線性代數(shù)第6講課件

線性代數(shù)第6講1線性代數(shù)第6講122如果兩矩陣A與B相乘,有AB=BA,則稱矩陣A與矩陣B可交換.3如果兩矩陣A與B相乘,有AB=BA,則稱矩陣A與矩陣B可例7.求與矩陣可交換的一切矩陣.4例7.求與矩陣可交換的一切矩陣.4解:顯然與矩陣A可交換的矩陣必為4階矩陣,設(shè)為5解:顯然與矩陣A可交換的矩陣必為4階矩陣,設(shè)為5則6則677由AB=BA,即a1=0,b1=a,c1=b,d1=ca2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=ba3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=a8由AB=BA,即a1=0,b1=a,c1=b,d1=a1=0,b1=a,c1=b,d1=c

a2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=b

a3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=a其中a,b,c,d為任意數(shù).9a1=0,b1=a,c1=b,d1=c

a2=0,b1010既然矩陣乘法不滿足交換律,因之矩陣相乘時必須注意順序,AX稱為用X右乘A,XA稱為用X左乘A.11既然矩陣乘法不滿足交換律,因之矩陣相乘時必須注意順序,A一般矩陣用大寫黑體字母A,B,X,Y,…表示,但一行n列或n行一列的矩陣,為了與后面章節(jié)的符號一致,有時也用小寫黑體字母a,b,x,y,…表示.

例如,等.12一般矩陣用大寫黑體字母A,B,X,Y,…表示,但一行n列或例9.在線性方程組令方程組可以表示為矩陣形式Ax=b.13例9.在線性方程組令方程組可以表示為矩陣形式Ax=b.131414即15即15分別解(1),(2)和(3),(4)兩個方程組得

x11=1,x21=-1,x12=0,x22=2

所以16分別解(1),(2)和(3),(4)兩個方程組得

x11=矩陣乘法有下列性質(zhì)(設(shè)下列矩陣都可以進(jìn)行有關(guān)運算):

(1)(AB)C=A(BC)

(2)(A+B)C=AC+BC

(3)C(A+B)=CA+CB

(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)17矩陣乘法有下列性質(zhì)(設(shè)下列矩陣都可以進(jìn)行有關(guān)運算):

(1)證:現(xiàn)在證明(2),(A+B)C=AC+BC

設(shè)A=(aik)ml,B=(bik)ml,C=(ckj)ln

則 (A+B)C=((aik)ml+(bik)ml)(ckj)ln

=(aik+bik)ml(ckj)ln同理可證(1),(3),(4)成立.18證:現(xiàn)在證明(2),(A+B)C=AC+BC

設(shè)A=(a例11.證明:如果CA=AC,CB=BC,則有(A+B)C=C(A+B),(AB)C=C(AB).

證:因為CA=AC,CB=BC

故有 (A+B)C=AC+BC=CA+CB

=C(A+B)

(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B

=(CA)B=C(AB)19例11.證明:如果CA=AC,CB=BC,則有(A+關(guān)于矩陣乘法還有下面一個重要性質(zhì):同階方陣A與B的乘積的行列式,等于矩陣A的行列式與矩陣B的行列式的乘積.即

|AB|=|A||B|

我們略去證明,只用二階矩陣為例加以驗證.

設(shè)20關(guān)于矩陣乘法還有下面一個重要性質(zhì):同階方陣A與B的乘積的行2121(三)矩陣的轉(zhuǎn)置

定義2.6將mn矩陣A的行與列互換,得到的nm矩陣,稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT或A'.即如果22(三)矩陣的轉(zhuǎn)置

定義2.6將mn矩陣A的行與列互換,例如,設(shè)則23例如,設(shè)則23轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì):

(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

(4)(AB)T=BTAT24轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì):

(1)(AT)T=A

(2)(A+證:性質(zhì)(1),(2),(3)顯然成立,現(xiàn)證(4).

設(shè)A=(aik)ml,B=(bkj)ln

AB是mn矩陣,因此(AB)T是nm矩陣,而BT是nl矩陣,AT是lm矩陣,因此BTAT也是nm矩陣,所以矩陣(AB)T與矩陣BTAT有相同的行數(shù)與相同的列數(shù).25證:性質(zhì)(1),(2),(3)顯然成立,現(xiàn)證(4).

設(shè)矩陣(AB)T第j行第i列的元素是AB的第i行第j列的元素而矩陣BTAT第j行第i列的元素,應(yīng)為矩陣BT的第j行元素與矩陣AT的第i列元素對應(yīng)相乘的和,即矩陣B的第j列元素與矩陣A的第i行元素對應(yīng)相乘的和26矩陣(AB)T第j行第i列的元素是AB的第i行第j列的元素而于是得到矩陣(AB)T與矩陣BTAT的對應(yīng)元素相等.所以矩陣(AB)T等于矩陣BTAT.27于是得到矩陣(AB)T與矩陣BTAT的對應(yīng)元素相等.所以矩(四)方陣的冪

對于方陣A及自然數(shù)k稱為方陣A的k次冪.方陣的冪有下列性質(zhì):設(shè)A是方陣,k1,k2是自然數(shù),28(四)方陣的冪

對于方陣A及自然數(shù)k稱為方陣A的k次冪.2§2.3幾種特殊的矩陣29§2.3幾種特殊的矩陣29(一)對角矩陣

如果n階矩陣A=(aij)中的元素滿足條件

aij=0 ij(i,j=1,2,,n)

則稱A為n階對角矩陣,即(這種記法表示主對角線以外沒有注明的元素均為零.)30(一)對角矩陣

如果n階矩陣A=(aij)中的元素滿足條件

由31由31可見,如果A,B為同階對角矩陣,則kA,A+B,AB仍為同階對角矩陣.

顯然,如果A是對角矩陣,則AT=A.32可見,如果A,B為同階對角矩陣,則kA,A+B,A(二)數(shù)量矩陣

如果n階對角矩陣A中的元素a11=a22==ann=a時,則稱A為n階數(shù)量矩陣,即以數(shù)量矩陣A左乘或右乘(如果可乘)一個矩陣B,其乘積等于以數(shù)a乘矩陣B.33(二)數(shù)量矩陣

如果n階對角矩陣A中的元素a11=a22=如34如343535(三)單位矩陣

如果n階數(shù)量矩陣A中的元素a=1時,則稱A為n階單位矩陣,記作In,有時簡記為I.即36(三)單位矩陣

如果n階數(shù)量矩陣A中的元素a=1時,則稱單位矩陣有

ImAmn=Amn

AmnIn=Amn

對于n階矩陣A,規(guī)定A0=I

單位矩陣I在矩陣乘法中與數(shù)1在數(shù)的乘法中有類似的性質(zhì).

有的教科書和論文中用字母E表示單位矩陣.37單位矩陣有

ImAmn=Amn AmnIn=Amn(四)三角形矩陣

如果n階矩陣A=(aij)中的元素滿足條件

aij=0 i>j (i,j=1,2,,n)

則稱A為n階上三角形矩陣.即38(四)三角形矩陣

如果n階矩陣A=(aij)中的元素滿足條如果n階矩陣B=(bij)中的元素滿足條件

bij=0 i<j (i,j=1,2,,n)

則稱B為n階下三角矩陣,即39如果n階矩陣B=(bij)中的元素滿足條件

bij=0 i若A,B為同階同結(jié)構(gòu)三角形矩陣,容易驗證kA,A+B,AB仍為同階同結(jié)構(gòu)三角形矩陣.40若A,B為同階同結(jié)構(gòu)三角形矩陣,容易驗證kA,A+B,作業(yè):習(xí)題二(A)

第99頁開始

第19,20,21,26,28題41作業(yè):習(xí)題二(A)

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第19,20,21,26線性代數(shù)第6講42線性代數(shù)第6講1432如果兩矩陣A與B相乘,有AB=BA,則稱矩陣A與矩陣B可交換.44如果兩矩陣A與B相乘,有AB=BA,則稱矩陣A與矩陣B可例7.求與矩陣可交換的一切矩陣.45例7.求與矩陣可交換的一切矩陣.4解:顯然與矩陣A可交換的矩陣必為4階矩陣,設(shè)為46解:顯然與矩陣A可交換的矩陣必為4階矩陣,設(shè)為5則47則6487由AB=BA,即a1=0,b1=a,c1=b,d1=ca2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=ba3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=a49由AB=BA,即a1=0,b1=a,c1=b,d1=a1=0,b1=a,c1=b,d1=c

a2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=b

a3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=a其中a,b,c,d為任意數(shù).50a1=0,b1=a,c1=b,d1=c

a2=0,b5110既然矩陣乘法不滿足交換律,因之矩陣相乘時必須注意順序,AX稱為用X右乘A,XA稱為用X左乘A.52既然矩陣乘法不滿足交換律,因之矩陣相乘時必須注意順序,A一般矩陣用大寫黑體字母A,B,X,Y,…表示,但一行n列或n行一列的矩陣,為了與后面章節(jié)的符號一致,有時也用小寫黑體字母a,b,x,y,…表示.

例如,等.53一般矩陣用大寫黑體字母A,B,X,Y,…表示,但一行n列或例9.在線性方程組令方程組可以表示為矩陣形式Ax=b.54例9.在線性方程組令方程組可以表示為矩陣形式Ax=b.135514即56即15分別解(1),(2)和(3),(4)兩個方程組得

x11=1,x21=-1,x12=0,x22=2

所以57分別解(1),(2)和(3),(4)兩個方程組得

x11=矩陣乘法有下列性質(zhì)(設(shè)下列矩陣都可以進(jìn)行有關(guān)運算):

(1)(AB)C=A(BC)

(2)(A+B)C=AC+BC

(3)C(A+B)=CA+CB

(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)58矩陣乘法有下列性質(zhì)(設(shè)下列矩陣都可以進(jìn)行有關(guān)運算):

(1)證:現(xiàn)在證明(2),(A+B)C=AC+BC

設(shè)A=(aik)ml,B=(bik)ml,C=(ckj)ln

則 (A+B)C=((aik)ml+(bik)ml)(ckj)ln

=(aik+bik)ml(ckj)ln同理可證(1),(3),(4)成立.59證:現(xiàn)在證明(2),(A+B)C=AC+BC

設(shè)A=(a例11.證明:如果CA=AC,CB=BC,則有(A+B)C=C(A+B),(AB)C=C(AB).

證:因為CA=AC,CB=BC

故有 (A+B)C=AC+BC=CA+CB

=C(A+B)

(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B

=(CA)B=C(AB)60例11.證明:如果CA=AC,CB=BC,則有(A+關(guān)于矩陣乘法還有下面一個重要性質(zhì):同階方陣A與B的乘積的行列式,等于矩陣A的行列式與矩陣B的行列式的乘積.即

|AB|=|A||B|

我們略去證明,只用二階矩陣為例加以驗證.

設(shè)61關(guān)于矩陣乘法還有下面一個重要性質(zhì):同階方陣A與B的乘積的行6221(三)矩陣的轉(zhuǎn)置

定義2.6將mn矩陣A的行與列互換,得到的nm矩陣,稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT或A'.即如果63(三)矩陣的轉(zhuǎn)置

定義2.6將mn矩陣A的行與列互換,例如,設(shè)則64例如,設(shè)則23轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì):

(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

(4)(AB)T=BTAT65轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì):

(1)(AT)T=A

(2)(A+證:性質(zhì)(1),(2),(3)顯然成立,現(xiàn)證(4).

設(shè)A=(aik)ml,B=(bkj)ln

AB是mn矩陣,因此(AB)T是nm矩陣,而BT是nl矩陣,AT是lm矩陣,因此BTAT也是nm矩陣,所以矩陣(AB)T與矩陣BTAT有相同的行數(shù)與相同的列數(shù).66證:性質(zhì)(1),(2),(3)顯然成立,現(xiàn)證(4).

設(shè)矩陣(AB)T第j行第i列的元素是AB的第i行第j列的元素而矩陣BTAT第j行第i列的元素,應(yīng)為矩陣BT的第j行元素與矩陣AT的第i列元素對應(yīng)相乘的和,即矩陣B的第j列元素與矩陣A的第i行元素對應(yīng)相乘的和67矩陣(AB)T第j行第i列的元素是AB的第i行第j列的元素而于是得到矩陣(AB)T與矩陣BTAT的對應(yīng)元素相等.所以矩陣(AB)T等于矩陣BTAT.68于是得到矩陣(AB)T與矩陣BTAT的對應(yīng)元素相等.所以矩(四)方陣的冪

對于方陣A及自然數(shù)k稱為方陣A的k次冪.方陣的冪有下列性質(zhì):設(shè)A是方陣,k1,k2是自然數(shù),69(四)方陣的冪

對于方陣A及自然數(shù)k稱為方陣A的k次冪.2§2.3幾種特殊的矩陣70§2.3幾種特殊的矩陣29(一)對角矩陣

如果n階矩陣A=(aij)中的元素滿足條件

aij=0 ij(i,j=1,2,,n)

則稱A為n階對角矩陣,即(這種記法表示主對角線以外沒有注明的元素均為零.)71(一)對角矩陣

如果n階矩陣A=(aij)中的元素滿足條件

由72由31可見,如果A,B為同階對角矩陣,則kA,A+B,AB仍為同階對角矩陣.

顯然,如果A是對角矩陣,則AT=A.73可見,如果A,B為同階對角矩陣,則kA,A+B,A(二)數(shù)量矩陣

如果n階對角矩陣A中的元素a11=a22==ann=a時,則稱A為n階數(shù)量矩陣