SARS傳播的數(shù)學(xué)原理及預(yù)測(cè)與控制

SARS傳播的數(shù)學(xué)原理及預(yù)測(cè)與控制SARS傳播的數(shù)學(xué)原理及預(yù)測(cè)與控制SARS傳播的數(shù)學(xué)原理及預(yù)測(cè)與控制xxx公司SARS傳播的數(shù)學(xué)原理及預(yù)測(cè)與控制文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度SARS傳播的數(shù)學(xué)原理及預(yù)測(cè)與控制鄒宇庭，鄭曉練，繆旭暉指導(dǎo)教師：譚忠（廈門(mén)大學(xué)，福建廈門(mén)361005）編者按：本文建立了SARS傳播的具有負(fù)反饋的差分方程模型。用兩個(gè)參數(shù)分別刻畫(huà)疾病傳播能力和對(duì)疾病采取措施的能力，并用標(biāo)準(zhǔn)差趨于穩(wěn)定來(lái)判定數(shù)據(jù)擬合的合理性，是本文的突出優(yōu)點(diǎn)。文章將這一方法用于北京，廣州，山西和香港，均獲得較好的效果。摘要：眾說(shuō)周知，SARS對(duì)中國(guó)社會(huì)帶來(lái)了重大影響。我們以北京地區(qū)4月到6月有關(guān)SARS的數(shù)據(jù)為參考資料，就在分析該系統(tǒng)參數(shù)實(shí)際意義的情況下，建立時(shí)間序列的模型。該模型將傳染率定義為時(shí)間的函數(shù)，以擬合數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)之間的總殘差最小為目標(biāo)，利用matlab中的fminsearch函數(shù)模擬得到最優(yōu)解的模型參數(shù)。該模型可以較好地預(yù)測(cè)出SARS的發(fā)展趨勢(shì)，且可以就此趨勢(shì)提出如何控制SARS傳播的措施。繼而，本文通過(guò)模擬出在不同日期提前或滯后5天實(shí)施隔離政策所引起SARS發(fā)展趨勢(shì)變化的曲線，分析了衛(wèi)生部門(mén)實(shí)施隔離政策的日期對(duì)SARS發(fā)展趨勢(shì)的影響。在SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)影響的問(wèn)題上，本文適當(dāng)選取醫(yī)療業(yè)具有代表性的17支股市，構(gòu)造了醫(yī)療板塊指數(shù)，以此測(cè)度醫(yī)療業(yè)的經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)。在傳統(tǒng)的CAPM模型中，我們引入了虛擬變量，利用OLS技術(shù)進(jìn)行估計(jì)分析，檢驗(yàn)出SARS這一事件對(duì)醫(yī)藥業(yè)的經(jīng)濟(jì)影響是正影響。該影響反應(yīng)在醫(yī)療版指數(shù)的日收益上，但這個(gè)影響是由SARS引起的，會(huì)隨著SARS的結(jié)束而結(jié)束。關(guān)鍵詞：SARS;負(fù)反饋系統(tǒng)；時(shí)間序列模型；資本資產(chǎn)定價(jià)模型分類(lèi)號(hào)：AMS(2000)62M10中圖分類(lèi)號(hào)：文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A1數(shù)學(xué)模型的分析與建立假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明1）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是可靠地；2)病人處于潛伏期時(shí)不傳染他人；3）采取的所有控制措施對(duì)于阻止SARS病毒的傳播都是有效的。：到第n天為止累計(jì)確診的病人數(shù)；：到第n天為止累計(jì)死亡的病人數(shù)；:第n天的疑似病人數(shù)；：第n天為止治愈的病人數(shù)；d:死亡率；g：治愈率；：新增病人與新增疑似病人的比值；：疑似病人轉(zhuǎn)化為正常人的比率；：區(qū)域內(nèi)的自反饋參量；：反饋?zhàn)兞浚唬悍答佅禂?shù)?，F(xiàn)在我們分析問(wèn)題并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型：社會(huì)的反應(yīng)往往是一個(gè)漸變的過(guò)程，會(huì)隨疫情的變化而變化，是一個(gè)負(fù)反饋過(guò)程，比如，當(dāng)疫情嚴(yán)重時(shí)人們會(huì)自覺(jué)的減少與他人接觸，相反的當(dāng)疫情不顯著時(shí)人們會(huì)放松警惕而增加與他人接觸的機(jī)會(huì)。為此我們建立如下負(fù)反饋系統(tǒng)（圖1）。將實(shí)際情況與控制力度的關(guān)系通過(guò)反饋系數(shù)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)調(diào)節(jié)，這樣就能及時(shí)采取控制措施，使得病情傳播速度迅速減小，以求最后達(dá)到消滅病毒的目的。在以上系統(tǒng)中： eq\o\ac(○,1)A是開(kāi)環(huán)增益（OpenLoopGain），表示基本放大器的放大倍率,即為輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的比值。在研究SARS傳播的模型中，我們將此定義為SARS病毒在未受控制情況下的自然傳播速度，即病毒的基本傳播率。eq\o\ac(○,2)是反饋網(wǎng)絡(luò)中的反饋系數(shù)，即反饋信號(hào)與輸出信號(hào)的比值。在該模型中我們將它定義為各種反應(yīng)因數(shù)的總和，通過(guò)負(fù)反饋可以減小病毒傳播速速。eq\o\ac(○,3)輸入信號(hào)定義為當(dāng)前情況下SARS的傳播情況。eq\o\ac(○,4)輸出信號(hào)定義為t時(shí)間社會(huì)上SARS的傳播情況。通過(guò)以上系統(tǒng)，我們得到參量A，與輸入信號(hào)（，），輸出信號(hào)（）以及反饋信號(hào)Xf之間的關(guān)系：，（1），,（2），（3）定義閉環(huán)增益（ClosedLoopGain）為病毒的實(shí)際傳播率，定義反饋深度F，表示對(duì)調(diào)節(jié)元件靈敏度的折中，并將（1）（2）（3）帶入則，，有上式分析得到：eq\o\ac(○,1)當(dāng)反饋系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)是負(fù)反饋的，這正是我們需要的系統(tǒng)。這樣社會(huì)上病毒傳播速度即系統(tǒng)中的輸出量變化時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)自我調(diào)節(jié)為：eq\o\ac(○,2)當(dāng)正反饋系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)是正反饋的，由于控制措施的目的是阻止病毒傳播，因此不可能是正直，除非處理SARS的方法是錯(cuò)誤的。對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，可以不考慮這種情況?；趯?duì)以上系統(tǒng)的分析，我們考慮建立現(xiàn)實(shí)的SARS傳播模型：eq\o\ac(○,1)因?yàn)橐刂频膶?shí)際量為SARS確診病人數(shù)，因此就為，為，表示到第n天為止累計(jì)確診的病數(shù)。eq\o\ac(○,2)量化時(shí)間，以天為單位。eq\o\ac(○,3)選定某一區(qū)域?yàn)檠芯繀^(qū)域，在模型中建立各反饋參量：a)設(shè)該地區(qū)的自反饋參量為，表示該地區(qū)在未采取控制措施時(shí)SARS的傳播能力。b)設(shè)該地區(qū)反饋量的變化率為，即每增加一個(gè)病人引起反饋量的變化量，表示該地區(qū)的病情控制情況。由此，建立以下時(shí)間序列模型：其中式（1）表示反饋量是自反饋量和人為控制后的反饋參數(shù)的和;式（2）表示確診病人總數(shù)的變化情況；式（3）表示死亡人數(shù)的變化情況；（4）表示疑似病例數(shù)量的變化情況；式（5）表示治愈病人數(shù)的變化情況。如果病情得到控制，既病人不再增加，那么反饋量應(yīng)該是0，易得必須為負(fù)數(shù)。所以問(wèn)題的求解設(shè)實(shí)際數(shù)據(jù)為，擬合數(shù)據(jù)為，則我們確定參數(shù)的目標(biāo)是使總殘差最小，即：。我們用matlab中的fminsearch函數(shù)來(lái)求解，得到總殘差最小時(shí)的參數(shù)，并由模型中式（1）、（2）迭代求出發(fā)展趨勢(shì)的曲線。取用實(shí)際數(shù)據(jù)量不同，各參數(shù)以及最小總殘差便不同。模擬時(shí)，只要達(dá)到一定的數(shù)據(jù)量就可以很好地?cái)M合出曲線，我們以標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)判斷數(shù)據(jù)量是否已經(jīng)足夠。數(shù)據(jù)量從10天變化到64天，標(biāo)準(zhǔn)差變化的曲線如圖2所示：將標(biāo)準(zhǔn)差接近平穩(wěn)狀態(tài)的數(shù)據(jù)量取值區(qū)間抽出：數(shù)據(jù)量（天）232425262728293031標(biāo)準(zhǔn)差可見(jiàn)，數(shù)據(jù)量取到25天以上后標(biāo)準(zhǔn)差已經(jīng)穩(wěn)定。因此可以認(rèn)為擬合北京市SARS發(fā)展趨勢(shì)線只要取其4月1日開(kāi)始的25=天數(shù)據(jù)即可。因篇幅有限刪除具體計(jì)算程序。取前25天數(shù)據(jù)擬合出的發(fā)展曲線如圖3所示該曲線不僅描繪出25天的發(fā)展情況，而且通過(guò)預(yù)測(cè)描繪出25天以后的發(fā)展情況。對(duì)比25天后預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)：eq\o\ac(○,1)對(duì)于累計(jì)確診病人數(shù)，他們之間的標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在附近，因此兩者是十分吻合的。eq\o\ac(○,2)對(duì)于疑似病人數(shù)，由于疑似病例的判斷受主觀因素的影響，擬合情況不如其他兩條曲線。eq\o\ac(○,3)對(duì)于死亡病人數(shù)，吻合程度依然比較高，誤差產(chǎn)生的原因可能是個(gè)人的免疫力不同這個(gè)原因無(wú)法在定義的反饋系數(shù)中體現(xiàn)出來(lái)。由此可看出以上的預(yù)測(cè)十分成功。為驗(yàn)證該方法的有效性，我們分別計(jì)算了廣州，山西和香港的積累確診病例發(fā)展趨勢(shì)，得到的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)吻合程度很高，可見(jiàn)該方法十分是有效的。具體見(jiàn)圖4—6：對(duì)衛(wèi)生部門(mén)措施的評(píng)論A）對(duì)發(fā)展趨勢(shì)曲線的影響：圖7體現(xiàn)了從不同時(shí)間點(diǎn)開(kāi)始提前或滯后5天實(shí)施隔離政策，得到的總患病人數(shù)隨日期的發(fā)展變化，如圖中取了eq\o\ac(○,1)、eq\o\ac(○,2)、eq\o\ac(○,3)、eq\o\ac(○,4)四個(gè)時(shí)間點(diǎn)。原始數(shù)據(jù)反映的總患病人數(shù)的曲線為（一），若提前5天采取隔離政策，則對(duì)應(yīng)四個(gè)時(shí)間點(diǎn)的總患病人數(shù)的曲線分別為（二）、（四）、（六）、（八），若推遲5天采取隔離政策，則對(duì)應(yīng)四個(gè)時(shí)間點(diǎn)的總患病人數(shù)的曲線分別為（三）、（五）、（七）、（九）。從圖中可以明顯地看到從任一給定時(shí)刻起提前5天采取政策比正常情況下可減少一定的患病者，而滯后5天則會(huì)增加患病者，這一時(shí)刻取得越早，就可以使越多的人免于患病，因而政策的效用就越大。B)對(duì)總確診人數(shù)的影響：（圖8中的每一對(duì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)統(tǒng)一的橫坐標(biāo)）影響值第7天第8天第9天第10天第11天滯后5天提前5天影響值第12天第13天第14天第15天第16天滯后5天提前5天影響值第17天第18天第19天第20天第21天滯后5天提前5天影響值第22天第23天第24天第25天第26天滯后5天提前5天影響值第27天第28天第29天第30天第31天滯后5天提前5天上表為從第5天時(shí)間點(diǎn)即第5天開(kāi)始考慮提前和滯后5天采取隔離措施帶來(lái)的總確診人數(shù)的影響，影響值以影響后的總確診人數(shù)與無(wú)影響下的總確診人數(shù)的比值表示。由上表和圖7—8可見(jiàn)，越早實(shí)施隔離政策，最后總確診病例數(shù)就越少，而且新增病人數(shù)就越快接近0，這意味著SARS病情越早得以控制。2SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)影響的數(shù)學(xué)模型分析與建立SARS對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各方面均帶了沖擊，并給國(guó)民經(jīng)濟(jì)帶來(lái)重大損失，但同時(shí)SARS也給某些行業(yè)，如醫(yī)療業(yè)帶來(lái)正面的影響。下面構(gòu)建帶虛擬變量的CAPM模型實(shí)證檢驗(yàn)SARS是否給醫(yī)療業(yè)帶來(lái)影響和多大程度的影響。行業(yè)的股票指數(shù)在一定程度上反映了整個(gè)行業(yè)在大經(jīng)濟(jì)環(huán)境下的業(yè)績(jī)表現(xiàn)。模型的數(shù)據(jù)的獲取從選取時(shí)間段從2002年9月2號(hào)到2003年6月30號(hào)。選取的股票為：萬(wàn)東醫(yī)療，浙江醫(yī)藥，恒瑞醫(yī)藥，南京醫(yī)藥，魯抗醫(yī)藥，上海醫(yī)藥，華東醫(yī)藥，三九醫(yī)藥，廣濟(jì)藥業(yè)，金陵藥業(yè)，新華制藥，百科藥業(yè)，東北藥業(yè)，ST海藥，恒和制藥，云南白藥。定義：Pit為第i只股票第t日的收盤(pán)價(jià)格；PMt為深圳成指的第t日的收盤(pán)價(jià)格；rEt醫(yī)療股指的日收益；建立模型如下Di其中為虛擬變量，當(dāng)有SARS影響時(shí)為1，無(wú)影響則為0。由于SARS開(kāi)始的日期為2003年2月11日，因此采取的數(shù)據(jù)時(shí)往前至2002年2月往后倒2003年6月30號(hào)。，，為待估計(jì)系數(shù)，其中：為截距項(xiàng)；即為CAPM中的系數(shù)，用以衡量個(gè)股（板塊）的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)；為分析的重點(diǎn)，如果統(tǒng)計(jì)上顯著異于零，則說(shuō)明SARS對(duì)醫(yī)療業(yè)發(fā)生了顯著影響，并且影響程度為，為擾動(dòng)項(xiàng)；為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，在本模型中用銀行3月期存款利率測(cè)度；為市場(chǎng)指數(shù)收益，本模型中用深圳成分指數(shù)測(cè)度。模型求解VariableCoefficientt-StatisticCRM-RFDR-squaredMeandependentvarAdjustedR-squared.dependentvarregerssionAkaikeinfocriterionSumsquaredresidSchwarzcriterionLoglikelihoodF-statisticDurbin-WatsonstatPro(F-statistic)從表中可以看出：SARS的爆發(fā)對(duì)醫(yī)療設(shè)備，醫(yī)療藥物的需求帶來(lái)了沖擊性的影響，反映在醫(yī)療版指數(shù)的日收益上，帶來(lái)了%的額外收益。當(dāng)然，這些收益是由于SARS帶來(lái)的，隨著SARS的平息，這個(gè)收益也會(huì)隨之平息。這便是SARS對(duì)醫(yī)療行業(yè)的經(jīng)濟(jì)影響。參考文獻(xiàn)[1]姜啟源.數(shù)學(xué)模型.北京:高等教育出版社.2002[2]鄧聚龍.郭洪.灰色理論.北京:全華出版.2002[3]謝嘉奎.電子線路—線性部分.北京:高等教育出版社.1999[4]James.時(shí)間序列分析.北京:中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社.1999TheMathematicalPrincipleOfTheSpreadOfSARSandItsApplicationOnForcastingandControllingSARSEpidemicZOUYu-ting,ZHENGXiao-lian,MIAOXu-huiAdivisor:TANZhong(XiamenUniversity,Xiamen,Fujian361005)Abstract:ItiswellknownthatSARShasatremendouseffectonChinesesociety.BasedonthestatisticsrelatedtoSARSinBeijingfromApriltoJunein2003,wemodeledtheNegativeFeedbacksystemofthespreadingofSRASbyintroducingtheconceptofNegativeSysteminelectro–circuitandthenatureoftheSRASvirus,Moreover,byanalyzingthepracticalmeaningoftheparametersinthissystem,acompleteTimeSequencesderivedmodelispresented.Itdefinethespreadingrateasafunctionoftime,andadoptsthefminsearchfunctioninmatlabtogivethebestparameters,withtheobjectofminimumtotaldifferencebetweentheactualstatisticsandcomputedresults,ThismodelwellforecaststhespreadingtrendofSARS,accordingtowhichproperadvicescanbeputforwardoncontrollingpolicies,Further,curvesaredrawnthatsimulatethedifferentdevelopmenttrendsastheresultofthequarantinecarriedoutfivedaysaheadoforfivedayslaterthanaseriesofdifferentdates.Comparisonbetweenthesecurvesmakesitpossibletoanalyzetheimpactexertedbythedatewhenthesanitarydepartmentca