圖形表達

產(chǎn)生衍射的幾何關(guān)系

當