函數(shù)之圖形與極限課件

第二講

函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)容：連續(xù)性的介紹。連續(xù)性的定義。連續(xù)性的性質(zhì)。連續(xù)性的應(yīng)用。第二講

函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)容：1連續(xù)性的介紹：一般的連續(xù)性：

若某一現(xiàn)象不停地出現(xiàn)，則稱此現(xiàn)象連續(xù)，如：時(shí)間不停地消失、地球不停地轉(zhuǎn)動(dòng)、心臟不停地跳動(dòng)、肺不停地呼吸、溪水不停地流動(dòng)、太陽光不停地照射地球。函數(shù)的連續(xù)性：

若函數(shù)的圖形沒有間斷、斷裂或跳動(dòng)，則稱此函數(shù)連續(xù)。121連續(xù)性的介紹：一般的連續(xù)性：

若某一現(xiàn)象不停地出現(xiàn)，則稱此現(xiàn)2，所以其圖形如下：121直接觀察其圖形：121，所以其圖形如下：121直接觀察其圖形：1213直接觀察其圖形：直接觀察其圖形：121xy121xy直接觀察其圖形：y?121直接觀察其圖形：直接觀察其圖形：121xy121xy直接觀察42.連續(xù)性的定義：a.觀察前節(jié)的例題：例1.函數(shù)在x=1的左右極限分別為。此情形表示函數(shù)f(x)在x=1的左右圖形很靠近，但f(1)不存在，故f(x)的圖形在x=1有間斷的現(xiàn)象，所以f(x)在x=1不連續(xù)。如果想要f(x)的圖形在x=1連續(xù)，必須f(1)的值能夠連接f(x)在x=1的左右極限，即定義，如此f(x)在x=1就沒有間斷的現(xiàn)象，即f(x)在x=1連續(xù)。2.連續(xù)性的定義：a.觀察前節(jié)的例題：例1.函數(shù)5函數(shù)之圖形與極限課件6b.連續(xù)性的定義：綜整上面例題的討論，得到下面連續(xù)的定義：注意：

此定義的條件(i)描述f(x)在x=a的左右圖形很靠近，條件(ii)(iii)更進(jìn)一步描述f(a)將f(x)在x=a左右兩邊的圖形連接在一起，故f(x)在x=a連續(xù)。因此，三個(gè)條件有任一條件不成立，則f(x)在x=a不連續(xù)。從這裡可以清楚知道，極限是連續(xù)的基礎(chǔ)。b.連續(xù)性的定義：綜整上面例題的討論，得到下面連續(xù)的定義：7例7.多項(xiàng)式函數(shù)f(x)在任意實(shí)數(shù)連續(xù)。直接經(jīng)由第一講第7節(jié)的定理2可證得。例8.有理函數(shù)f(x)再任一不使分母為零的實(shí)數(shù)連續(xù)。直接經(jīng)由第一講第7節(jié)的定理2

可證得。例9.絕對(duì)值函數(shù)f(x)=|x|在任意實(shí)數(shù)連續(xù)?？煞譃橄铝腥N情形討論：例7.多項(xiàng)式函數(shù)f(x)在任意實(shí)數(shù)連續(xù)。直接經(jīng)由第一講第83.連續(xù)性的性質(zhì)：連續(xù)性經(jīng)由四則運(yùn)算、n次方或n次方根運(yùn)算後，仍然具有連續(xù)性。定理1.若f(x)與g(x)在x=c連續(xù)，則注意：直接利用第一講第7節(jié)的定理1及連續(xù)性的定義，即可證得此定理。連續(xù)性經(jīng)過合成運(yùn)算後，仍然有連續(xù)性。3.連續(xù)性的性質(zhì)：連續(xù)性經(jīng)由四則運(yùn)算、n次方或n次方根運(yùn)算9最後，討論函數(shù)f(x)在區(qū)間的連續(xù)性。若f(x)在開區(qū)間(a,b)連續(xù)，則表示f(x)在區(qū)間(a,b)的每一點(diǎn)連續(xù)。若f(x)在閉區(qū)間

[a,b]連續(xù)，則表示f(x)在區(qū)間(a,b)的每一點(diǎn)連續(xù)，在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)。最後，討論函數(shù)f(x)在區(qū)間的連續(xù)性。10何謂右連續(xù)，左連續(xù)？其定義如下：注意：若f(x)在a點(diǎn)右連續(xù)且左連續(xù)，則f(x)在a點(diǎn)連續(xù)。反之亦然。何謂右連續(xù)，左連續(xù)？其定義如下：注意：若f(x)在a點(diǎn)右連續(xù)114.連續(xù)性的應(yīng)用：a.利用連續(xù)性求函數(shù)的極限值。若f(x)在x=a連續(xù)，則4.連續(xù)性的應(yīng)用：a.利用連續(xù)性求函數(shù)的極限值。若f(12b.利用連續(xù)性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。定理1.若f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，且w介於f(a)

與f(b)之間，則存在使得f(c)=w。此處利用圖形說明此定理的意義。bxyw1w2w3f(b)f(a)ac1c2c3c4c5c6b.利用連續(xù)性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。定理13此函數(shù)在區(qū)間[a,b]的圖形沒有間斷、跳動(dòng)或斷裂的現(xiàn)象，所以此函數(shù)在區(qū)間[a,b]連續(xù)。若w介於f(a)與f(b)之間，即f(a)≤w≤f(b),且經(jīng)過y軸的w點(diǎn)繪平行x軸的直線，必定與函數(shù)曲線相交於一點(diǎn)，即存在使得f(c)=w?？紤]函數(shù)不連續(xù)的情形，如下圖：yxabf(b)f(a)w此函數(shù)在區(qū)間[a,b]的圖形在x=d有斷裂的現(xiàn)象，所以此函數(shù)在區(qū)間[a,b]不連續(xù)。若w介於f(a)與f(b)之間(如圖所示)，即f(b)≤w≤f(a),且經(jīng)過y軸的w點(diǎn)繪平行x軸的直線與函數(shù)曲線不相交，即不存在使得f(c)=w。此函數(shù)在區(qū)間[a,b]的圖形沒有間斷、跳動(dòng)或斷裂的現(xiàn)象，14注意：從上面的討論，可知道連續(xù)性是定理1的充分條件。但不是必要條件，此情形可從下面的圖得到驗(yàn)證。yxabf(a)f(b)d若w介於f(a)與f(b)之間，即f(a)≤w≤f(b),且經(jīng)過y軸的w點(diǎn)繪平行x軸的直線，必定與函數(shù)曲線相交，即存在使得f(c)=w。但是很清楚，函數(shù)在x=d不連續(xù)，故連續(xù)性不是定理1的必要條件。其次，討論方程式根的位置，稱為「堪根定理」。定理2.若f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)且f(a)f(b)<0，則存在，使得f(c)=0。因?yàn)閒(a)f(b)<0，所以f(a)與f(b)異號(hào)，故0介於f(a)與f(b)之間，引用中間值定理，故存在，使得f(c)=0。注意：從上面的討論，可知道連續(xù)性是定理1的充分條件。但不是必15例6.若圓形鐵圈溫度的變化是連續(xù)的，則存在一直徑，其兩端的溫度相同。令此圓形鐵圈的半徑為r且圓心在原點(diǎn)，則鐵圈上任意點(diǎn)(x,y)的座標(biāo)可寫成例6.若圓形鐵圈溫度的變化是連續(xù)的，則存在一直徑，其兩端16函數(shù)之圖形與極限課件17第二講

函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)容：連續(xù)性的介紹。連續(xù)性的定義。連續(xù)性的性質(zhì)。連續(xù)性的應(yīng)用。第二講

函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)容：18連續(xù)性的介紹：一般的連續(xù)性：

若某一現(xiàn)象不停地出現(xiàn)，則稱此現(xiàn)象連續(xù)，如：時(shí)間不停地消失、地球不停地轉(zhuǎn)動(dòng)、心臟不停地跳動(dòng)、肺不停地呼吸、溪水不停地流動(dòng)、太陽光不停地照射地球。函數(shù)的連續(xù)性：

若函數(shù)的圖形沒有間斷、斷裂或跳動(dòng)，則稱此函數(shù)連續(xù)。121連續(xù)性的介紹：一般的連續(xù)性：

若某一現(xiàn)象不停地出現(xiàn)，則稱此現(xiàn)19，所以其圖形如下：121直接觀察其圖形：121，所以其圖形如下：121直接觀察其圖形：12120直接觀察其圖形：直接觀察其圖形：121xy121xy直接觀察其圖形：y?121直接觀察其圖形：直接觀察其圖形：121xy121xy直接觀察212.連續(xù)性的定義：a.觀察前節(jié)的例題：例1.函數(shù)在x=1的左右極限分別為。此情形表示函數(shù)f(x)在x=1的左右圖形很靠近，但f(1)不存在，故f(x)的圖形在x=1有間斷的現(xiàn)象，所以f(x)在x=1不連續(xù)。如果想要f(x)的圖形在x=1連續(xù)，必須f(1)的值能夠連接f(x)在x=1的左右極限，即定義，如此f(x)在x=1就沒有間斷的現(xiàn)象，即f(x)在x=1連續(xù)。2.連續(xù)性的定義：a.觀察前節(jié)的例題：例1.函數(shù)22函數(shù)之圖形與極限課件23b.連續(xù)性的定義：綜整上面例題的討論，得到下面連續(xù)的定義：注意：

此定義的條件(i)描述f(x)在x=a的左右圖形很靠近，條件(ii)(iii)更進(jìn)一步描述f(a)將f(x)在x=a左右兩邊的圖形連接在一起，故f(x)在x=a連續(xù)。因此，三個(gè)條件有任一條件不成立，則f(x)在x=a不連續(xù)。從這裡可以清楚知道，極限是連續(xù)的基礎(chǔ)。b.連續(xù)性的定義：綜整上面例題的討論，得到下面連續(xù)的定義：24例7.多項(xiàng)式函數(shù)f(x)在任意實(shí)數(shù)連續(xù)。直接經(jīng)由第一講第7節(jié)的定理2可證得。例8.有理函數(shù)f(x)再任一不使分母為零的實(shí)數(shù)連續(xù)。直接經(jīng)由第一講第7節(jié)的定理2

可證得。例9.絕對(duì)值函數(shù)f(x)=|x|在任意實(shí)數(shù)連續(xù)?？煞譃橄铝腥N情形討論：例7.多項(xiàng)式函數(shù)f(x)在任意實(shí)數(shù)連續(xù)。直接經(jīng)由第一講第253.連續(xù)性的性質(zhì)：連續(xù)性經(jīng)由四則運(yùn)算、n次方或n次方根運(yùn)算後，仍然具有連續(xù)性。定理1.若f(x)與g(x)在x=c連續(xù)，則注意：直接利用第一講第7節(jié)的定理1及連續(xù)性的定義，即可證得此定理。連續(xù)性經(jīng)過合成運(yùn)算後，仍然有連續(xù)性。3.連續(xù)性的性質(zhì)：連續(xù)性經(jīng)由四則運(yùn)算、n次方或n次方根運(yùn)算26最後，討論函數(shù)f(x)在區(qū)間的連續(xù)性。若f(x)在開區(qū)間(a,b)連續(xù)，則表示f(x)在區(qū)間(a,b)的每一點(diǎn)連續(xù)。若f(x)在閉區(qū)間

[a,b]連續(xù)，則表示f(x)在區(qū)間(a,b)的每一點(diǎn)連續(xù)，在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)。最後，討論函數(shù)f(x)在區(qū)間的連續(xù)性。27何謂右連續(xù)，左連續(xù)？其定義如下：注意：若f(x)在a點(diǎn)右連續(xù)且左連續(xù)，則f(x)在a點(diǎn)連續(xù)。反之亦然。何謂右連續(xù)，左連續(xù)？其定義如下：注意：若f(x)在a點(diǎn)右連續(xù)284.連續(xù)性的應(yīng)用：a.利用連續(xù)性求函數(shù)的極限值。若f(x)在x=a連續(xù)，則4.連續(xù)性的應(yīng)用：a.利用連續(xù)性求函數(shù)的極限值。若f(29b.利用連續(xù)性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。定理1.若f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，且w介於f(a)

與f(b)之間，則存在使得f(c)=w。此處利用圖形說明此定理的意義。bxyw1w2w3f(b)f(a)ac1c2c3c4c5c6b.利用連續(xù)性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。定理30此函數(shù)在區(qū)間[a,b]的圖形沒有間斷、跳動(dòng)或斷裂的現(xiàn)象，所以此函數(shù)在區(qū)間[a,b]連續(xù)。若w介於f(a)與f(b)之間，即f(a)≤w≤f(b),且經(jīng)過y軸的w點(diǎn)繪平行x軸的直線，必定與函數(shù)曲線相交於一點(diǎn)，即存在使得f(c)=w?？紤]函數(shù)不連續(xù)的情形，如下圖：yxabf(b)f(a)w此函數(shù)在區(qū)間[a,b]的圖形在x=d有斷裂的現(xiàn)象，所以此函數(shù)在區(qū)間[a,b]不連續(xù)。若w介於f(a)與f(b)之間(如圖所示)，即f(b)≤w≤f(a),且經(jīng)過y軸的w點(diǎn)繪平行x軸的直線與函數(shù)曲線不相交，即不存在使得f(c)=w。此函數(shù)在區(qū)間[a,b]的圖形沒有間斷、跳動(dòng)或斷裂的現(xiàn)象，31注意：從上面的討論，可知道連續(xù)性是定理1的充分條件。但不是必要條件，此情形可從下面的圖得到驗(yàn)證。yxabf(a)f(b)d若w介於f(a)與f(b)之間，即f(a)≤w≤f(b),且經(jīng)過y軸的w點(diǎn)繪平行x軸的直線，必定與函數(shù)曲線相交，即存在使得f(c)=w。但是很清楚，函數(shù)在x=d不連續(xù)，故連續(xù)性不是定理1的必要條件。其次，討論方程式根的位置，稱為「堪根定理」。定理2.若f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)且f(a)f(b)<0，則存在