計算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題

計算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題計算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題計算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題資料僅供參考文件編號：2022年4月計算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：計算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題高等有趣，值得一探【題目】一游泳池道長100米，甲乙兩個運動員從泳道的兩端同時下水做往返訓練15分鐘，甲每分鐘游81米，乙每分鐘游89米。甲運動員一共從乙運動員身邊經過了多少次【解答】從身邊經過，包括迎面和追上兩種情況。能迎面相遇【（81＋89）×15＋100】÷200，取整是13次。第一次追上用100÷（89－81）＝分鐘，以后每次追上需要×2＝25分鐘，顯然15分鐘只能追上一次。因此經過13＋1＝14次。如果甲乙從A，B兩點出發(fā)，甲乙第n次迎面相遇時，路程和為全長的2n-1倍，而此時甲走的路程也是第一次相遇時甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。總結：若兩人走的一個全程中甲走1份M米，兩人走3個全程中甲就走3份M米。（含義是說，第一次相遇時，甲乙實際就是走了一個全程，第二次相遇時，根據(jù)上面的公式，甲乙走了2x2-1=3個全程，如果在第一次相遇時甲走了m米，那么第二次相遇時甲就走了3個m米）下面我們用這個方法看一道例題。湖中有A，B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個來回。兩人分別從A，B兩島同時出發(fā)，他們第一次相遇時距A島700米，第二次相遇時距B島400米。問：兩島相距多遠【解】從起點到第一次迎面相遇地點，兩人共同完成1個全長，從起點到第二次迎面相遇地點，兩人共同完成3個全長，此時甲走的路程也為第一次相遇地點的3倍。畫圖可知，由3倍關系得到：A，B兩島的距離為700×3－400=1700米小學奧數(shù)行程問題分類討論2010-06-0812:00:20來源：網絡資源進入論壇行程問題是小升初考試和小學四大杯賽四大題型之一(計算、數(shù)論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對獨特的解題方法?，F(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。一、一般相遇追及問題。包括一人或者二人時(同時、異時)、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問題。在杯賽中大量出現(xiàn)，約占80%左右。建議熟練應用標準解法，即s=v×t結合標準畫圖(基本功)解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解決，并且要就題論題，所以無法展開，但這是考試中最常碰到的，希望高手做更為細致的分類。二、復雜相遇追及問題。(1)多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個運動對象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問題。解題思路完全一樣，只是相對復雜點，關鍵是標準畫圖的能力能否清楚表明三者的運動狀態(tài)。(2)多次相遇追及問題。即兩個人在一段路程中同時同地或者同時異地反復相遇和追及，俗稱反復折騰型問題。分為標準型(如已知兩地距離和兩者速度，求n次相遇或者追及點距特定地點的距離或者在規(guī)定時間內的相遇或追及次數(shù))和純周期問題(少見，如已知兩者速度，求一個周期后，即兩者都回到初始點時相遇、追及的次數(shù))。標準型解法固定，不能從路程入手，將會很繁，最好一開始就用求單位相遇、追及時間的方法，再求距離和次數(shù)就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個感性認識，無法具體得出答案，除非是非考試時間仔細畫標準尺寸圖。一般用到的時間公式是(只列舉甲、乙從兩端同時出發(fā)的情況，從同一端出發(fā)的情況少見，所以不贅述)：單程相遇時間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)單程追及時間：t單程追及=s/(v甲-v乙)第n次相遇時間：Tn=t單程相遇×(2n-1)第m次追及時間：Tm=t單程追及×(2m-1)限定時間內的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)=[(Tn+t單程相遇)/2t單程相遇]限定時間內的追及次數(shù)：M追及次數(shù)=[(Tm+t單程追及)/2t單程追及]注：[]是取整符號之后再選取甲或者乙來研究有關路程的關系，其中涉及到周期問題需要注意，不要把運動方向搞錯了。簡單例題：甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，在相距300千米的A、B兩地之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時30千米，乙車的速度是每小時20千米，問(1)第二次迎面相遇后又經過多長時間甲、乙追及相遇(2)相遇時距離中點多少千米(3)50小時內，甲乙兩車共迎面相遇多少次三、火車問題。特點無非是涉及到車長，相對容易。小題型分為：(1)火車vs點(靜止的，如電線桿和運動的，如人)s火車=(v火車±v人)×t經過(2)火車vs線段(靜止的，如橋和運動的，如火車)s火車+s橋=v火車×t經過和s火車1+s火車2=(v火車1±v火車2)×t經過合并(1)和(2)來理解即s和=v相對×t經過把電線桿、人的水平長度想象為0即可?；疖噯栴}足見基本公式的應用廣度，只要略記公式，火車問題一般不是問題。(3)坐在火車里。本身所在火車的車長就形同虛設了，注意的是相對速度的計算。電線桿、橋、隧道的速度為0(弱智結論)。四、流水行船問題。理解了相對速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1個公式(順水船速=靜水船速+水流速度)就可以順勢理解和推導出其他公式(逆水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=(順水船速+逆水船速)÷2，水流速度=(順水船速-逆水船速)÷2)，對于流水問題也就夠了。技巧性結論如下：(1)相遇追及。水流速度對于相遇追及的時間沒有影響，即對無論是同向還是相向的兩船的速度差不構成“威脅”，大膽使用為善。(2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1=t2(t1：從落物到發(fā)現(xiàn)的時間段，t2：從發(fā)現(xiàn)到拾到的時間段)與船速、水速、順行逆行無關。此結論所帶來的時間等式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。例題：一條河上有甲、乙兩個碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游50千米處。一艘客船和一艘貨船分別從甲、乙兩碼頭同時出發(fā)向上游行駛，兩船的靜水速度相同?？痛霭l(fā)時有一物品從船上落入水中，10分鐘后此物品距客船5千米。客船在行駛20千米后掉頭追趕此物品，追上時恰好和貨船相遇。求水流速度。五、間隔發(fā)車問題。空間理解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個基本公式，一般問題都可以迎刃而解。(1)在班車里。即柳卡問題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。例題：A、B是公共汽車的兩個車站，從A站到B站是上坡路。每天上午8點到11點從A、B兩站每隔30分同時相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從A站到B站單程需要105分鐘，從B站到A站單程需要80分鐘。問8：30、9：00從A站發(fā)車的司機分別能看到幾輛從B站開來的汽車(2)在班車外。聯(lián)立3個基本公式好使。汽車間距=(汽車速度+行人速度)×相遇事件時間間隔------1汽車間距=(汽車速度-行人速度)×追及事件時間間隔------2汽車間距=汽車速度×汽車發(fā)車時間間隔------31、2合并理解，即汽車間距=相對速度×時間間隔分為2個小題型：1、一般間隔發(fā)車問題。用3個公式迅速作答;2、求到達目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標準方法是：畫圖-盡可能多的列3個好使公式-結合s全程=v×t-結合植樹問題數(shù)數(shù)。例題：小峰在騎自行車去小寶家聚會的路上注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從后方超越小峰。小峰騎車到半路車壞了，于是只好坐出租車去小寶家。這時小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，如果這3種車輛在行駛過程中都保持勻速，那么公交車站每隔多少分鐘發(fā)一輛車六、平均速度問題。相對容易的題型。大公式要牢牢記住：總路程=平均速度×總時間。用s=v×t寫出相應的比要比直接寫比例式好理解并且規(guī)范，形成行程問題的統(tǒng)一解決方案。七、環(huán)形問題。是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為“同一路徑”、“不同路徑”、“真實相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問題、幾何位置問題(審題不仔細容易漏掉多種位置可能)、不等式問題(針對“能否看到”問題，即問甲能否在線段的拐角處看到乙)。仍舊屬于就題論題范疇，不展開了。八、鐘表問題。是環(huán)形問題的特定引申?；娟P系式：v分針=12v時針(1)總結記憶：時針每分鐘走1/12格，°;分針每分鐘走1格，6°。時針和分針“半”天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表畫圖總結)。(2)基本解題思路：路程差思路。即格或角(分針)=格或角(時針)+格或角(差)格：x=x/12+(開始時落后時針的格+終止時超過時針的格)角：6x=x/2+(開始時落后時針的角度+終止時超過時針的角度)可以解決大部分時針問題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個格中間，和哪一個時刻形成多少角度。例題：在9點23分時，時針和分針的夾角是多少度從這一時刻開始，經過多少分鐘，時針和分針第一次垂直(3)壞鐘問題。所用到的解決方法已經不是行程問題了，變成比例問題了，有相應的比例公式。這里不做討論了，我也討論不好，都是考公務員的題型，有難度。九、自動扶梯問題。仍然用基本關系式s扶梯級數(shù)=(v人速度±v扶梯速度)×t上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是“級”，唯一要注意的是t上或下要表示成實際走的級數(shù)/人的速度?？梢訮K掉絕大部分自動扶梯問題。例題：商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下向上走，男孩由上向下走，結果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓下。如果男孩單位時間內走的扶梯級數(shù)是女孩的2倍，則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級十、十字路口問題。即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實實把圖畫對，再通過幾何分析就可以解決。十一、校車問題。就是這樣一類題：隊伍多，校車少，校車來回接送，隊伍不斷步行和坐車，最終同時到達目的地(即到達目的地的最短時間，不要求證明)分4種小題型：根據(jù)校車速度(來回不同)、班級速度(不同班不同速)、班數(shù)是否變化分類。(1)車速不變-班速不變-班數(shù)2個(最常見)(2)車速不變-班速不變-班數(shù)多個(3)車速不變-班速變-班數(shù)2個(4)車速變-班速不變-班數(shù)2個標準解法：畫圖-列3個式子：1、總時間=一個隊伍坐車的時間+這個隊伍步行的時間;2、班車走的總路程;3、一個隊伍步行的時間=班車同時出發(fā)后回來接它的時間。最后會得到幾個路程段的比值，再根據(jù)所求代數(shù)即可。此類問題可以得到幾個公式，但實話說公式無法記憶，因為相對復雜，只能臨考時抱佛腳還管點兒用。孩子有興趣推導一下倒可以，不要死記硬背。簡單例題：甲班與乙班學生同時從學校出發(fā)去15千米外的公園游玩，甲、乙兩班的步行速度都是每小時4千米。學校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時間內到達公園，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離是多少千米十二、保證往返類。簡單例題：A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可以攜帶一個人24天的食物和水。如果不準將部分食物存放于途中，其中一個人最遠可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發(fā)點)這類問題其實屬于智能應用題類。建議推導后記憶結論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠可以走的時間T(1)返回類。(保