2020屆高三普通高等學(xué)校招生伯樂馬押題考試（二）文科數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020年普通高等學(xué)校招生伯樂馬押題考試（二)文科數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題1.已知全集,集合，，,則()A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合B,再求得集合B的補集，由集合的交集運算可得選項?！驹斀狻?，所以，又,所以，故選：D?！军c睛】此題考查了交、補集的混合運算,熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2。已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B。第二象限 C.第三象限 D.第四三象限【答案】A【解析】【分析】運用復(fù)數(shù)的除法運算化簡得到z，，可得到選項.【詳解】，所以，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限。故選：A。【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，共軛復(fù)數(shù)，以及復(fù)數(shù)對應(yīng)象限，屬于基礎(chǔ)題。3。已知雙曲線（，）的頂點到漸近線的距離與焦點到漸近線的距離之比為，則該雙曲線的離心率為（)A. B。3 C. D。【答案】B【解析】【分析】分別求出頂點到漸近線的距離、焦點到漸近線的距離，列出關(guān)于的方程，再結(jié)合，即可求得離心率的值.【詳解】由題意知：取雙曲線的頂點、焦點坐標,取漸近線方程為，也即是，頂點到漸近線的距離為，焦點到漸近線的距離為,,，故選：【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、離心率的求法、點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.4。為了得到函數(shù)的圖像,可以將函數(shù)的圖像（)A。向左平移個單位長度 B。向右平移個單位長度C。向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】B【解析】【分析】結(jié)合二倍角公式和降冪公式化簡得，再結(jié)合平移法則即可求解.【詳解】，由函數(shù)平移法則可知，將函數(shù)的圖像向右平移個長度單位即可得到,故選：B【點睛】本題考查二倍角公式與降冪公式及誘導(dǎo)公式的使用，由變換前后表達式求解平移量,解題關(guān)鍵是將不同名三角函數(shù)結(jié)合誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成同名，屬于中檔題5.記不等式組的解集為，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，求出的最大值，即可?！驹斀狻靠尚杏蛉鐖D所示由得，當過時，，.故選:【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題與函數(shù)有解問題，屬于中檔題.6。函數(shù)在，的圖象大致為A. B。C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，對稱性，單調(diào)性和最值之間的關(guān)系進行判斷即可．【詳解】解：，則函數(shù)是奇函數(shù),則圖象關(guān)于原點對稱，故排除．當時,，則當時，，函數(shù)為增函數(shù)，，時，，函數(shù)為減函數(shù),則當時，取得極大值同時也是最大值，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)與圖象之間的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7.已知圓:,點為直線上一動點，過點向圓作切線,，，為切點，則直線經(jīng)過定點（）A. B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)的坐標為,由切線的性質(zhì)得點、在以為直徑的圓上，求出圓的方程,將兩個圓的方程相減求出公共弦所在的直線方程,再求出直線過的定點坐標．【詳解】解：因為是直線的任一點，所以設(shè)，因為圓的兩條切線、，切點分別為、，所以，，則點、在以為直徑的圓上，即是圓和圓的公共弦，則圓心的坐標是，，且半徑的平方是，所以圓的方程是，①又,②，②①得，，即公共弦所在的直線方程是：，即，由得，，所以直線恒過定點，,故選：．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，以及直線過定點問題，屬于中檔題．8.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有三個零點，則的值可能為（）A.2 B。3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由輔助角公式可得.由，可得。根據(jù)在區(qū)間內(nèi)有三個零點，可得,求出的取值范圍，即得答案.【詳解】。，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有三個零點，。故選：?！军c睛】本題考查輔助角公式和函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題.9。中央電視臺總臺推出的《中國詩詞大會》節(jié)目以“賞中華詩詞、尋文化基因、品生活之美”為宗旨，邀請全國各個年齡段、各個領(lǐng)域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識競賽，現(xiàn)組委會要從甲、乙等五位候選參賽者中隨機選取2人進行比拼,則甲、乙二人至少有一人被選上的概率為（)A。0.6 B.0.7 C.0。8 D。0。9【答案】B【解析】【分析】先計算出甲、乙二人都沒有被選上的概率,由對立事件的概率可得出答案【詳解】總的基本事件個數(shù)為，甲、乙二人都沒有被選上的基本事件有，甲、乙二人都沒有被選上的概率為，則甲、乙二人至少有一人被選上的概率為，故選：【點睛】本題考查了排列組合知識、概率的求法，考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題。10.已知是等比數(shù)列的前n項和，若，，成等差數(shù)列，且，則（）A.6 B。7 C.8 D。9【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的基本量，轉(zhuǎn)化已知條件,利用整體代換,即可求得結(jié)果?！驹斀狻坎环猎O(shè)數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，故可得，當時，,解得（舍）當時，即整理可得，也即，解得(舍),。等價于，也即，解得，又。故可得，則故選:C【點睛】本題考查等比數(shù)列通項和前項和基本量的計算，屬綜合基礎(chǔ)題。11。正方體的棱長為，為的中點,為線段上靠近的一個三等分點,設(shè)過點，,的平面把正方體的棱所在直線交于點,則線段的長為（)A. B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】根據(jù)四點共面找出點的位置，即可求出的長度.【詳解】如圖所示，過作交于點，則是的中點,過作交于點,則，,，，四點共面，所以點與點重合，。故選：【點睛】本題主要考查了點、直線、平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。12。各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為2,其首項的平方與其余各項之和不超過33，則這樣的數(shù)列至多有()A。5項 B.6項 C.7項 D。8項【答案】C【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列求和公式，寫出首項的平方與其余各項之和的表達式,利用一個數(shù)的平方最小為，解不等式即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列為，則，，，,為了使盡量大,故，,,當時，,當時，，，故選：【點睛】本題考查求數(shù)列的項數(shù)，考查計算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題。二、填空題13。把一個大金屬球表面涂漆，共需1。5公斤油漆．若把這個大金屬球熔化制成為64個大小都相同的小金屬球，不記損耗，將這些小金屬球表面都涂漆，則需要用油漆______公斤．【答案】【解析】【分析】設(shè)大金屬球的半徑為,小金屬球的半徑為，根據(jù)體積相等建立等量關(guān)系式，然后求出個小球的表面積之和，從而得出答案.【詳解】設(shè)大金屬球的半徑為，小金屬球的半徑為,由,可得，個小球的表面積之和為由題意得：大金屬球表面為需要1.5公斤油漆，（公斤)故答案為:【點睛】本題考查球的體積和表面積的求法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。14。已知拋物線的焦點為，為拋物線上一動點，定點，則周長最小值為______．【答案】3【解析】【分析】求周長的最小值，即求的最小值．設(shè)點在準線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義，可知．因此問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當、、三點共線時最小，從而可得結(jié)果【詳解】求周長的最小值,即求的最小值,設(shè)點在準線上的射影為,根據(jù)拋物線的定義，可知因此,的最小值，即的最小值根據(jù)平面幾何知識,可得當，，三點共線時最小,因此的最小值為,，所以周長的最小值為，故答案為:3．【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,判斷當，，三點共線時最小，是解題的關(guān)鍵．15。已知等腰直角三角形中,，順次為線段的九等分點，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】先建立平面直角坐標系，求出點的坐標，將用坐標表示出來,再求出最大值.【詳解】如圖建立平面直角坐標系等腰直角三角形中，，，，，，，或時最大，此時故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)量積的運算，只要想到方法便可迎刃而解，屬于中檔題。16.平行于軸的直線與函數(shù)的圖像交于，兩點,則線段長度的最小值為______．【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性并求函數(shù)最值即可?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，畫出的圖象如下所示：令，，故可得，解得；，解得。故可得，，故，，故可得，恒成立，故是單調(diào)遞增函數(shù)，且,關(guān)于在成立，在成立，故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故.即的最小值為。故答案為：?！军c睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及數(shù)形結(jié)合以及構(gòu)造函數(shù)法，屬基礎(chǔ)題。三、解答題（一)必考題17。在中，角的對邊分別是，且.（1）求角A的大小；(2）若，的面積是,求的周長.【答案】（1)；（2）15【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，化簡得到，得到答案.（2)根據(jù)面積得到，再根據(jù)余弦定理得到，計算得到周長?！驹斀狻浚?）在中，，所以,根據(jù)正弦定理,得，因為，所以,所以，又，所以，所以，易知，所以，故.（2)由題意得，得,由余弦定理，得，即，所以，故的周長為.【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理,面積公式，意在考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力和計算能力.18。如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．設(shè)M，N分別為PD，AD的中點．（1）求證：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱錐P—ABM的體積．【答案】（1)證明見解析(2）三棱錐的體積【解析】試題分析:（1）由中位線定理可得∥∥平面.再證得∥∥平面平面∥平面；(2)由（1）知，平面∥平面點到平面的距離等于點到平面的距離.試題解析：（1）證明:∵分別為的中點，則∥。又∵平面，平面，∴∥平面。在中，，∴。又∵，∴∥.∵平面，平面,∴∥平面.又∵,∴平面∥平面。（2）由（1）知，平面∥平面,∴點到平面的距離等于點到平面的距離。由已知，，，，∴，∴三棱錐的體積。19。已知橢圓：(）的一個頂點為,離心率．（1)求橢圓的標準方程;（2)斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點,，若橢圓上存在點，使得,其中是坐標原點，求的面積．【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件,列出方程,即可求得，則問題得解；(2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理和已知條件,即可求得的關(guān)系，再求弦長以及三角形面積，則問題得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，顯然，結(jié)合，解得，故橢圓方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，則，即設(shè)兩點的坐標為，故可得則因為，故可得，又點在橢圓上，故可得，整理可得：.故，又到直線的距離故三角形的面積.即三角形的面積為.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，以及橢圓中三角形面積的問題，屬綜合中檔題.20。某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜．過去50周的資料顯示，該地周光照量（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的周數(shù)有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數(shù)有35周，超過70小時的周數(shù)有10周．根據(jù)統(tǒng)計,該基地的西紅柿增加量（百斤）與使用某種液體肥料（千克）之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖．（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（精確到0．01)．（若，則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合）（2)蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀,但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量限制，并有如下關(guān)系：周光照量（單位:小時)光照控制儀最多可運行臺數(shù)321若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元;若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元．若商家安裝了3臺光照控制儀，求商家在過去50周周總利潤的平均值．附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)，．【答案】（1)，所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．(2)4600元．【解析】【分析】（1）由折線圖，可得，依次算得，，,可求得r,所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（1）分別計算安裝1臺，2臺，3臺時所獲周利潤值（期望值），數(shù)值大的為所選擇，即可求得答案.【詳解】(1)由已知數(shù)據(jù)可得，，因為,，，所以相關(guān)系數(shù)，因為，所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2)記商家周總利潤為元，由條件可知至少需要安裝臺，最多安裝臺光照控制儀．①安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤元；②安裝2臺光照控制儀的情形：當時，只有臺光照控制儀運行,此時周總利潤元,當時，臺光照控制儀都運行,此時周總利潤元，故的分布列為：20006000020。8所以元．③安裝臺光照控制儀的情形:當時,只有臺光照控制儀運行，此時周總利潤元，當時,有臺光照控制儀運行，此時周總利潤元,當時，臺光照控制儀都運行,周總利潤元，故的分布列為1000500090000。20.70。1綜上所述，為使商家周利潤的均值達到最大應(yīng)該安裝臺光照控制儀．【點睛】本題考查了折線圖識圖，主要考查數(shù)據(jù)的運算能力和利用統(tǒng)計知識解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性，需要注意的是可以選擇安裝一臺，也可以安裝兩臺，而兩臺時是一個期望值，屬于基礎(chǔ)題.21。已知函數(shù)，．（1）若,討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若，對于任意的,恒成立，求的最小值．【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（2)2【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域,然后求出，再分和討論導(dǎo)函數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）令，則對于任意的，恒成立，等價于，然后利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可【詳解】解:(1）的定義域為，由，得①當時，，所以在上單調(diào)遞減;②當時,令，則,解得(舍去），或，當時，,當時,，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當時,上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，（2)令，則對于任意的,恒成立,等價于,,當時，，當時，,所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取最小值，即，令(），則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以存在，使，所以當時，，因為，所以的最小值為2【點睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題.（二）選考題［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程］22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點