微分幾何曲面局部理論

微分幾何2011.04--06

講師沈玉萍微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!第二章曲面：局部理論節(jié)參數(shù)曲面和基本形式第二節(jié)Gauss映射和第二基本形式第三節(jié)G-C方程和曲面基本定理第四節(jié)協(xié)變微分，平行移動(dòng)和測(cè)地線微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!第二章曲面：局部理論第二節(jié)Gauss映射和第二基本形式定義給定正則參數(shù)曲面，單位法向量對(duì)應(yīng)的映射稱為曲面的Gauss映射。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!第二章曲面：局部理論思路：曲面在點(diǎn)的形狀，可以由曲面上經(jīng)過點(diǎn)的曲線的曲率來描述。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!第二章曲面：局部理論命題對(duì)任意切向量，的方向?qū)?shù)仍然是切向量。由此定義的映射是一個(gè)對(duì)稱的線性映射，即我們稱為曲面在點(diǎn)的形狀算子，或者Weingarten映射。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!第二章曲面：局部理論利用向量函數(shù)的混合偏導(dǎo)來證明當(dāng)時(shí)滿足:對(duì)于，都可以寫成和的線性組合，容易驗(yàn)證對(duì)稱性成立?！?/p>

微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!第二章曲面：局部理論例1是半徑為，中心在原點(diǎn)的的球面，則在局部參數(shù)表示下Gauss映射為它的形狀算子滿足所以它在每點(diǎn)切平面上都是的數(shù)量線性變換。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!第二章曲面：局部理論在點(diǎn)鄰域上的有正則參數(shù)表示，有自然的基底，我們定義曲面的第二類基本量微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!第二章曲面：局部理論如果是單位正交標(biāo)架，則矩陣就是形狀算子。但是一般情形下，有矩陣表示作為實(shí)對(duì)稱矩陣，可以對(duì)角化，它有兩個(gè)實(shí)特征值，記為和。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!第二章曲面：局部理論定理（Euler公式）令為曲面在點(diǎn)的單位主方向，分別對(duì)應(yīng)主曲率和。假設(shè)切向量，其中。則證明：略。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!第二章曲面：局部理論定義如果曲面切向量確定的法截線點(diǎn)處的曲率為零，即我們稱為在點(diǎn)的一個(gè)漸近方向。如果曲面上的曲線每一點(diǎn)的切方向都是漸近方向，那么這條曲線稱為漸近線。如果曲面包含直線，則直線為漸近線。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!第二章曲面：局部理論例2如圖所示圓柱螺面是一個(gè)直紋面，它所有的

直母線明顯都是漸近線。

另外，不太明顯的，其上的一族圓柱螺線也都是漸近線。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!第二章曲面：局部理論假設(shè)為曲面上一條弧長參數(shù)曲線，滿足那么由之前的計(jì)算得到它給出了曲線的曲率向量在曲面的單位向量上的投影，我們稱它為在點(diǎn)處的法曲率，記為。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!第二章曲面：局部理論主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假設(shè)，則由Euler公式得法曲率的最大值和最小值出現(xiàn)在互相正交的方向上。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!第二章曲面：局部理論定義曲面在點(diǎn)處的主曲率滿足則稱為點(diǎn)為曲面的臍點(diǎn)。特別的，稱為平點(diǎn)。如果，且不是平點(diǎn)，則稱為拋物點(diǎn)；如果，則稱為橢圓點(diǎn)；如果，則稱為雙曲點(diǎn)。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!第二章曲面：局部理論例4偽球面有參數(shù)表示其中如圖它是由曳物線得到的旋轉(zhuǎn)面。

微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!第二章曲面：局部理論所以曲面的一個(gè)主曲率為微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!第二章曲面：局部理論中曲率為零的曲面稱為極小曲面，如懸鏈面。它的兩個(gè)主曲率為相反數(shù)，因此它只有平點(diǎn)或者雙曲點(diǎn)，沒有橢圓點(diǎn)。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!第二章曲面：局部理論第三節(jié)Gauss-Codazzi方程和曲面基本定理給定正則參數(shù)曲面，它的局部正則參數(shù)表示給出了的一組基底。之前的第二類基本形式基本量恰好是二階微分向量在單位法向量上的投影。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!第二章曲面：局部理論例1單位球面給定一個(gè)參數(shù)表示計(jì)算它的Christoffel記號(hào)。解：首先局部基底是微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!第二章曲面：局部理論容易得到又由推出所以■微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!第二章曲面：局部理論觀察得到微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!第二章曲面：局部理論同理微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!第二章曲面：局部理論形狀算子在基底下有矩陣表示這里涉及的是向量的一階微分微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!第二章曲面：局部理論由于，比較線性表示的系數(shù)得到微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!第二章曲面：局部理論由上述兩組等式(eq-4)和(eq-5)中法向量的系數(shù)得到的是曲面的Codazzi方程微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!第二章曲面：局部理論當(dāng)時(shí)，由Gauss方程我們得到（習(xí)題）定理(Gauss’sTheoremaEgregium）曲面的Gauss曲率由曲面的基本形式?jīng)Q定，即它在曲面的局部等距對(duì)應(yīng)下保持不變。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!第二章曲面：局部理論Gauss－Codazzi方程被稱為曲面論的相容性方程。通過逐次微分或任何別的手段，我們不能在曲面的基本形式和第二基本形式基本量及其導(dǎo)數(shù)之間得到更多的關(guān)系式。事實(shí)上，基本形式和第二基本形式局部上決定了曲面。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!第二章曲面：局部理論存在性：給定區(qū)域上函數(shù)滿足

和Gauss－Codazzi方程，則每一點(diǎn)局部上存在鄰域和正則參數(shù)曲面滿足微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!第二章曲面：局部理論第四節(jié)協(xié)變微分，平行移動(dòng)和測(cè)地線曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何概念之一：“平行移動(dòng)”。如何比較曲面上任意兩點(diǎn)的切向量?怎么判斷它們是否平行？微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!第二章曲面：局部理論于是我們可以考慮對(duì)曲面上的切向量場(chǎng)求關(guān)于切向量的方向?qū)?shù)：選取曲面上的一條參數(shù)曲線滿足則注意:曲面上“居民”只看得到上述向量在曲面切平面的投影！微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!第二章曲面：局部理論例1單位球面上任意一個(gè)大圓的切向量場(chǎng)是單位切向量場(chǎng)，恰好是指向球心，所以球面上大圓的切向量場(chǎng)沿著大圓平行。另外常向量場(chǎng)沿著球面的赤道平行。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!第二章曲面：局部理論命題設(shè)是曲面上一條參數(shù)曲線，且，切向量。則沿著存在唯一的平行向量場(chǎng)使得。證明：不妨設(shè)曲線包含在某個(gè)參數(shù)表示中，有。進(jìn)一步假設(shè)微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!第二章曲面：局部理論是沿著的平行向量場(chǎng)當(dāng)且僅當(dāng)是下列方程組的解：由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了，使得，我們就得到唯一的平行向量場(chǎng)滿足。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!第二章曲面：局部理論例3單位球面上緯線圓，考慮向量從點(diǎn)出發(fā)沿著緯線逆時(shí)針的平行移動(dòng)。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!第二章曲面：局部理論命題假設(shè)和是沿的兩個(gè)平行向量場(chǎng)，則內(nèi)積為常數(shù)。推論平行移動(dòng)保持向量的長度和夾角。證明：向量場(chǎng)沿平行，則與平行，則同理微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!第二章曲面：局部理論曲面上以弧長為參數(shù)的測(cè)地線的曲率向量

在曲面的切平面上投影為零，即測(cè)地線在每點(diǎn)的主法向量與曲面的法向量平行。

這里曲線的曲率向量在曲面法向量上的投影恰好是曲線的法曲率。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!第二章曲面：局部理論此時(shí)，曲率向量可以分解為其中法曲率是曲率的法分量，而是曲率的切分量，稱為曲面上曲線的測(cè)地曲率（geodesiccurvature)。曲線是曲面測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)它的測(cè)地曲率為零。例1證明球面上的大圓是測(cè)地線。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!第二章曲面：局部理論證明：曲線和曲線的單位切向量為

曲線的切向量夾角滿足Darboux標(biāo)架中微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!第二章曲面：局部理論于是定理成立。特別的，曲線和曲線的測(cè)地曲率分別為

因此Liouville公式可以改寫成

■微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!第二章曲面：局部理論命題在曲面上給定點(diǎn)和非零切向量存在和唯一的測(cè)地線滿足由上面命題中的唯一性可推出球面上測(cè)地線只能是大圓；平面上的測(cè)地線只能是直線。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!第二章曲面：局部理論微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!第二章曲面：局部理論則的弧長滿足其中是連接和的測(cè)地線弧長。平面上兩點(diǎn)之間的連線以直線段最短。（整體）微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!第二章曲面：局部理論曲面的很多幾何性質(zhì)體現(xiàn)在其Gauss映射中，例如平面的切平面不變，Gauss映射為常值函數(shù)；圓柱的切平面沿著母線不變，則Gauss映射將圓柱面映射到球面的一個(gè)圓周上；圓心在原點(diǎn)的球面，Gauss映射就是位置向量的單位化。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!第二章曲面：局部理論定義在點(diǎn)由單位切方向和單位法向量決定的平面稱為曲面在點(diǎn)由此切方向確定的法截面。法截面與曲面的交線稱為曲面在點(diǎn)的一條法截線。假設(shè)某條法截線由弧長參數(shù)表示則它在點(diǎn)的主法向量為，曲率微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!第二章曲面：局部理論證明假設(shè)法截線有弧長參數(shù)表示考慮到是單位向量，滿足所以成立。另外關(guān)于向量自然是線性的。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!第二章曲面：局部理論命題如果曲面任意一點(diǎn)的形狀算子都是零，則是平面（的一部分）。證明由于那么對(duì)于點(diǎn)附近的任意一個(gè)正則參數(shù)表示有由連通性可以得出是常向量，即曲面是平面?！鑫⒎謳缀吻婢植坷碚摴?4頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!第二章曲面：局部理論對(duì)于一般的曲面，我們不容易直接寫出形狀算子在切平面的局部標(biāo)架下的矩陣形式。但是形狀算子的關(guān)于內(nèi)積的對(duì)稱性誘導(dǎo)我們定義曲面的第二基本形式特別的對(duì)于微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!第二章曲面：局部理論曲面的第二基本形式局部參數(shù)表示下有對(duì)稱矩陣形式類似基本形式，我們得到曲面的第二基本形式的二次微分形式微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!第二章曲面：局部理論定義曲面在點(diǎn)處的形狀算子的特征值稱為曲面在此點(diǎn)的主曲率；對(duì)應(yīng)的特征方向稱為主方向。如果曲面上的曲線每一點(diǎn)的切方向都是主方向，那么這條曲線稱為曲率線。曲面在任意點(diǎn)的兩個(gè)主方向是正交的，于是我們可以選擇了切平面的一個(gè)正交基底恰好由主方向向量構(gòu)成。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!第二章曲面：局部理論注意到球面在任意一點(diǎn)的任意方向的法截線都有相同的（非零）曲率；下圖馬鞍面的有些法截線恰好是直線。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!第二章曲面：局部理論推論曲面在點(diǎn)處有漸近方向當(dāng)且僅當(dāng)

證明首先當(dāng)且僅當(dāng)是漸近方向。然后不妨設(shè)。如果，那么反過來，由，我們很容易構(gòu)造漸近方向。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!第二章曲面：局部理論事實(shí)上，如右圖所示，在點(diǎn)處的沿圓柱螺線單位切向量的法截線在點(diǎn)為拐點(diǎn)。因此，圓柱螺線是圓柱螺面上的漸近線。具體計(jì)算為作業(yè)。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!第二章曲面：局部理論（Meusnier公式）假設(shè)為曲面上在點(diǎn)的單位切向量為的一條曲線，則其中為曲線主法向量和曲面單位法向量的夾角。曲面上曲線在某一點(diǎn)的法曲率只取決于此點(diǎn)的切向量。漸近線的法曲率處處為零。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!第二章曲面：局部理論下面我們介紹曲面理論中極其重要的一些概念。定義曲面在點(diǎn)處的兩個(gè)主曲率的乘積

稱為在點(diǎn)的Gauss曲率；主曲率的平均值稱為在點(diǎn)的中曲率（平均曲率）。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!第二章曲面：局部理論例3環(huán)面的外側(cè)均為橢圓點(diǎn)，上下圓周為拋物點(diǎn)，內(nèi)側(cè)均為雙曲點(diǎn)。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!第二章曲面：局部理論經(jīng)線是曲率線，并且在經(jīng)線確定的平面上，主法向量和曲面的法向量一致。計(jì)算經(jīng)線的曲率以初始曲線為例：微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!第二章曲面：局部理論圓緯線是曲率線，曲率為，但這不是法曲率。由于和的夾角，利用Meusnier公式得到微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!第二章曲面：局部理論中曲率為非零常數(shù)的例子：球面，圓柱面等。Gauss曲率為零的例子：平面，圓柱面，圓錐面等。Gauss曲率為非零常數(shù)的例子：球面，偽球面等。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!第二章曲面：局部理論現(xiàn)在我們考慮上述二階微分向量在基底下的線性表示：函數(shù)被稱為Christoffel記號(hào)，滿足對(duì)稱性微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!第二章曲面：局部理論繼續(xù)求導(dǎo)計(jì)算微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!第二章曲面：局部理論對(duì)于一般的曲面，我們考慮內(nèi)積微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!第二章曲面：局部理論寫成矩陣形式微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!第二章曲面：局部理論利用(eq-2)驗(yàn)證例1的結(jié)果微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!第二章曲面：局部理論這保證我們能繼續(xù)對(duì)等式(eq-1）繼續(xù)求偏微分微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!第二章曲面：局部理論同理由，比較系數(shù)得到微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!第二章曲面：局部理論利用，(eq-3)，(eq-4)和(eq-5)得到的是曲面的Gauss方程微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!第二章曲面：局部理論Gauss曲率的定義利用了曲面在空間的位置，但實(shí)際上卻并不依賴于位置而只依賴于曲面的度量結(jié)構(gòu)（基本形式）；專門研究曲面上由基本形式?jīng)Q定的幾何學(xué)稱為內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，它在高維的推廣就是Riemann幾何學(xué)。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁!第二章曲面：局部理論曲面論基本定理唯一性：兩個(gè)正則參數(shù)曲面只相差一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)，即存在使得

當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的基本形式和第二基本形式。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第69頁!第二章曲面：局部理論曲面論基本定理的存在性部分要用到到偏微分方程組的解的存在定理，其中Gauss－Codazzi方程保證了對(duì)應(yīng)的偏微分方程組的可積性。曲面論基本定理的唯一性部分和曲線論基本定理類似。要注意的區(qū)別是曲面的局部自然標(biāo)架不是單位正交的。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第70頁!第二章曲面：局部理論定義：給定正則參數(shù)曲面，向量函數(shù)稱為上一個(gè)（切）向量場(chǎng)，如果它滿足（1）（2）對(duì)于曲面任意的正則參數(shù)表示

函數(shù)都是連續(xù)可微的。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第71頁!第二章曲面：局部理論定義曲面上的可微切向量場(chǎng)關(guān)于切向量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為給定上曲線，如果則稱向量場(chǎng)沿參數(shù)曲線平行。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第72頁!第二章曲面：局部理論例2曲面上參數(shù)曲線上對(duì)應(yīng)的切向量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)恰好可以由Christoffel記號(hào)表示。在給定局部參數(shù)表示下微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第73頁!第二章曲面：局部理論由于，我們計(jì)算微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第74頁!第二章曲面：局部理論定義設(shè)是曲面上一條參數(shù)曲線，且起始點(diǎn)為。是沿的平行向量場(chǎng)，則向量稱為沿到點(diǎn)的平行移動(dòng)。之前的命題的存在唯一性結(jié)論保證了平行移動(dòng)定義的合理性。如果曲線是正則的，則平行移動(dòng)不依賴于的參數(shù)表示。微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第75頁!第二章曲面：局部理論解：將單位球面Christoffel記號(hào)的計(jì)算結(jié)果帶入方程(eq-1)中得到加上初始值條件，解得觀察到。平行移動(dòng)保持切向量的長度不變？微分幾何曲面局部理論共84頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第76頁!第二章曲面：局部理論平面中“直線”在曲面的推廣－－“測(cè)地線”。曲面上兩點(diǎn)之間的最短連線是什么？定義曲