利用空間向量解立體幾何

距離為

(

距離為

(

)

(

)

(

)一、基本工具1.數(shù)量積：

b

b

2.射影公式：向量

在b上的射影為

bb3.直線

C

的法向量為

,

，方向向量為

,4.平面的法向量（略）二、用向量法解空間位置關(guān)系1.平行關(guān)系線線平行兩線的方向向量平行線面平行線的方向向量與面的法向量垂直面面平行兩面的法向量平行2.垂直關(guān)系線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直線面垂直線與面的法向量平行面面垂直兩面的法向量垂直三、用向量法解空間距離1.點(diǎn)點(diǎn)距離點(diǎn)P

,

,

與

,

,

的 uuur 2.點(diǎn)線距離求點(diǎn)

,

到直線l:

C

的距離：

/

=

C

=

Cuuur則向量

在法向量

,

上的射影

uuur

即為點(diǎn)

到l的距離.3.點(diǎn)面距離求點(diǎn)

,

到平面

的距離： uuur方法：在平面上去一點(diǎn)

,

，得向量，計(jì)算平面

的法向量，uuur計(jì)算在

上的射影，即為點(diǎn)

到面

的距離.四、用向量法解空間角1.線線夾角（共面與異面）線線夾角

兩線的方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角2.線面夾角求線面夾角的步驟：①

為鈍角，則取其補(bǔ)角；②再求其余角，即是線面的夾角.3.面面夾角（二面角）若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.

/

a,

b

上各任取一個(gè)向量

a,

b

上各任取一個(gè)向量

，則角<

>=θ或πθ，因?yàn)棣仁卿J角，所以

,

不需要用法向量。向量法求空間兩條異面直線a,

b

1、運(yùn)用法向量求直線和平面所成角

A設(shè)平面α的法向量為n=（x,

y,

1)，則直線

AB

和平面α所成的角θ的正弦值為

uuur uuur sinθ=

cos(

-θ)

=

|cos<AB,

n>|

=

AB

?AB

?uuur AB

?

2、運(yùn)用法向量求二面角

uur

uur

uur設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量為

n

,n

，則<n

,n

>或π-<n

,n

>是所求

uur角。這時(shí)要借助圖形來(lái)判斷所求角為銳角還是鈍角，來(lái)決定

<n

,n

>

uur是所求，還是π-<n

,n

>是所求角。 1、求兩條異面直線間的距離r設(shè)異面直線

a、b

的公共法向量為

,

,

，在

a、b

上任取一點(diǎn)

A、B，則異面直線

a、b

的距離uuur

rd

=AB·cos∠BAA

r?

/

略證：如圖，EF

為

a、b

的公垂線段，a為過(guò)

F

與

a

平行的直線，在

a、b在

a、b

上任取一點(diǎn)

A、B，過(guò)

A

作

AA

a于

A則

//，所以∠BAA<,n>（或其補(bǔ)角）uuuur

uuur

uuur

r∴異面直線

a、b

的距離

d

=AB·cos∠BAA

r?

其中，n的坐標(biāo)可利用及的定義得

rr

uuur

uuur

上的任一向量,

b（或圖中的

,BF

），r r r

r

?

r r

r

r

b ?b

r①

解方程組可得。2、求點(diǎn)到面的距離求

A

點(diǎn)到平面α的距離，設(shè)平面α的法向量法為

n

,，在αuuur

r 內(nèi)任取一點(diǎn)

A

點(diǎn)到平面α的距離為d

=

r?

的坐標(biāo)由 r述,

XOY

，下同）。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線

a

到平面α的距離，設(shè)平面α的法向量法為

n

,，在直線

a

上任取一點(diǎn)

A，在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)

B，則直線

a

到平面α的uuur

r距離

d

=

r?4、求兩平行平面的距離

/

uuur

uuur建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)法向量

(

uuur

uuur建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)法向量

(

,

,與平面

C

DE

垂直，則有

uuurn

EC

n

,uuur

rβ內(nèi)各任取一點(diǎn)

A、B，則平面α到平面β的距離

d

=

r?

uur設(shè)平面外的直線

a

n

,n

， 則 uura//

n

a//n

uur uur//

n

//n

n

n 例

1：如右下圖,在長(zhǎng)方體

ABCD—A

B

C

D

中,已知

AB=

4,

AD

=3, AA

=

2.

分別是線段

上的點(diǎn)，且

EB=

FB=1.(1)

求二面角

的正切值;(2)

求直線

EC

與

FD

所成的余弦值.

A

為原點(diǎn)，,,

分別為

x

軸,z

軸的正向則

D(0,3,0)、D

(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C

(4,3,2) uuur uuur uuur于是，DE

EC

FD

n

DE

uuur

n

uuur

CDE, uuur

n

DE

uuur

n

/

uuur

uuur（II）設(shè)

EC

與

FD

所成角為β，則uuur

uuur

rr

EC

FD

(

(

例

2：如圖，已知四棱錐

P-ABCD，底面

ABCD

是菱形，∠DAB=60，PD⊥平面

ABCD，PD=AD，點(diǎn)

E

為AB

中點(diǎn)，點(diǎn)

F

為

PD

中點(diǎn)。（1）證明平面

（2）求二面角

P-AB-F

的平面角的余弦值

ABCD

是菱形，∠DAB=60，∴△ABD

是等邊三角形，又

E

是

AB

中點(diǎn)，連結(jié)

BD∴∠EDB=30，∠BDC=60，∴∠EDC=90，如圖建立坐標(biāo)系

AD=AB=1，則

PF=FD=

，ED=

， ∴

，

，0） uuur∴

，

uuur=

（

uuur平面

PED

的一個(gè)法向量為

=（0，1，0）

，設(shè)平面

PAB

的法向量為n=（x,

y,

1)

uuur

uuur

,

?,

,

,

?

PE

∴∴n

,

0,

1)uuur uuur ∵

·n=0

即

⊥n ∴平面

PED⊥平面

PAB

/

（2）解：由（1）知：平面

PAB

的法向量為

,

0,

1),

設(shè)平面FAB

的法向量為n（2）解：由（1）知：平面

PAB

的法向量為

,

0,

1),

設(shè)平面FAB

的法向量為n

=（x,

y,

由（1）知：F（0，0，-

），由

FB FE

），uuur

，

，-

），

=

（

FB FE

uuur

FB

,

uuur

FB

,,

?,

,

FE

,,

?

∴

∴

,

0,

1)∴二面角

P-AB-F

的平面角的余弦值

cos

θ=

|cos<

n

,

n

>|

?

=

?

B

C

D

B

C

D

的中 心，點(diǎn)P在棱CC

上，且CC

=4CP. (Ⅰ)求直線AP與平面BCC

B

所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表 示）；(Ⅱ)設(shè)O點(diǎn)在平面D

AP上的射影是H，求證：D

H⊥AP； (Ⅲ)求點(diǎn)P到平面ABD

的距離.解:

(Ⅰ)如圖建立坐標(biāo)系D-ACD

,∵棱長(zhǎng)為4

/

∴

=

(-4,

4,

1) ,∴

=

(-4,

4,

1) ,

顯然

=（0，4，0）為平面BCC

Bruuu uuurr

∴直線∴直線AP

與平面BCC

B

所成的角θ的正弦值

sin

θ=

|cos<

,ruuur

>|=

?

(Ⅲ)

設(shè)平面ABD

的法向量為n=（x,

(Ⅲ)

設(shè)平面ABD

的法向量為n=（x,

y,

ruuu uuuurr∵

得

得

∴

n=（1,

0,

ruuu由n⊥，n⊥

uuur

∴點(diǎn)P到平面ABD的距離

d

= ?

例

4：在長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，3

的長(zhǎng)方體

ABCD-A

B

C

D

中，O 是底面中心，求

A

O

與

B

C

的距離。 解：如圖，建立坐標(biāo)系D-ACD

，則

C設(shè)

設(shè)

A

O

與

B

C

的公共法向量為n

,，則 uuuur∴

(

A

B

C

r

r

(

,

?(

C (

,

?(

/

B∴

,?∴

,?,d

r?

∴

A

O

與

B

C

的距離為 uuuur

r

例

5：在棱長(zhǎng)為

1

的正方體

ABCD-A

B

C

D

中，E、F

分別是

B

C

、C

D 的中點(diǎn)，求

A

到面

BDFE

的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系D-ACD

，則

uuur uuur ∴uuur uuur ∴

BE

設(shè)面

BDFE

的法向量為n

,，則

A

FB

E

,

,

?

n

BE

n

uuur

,

?

C

r?

?

∴

∴

A

到面BDFE的距離為d

r

B五、課后練習(xí):1、如圖,已知正四棱柱

ABCD-A

B

C

D

,

AB=1,AA

E

為

CC

點(diǎn)

F

為

BD

中點(diǎn).

（1）

證明

EF

為

BD

與

CC

點(diǎn)

D

到面

BDE

的距離.

2、已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)為1，過(guò)D

作

PD⊥平面

E、F

分別是

AB

和

BC

D

到平面

PEF

直線

AC

到平面

P