東南大學(xué)高等數(shù)學(xué)A競賽練習(xí)

2012數(shù)學(xué)競賽練習(xí)題（東南大學(xué)數(shù)學(xué)系賀傳富）xasinxdxacosxdx

(a01.證明： 20 0

為常數(shù)。4設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)0,f(0)f(0)0,t是曲線yf(x)上點(x,f(x))處的切線在x軸的截距，求limxf(t) 。x0tf(x)使得不等式lnxxx都成立的最小正常數(shù)1。etan(tanx)sin(sinx)btanx(sinx)a14．設(shè)lim 且b則a＝3，b＝1。x0 xa nf(1)f(2) f(n1)fnf(1)f(2) f(n1)fnnnn0e1lnf(x)dx。06．

esinxsin2x x

dx

8esinx1sin

C。2sin4 24

522005 1527．設(shè)f(x) x63x514x423x311x213

,f n!

1。8．設(shè)f(x)x4x)，當(dāng)n4時，f(n)(0) 。n4 9limln(n1)ln(n2) ln(nn)lnn＝2ln21。1 n1

n1

n n 2 n a a limn2arctanarctan (a0)＝a。n

n n14 211 2 34 2設(shè)I n 1

nxn

1xndx則limnIn

＝(1e)2 。3 31．設(shè)f(x)在[]上連續(xù)，且0

f(x)dx1xf(x)dx 1xn1f(x)dx0,0 01xnf(x)dx1，證明：存在[],使|f)2n(n)。0f(x在(,f(x)0，已知對任意的t都有e|xt|f(x)dx1，證明對一切a與b(ab)有 bf(x)dxba1 a 2ln

sin2nxdx1ln

2n2n1

n

為正整數(shù)。2n122n12 pI0

dx =。(1x2)(1xp) 4=。x1時有極大值6x32的最低冪次多項式的表達(dá)式是x36x29x2。1f(x)在()內(nèi)有f(x)0lx0

f(x)i x2()內(nèi)有f(x)3xx17、f(x在閉區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，|f(xM，證明：1f(x)dx1n

k M fn 2n 018．x7ex2dx3。0

k141x419．證明： ln(1 2)41x4020．當(dāng)a1，b1時，函數(shù)f(x)sinx

1。ax x0x的無窮小階數(shù)最高。6 1bx2x 2 1 21．設(shè)y ，則y(n)(x)n! 。x23x2

(x2)n1

(x1)n1x 351725722n1

limx 222．設(shè) ，則 。n 2 416 256 22n

n nlim

xx1

1 dtx

tcost設(shè)t0,a為正常數(shù)，證明 a(t1)aexdxtln(1x)dx0 025．試比較積分2 與2 的大小，并證明你得出的結(jié)論。sinxdx 25．試比較積分2 與2 的大小，并證明你得出的結(jié)論。01x2 01x226設(shè)函數(shù)f(x)]上二階可導(dǎo)，f(0)f(1)0,求證存在),使得2f(f()0。27、設(shè)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明max|f(x)axb

bf(x)dxb|f(x)|dx1b1baf(x在區(qū)間[0,1]f(0)f(1)0，且對f(x)f(x)x(0,1)，有f(x)f(x)f(x)

dx4ysinx|sinx|（其中|x2

arcsin y,）的反函數(shù)為xarcsin(

y[0,1]。y),y[1,0)yet2dtx2cost2dt，則

2xey2cosx4。0 0 dx若a且有l(wèi)im 1

x t2

dtlim[sin(

xtan3x，則a36。atxx0xsinx 0atx6(1x1)ex1dxxex1Cx x 。x1(cotx)333．1(cotx)30

。41 13已知當(dāng)x 時，3arccosx與a(x )b為等價無窮小，則a2 ，b1。32f(x)

x2n1x2x

2是連續(xù)函數(shù)，則0。n x2n136f(t

tex2dx,求1t2f(t)dt （1） 1 37．求極限lim2e

sinxx01e4

|x| x 38、y)所確定的隱函數(shù)，求dx。 y3設(shè)x

, ，求使不等式cosxkk成立的最小的k值。63

0x

cosx

sinx32 x41、在上存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在)0，b0至少存在互異的兩點,a 1

ab)f

)f(i

i2）至少存在一點

ff。i42、x0

的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且f(x0

)0,f(x0

)0，又設(shè)f(x0

h)f(x0

)f0

求極限lim。h042．當(dāng)x 0時，3x4cosx與xn為同階無窮小，則n=5。43．2-2

(xcosx2)sinxdx2。sin 2 n極限lim nn n1

sinnn1n

sinnn1n

2= 。2 nxa已知在(,內(nèi)可導(dǎo)且limfx x xa x則a1。

n1xn

x2

則lim

1,0x1x2。n 2 n x

x2247．設(shè)函數(shù)x2則f(28)(228 228(2 189)。2設(shè)x

2,x

2 1,,求limx1 n1 x n nnx|sint|dt求極限lim0 。x x比較e與e的大小。51、f(x在f(x)0，試證對任意正整數(shù)n，有|0

f(x)sinnxdx|

2(f(2)f(0))n52、設(shè)f(x)x2(x1)2(x3)2，試問曲線yf(x)有幾個拐點，證明你的結(jié)論。53、設(shè)f(x),g(x為有界閉區(qū)間[ab上的連續(xù)函數(shù)，且有數(shù)