湖北省襄陽(yáng)市老河口市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

第25頁(yè)/共25頁(yè)湖北省襄陽(yáng)市老河口市2022-2023學(xué)年高三年級(jí)（上）期末模擬測(cè)試數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.下列各題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意．1.已知全集，，是的非空子集，且，則必有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全集、補(bǔ)集和子集的定義，作出Venn圖，即可得到答案.【詳解】全集，，是的非空子集，且，作出Venn圖，如圖所示，所以，即可得到，正確；B.，錯(cuò)誤；C.，錯(cuò)誤；D.，錯(cuò)誤.故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的包含關(guān)系，其中解答中根據(jù)題意作出，得出集合之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），為z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】設(shè)且，根據(jù)題設(shè)復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求a、b，進(jìn)而寫(xiě)出，即可求模長(zhǎng).【詳解】令且，則，所以，故，所以.故選：C3.某人民醫(yī)院召開(kāi)抗疫總結(jié)表彰大會(huì)，有7名先進(jìn)個(gè)人受到表彰，其中有一對(duì)夫妻．現(xiàn)要選3人上臺(tái)報(bào)告事跡，要求夫妻兩人中至少有1人報(bào)告，若夫妻同時(shí)被選，則兩人的報(bào)告順序需要相鄰，這樣不同的報(bào)告方案共有（）A.80種 B.120種 C.130種 D.140種【答案】D【解析】【分析】分夫妻只選一人，兩人全選兩種情況計(jì)算，夫妻全選時(shí)，先用用捆綁法求解.【詳解】若夫妻中只選一人，則有種不同的方案；若夫妻二人全選，則有中不同方案，故總計(jì)有140種不同方案，故選：D4.已知，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】觀察角與角之間的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式可得.【詳解】.故選：B5.已知圓錐的底面圓心到母線的距離為2，當(dāng)圓錐母線的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐的底半徑為，母線為，高為，則，則由條件可得，由勾股定理可得，從而得出的最小值，得出答案.【詳解】設(shè)圓錐的底半徑為，母線為，高為，則由圓錐的底面圓心到母線的距離為2，則，即又，所以，解得由，則當(dāng)，即時(shí)，最小值則圓錐的側(cè)面積為故選：C6.計(jì)算（）A.1 B.﹣1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、二倍角公式可得結(jié)果，盡可能地化簡(jiǎn)為同角的三角函數(shù)值【詳解】故選：B7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于一切正整數(shù)都有，則數(shù)列的公比的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題首先可設(shè)，通過(guò)排除這種情況，再然后設(shè)，通過(guò)等比數(shù)列的求和公式即可得出、，最后根據(jù)、、即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，，若，則，，，不滿足題意；若，則，，，，因?yàn)?，，所以若，則，，，故數(shù)列的公比的取值范圍為，故選：B.8.若函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C.（0，2） D.【答案】D【解析】【分析】令，則由已知可得在上單調(diào)遞增，而，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為，得，再利用為奇函數(shù)討論的情況，進(jìn)而可求得解集【詳解】令，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以不等式轉(zhuǎn)化為，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，不滿足，綜上，不等式的解集為故選：D二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，則（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時(shí)，最大 D.當(dāng)時(shí)，n的最大值為14【答案】BCD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，進(jìn)而得出，，依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列中，，，，，公差，數(shù)列是遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤，，B正確.，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，最大,C正確.,,.當(dāng)時(shí)，n的最大值為14,D正確.故選:BCD.10.已知函數(shù)的零點(diǎn)為，則（）A.的值為5 B.的值為4C D.【答案】AD【解析】【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)為，得到，變形為，由為增函數(shù)，得到判斷AB，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷CD?！驹斀狻俊撸?，∴．令為增函數(shù)，∴由，得，∴．∴．由，，又由，，有，則.故選：AD11.若，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其關(guān)系求出、、，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，，即，A正確；，即，B錯(cuò)誤，D正確；由，則，C正確；故選：ACD12.正方體的棱長(zhǎng)為2，且（），過(guò)P作垂直于平面的直線l，分別交正方體的表面于M，N兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.平面B.四邊形的面積的最大值為C.若四邊形的面積為，則D.若，則四棱錐的體積為【答案】BD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出四邊形的面積，依據(jù)相應(yīng)條件分別對(duì)選項(xiàng)A，B，C，D進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而可判斷A，B，C，D的正確性．【詳解】解：因?yàn)榕c不垂直，所以與平面不垂直，故選項(xiàng)A不正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，2，．因?yàn)?，所以，，．因?yàn)槠矫妫?，則，，，，，．若平面，則，即，0，，，，，；若平面，則，即，，，，2，，．因?yàn)?，所以四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，且最大值為，點(diǎn)到直線的距離為，即點(diǎn)到平面的距離為，所以四棱錐的體積，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D正確．若四邊形的面積為，則或，解得或，故選項(xiàng)C不正確，故選：BD．三、填空題：共4題，總計(jì)16分．13.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則_____________．【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)定義域得或，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】解：由題知，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)榛?，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故故答案為：14.一個(gè)盒子內(nèi)裝有形狀大小完全相同的個(gè)小球，其中個(gè)紅球個(gè)白球.如果不放回依次抽取個(gè)球，則在第一次抽到紅球的條件下，第二次抽到紅球的概率為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件第一次抽到紅球，記事件第二次抽到紅球，則，，因此，所求概率為.故答案為：.15.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】分類討論，去掉絕對(duì)值，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，進(jìn)而求出最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，令得：，令得：，故此時(shí)在處取得最小值，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞減，且；綜上：函數(shù)的最小值為1.故答案為：116.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的最大值為，則___________.【答案】##-0.25【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減及周期，確定，再根據(jù)函數(shù)的最大值求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上的最大值為，所以，即，所以.故答案為：四、解答題：共6題，總計(jì)74分．17.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且．（1）證明：為常數(shù)列；（2）若，求數(shù)列前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由已知得，即，利用與的關(guān)系化簡(jiǎn)可得化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.（2）由（1）可得，化簡(jiǎn)可知，通過(guò)裂項(xiàng)求和可得出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】由已知得，即，時(shí)，由，，兩式相減得，則，又于是為常數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）得．則，故．18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊以及余弦定理即可求解.(2)由正弦定理邊化角，再由三角函數(shù)求最值.【小問(wèn)1詳解】由已知及正弦定理得，即，由余弦定理得，可得．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)正弦定理得，又，則故，則的取值范圍是．19.某電器企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近年的年利潤(rùn)額（千萬(wàn)元）與投入的年廣告費(fèi)用（十萬(wàn)元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖如圖，對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：1515（1）從①；②；③三個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)作為年廣告費(fèi)用和年利潤(rùn)額的回歸類型，判斷哪個(gè)類型符合，不必說(shuō)明理由；（2）根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出與的回歸方程；（3）預(yù)計(jì)要使年利潤(rùn)額突破億，下一年應(yīng)至少投入多少?gòu)V告費(fèi)用？結(jié)果保留到萬(wàn)元參考數(shù)據(jù)：參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為【答案】（1）選擇回歸類型更好；（2）；（3）下一年應(yīng)至少投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用．【解析】【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖形狀可確定回歸類型；（2）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，利用最小二乘法可求得，由此可得回歸方程；（3）令可解出的范圍，進(jìn)而確定結(jié)果.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖知，年廣告費(fèi)用和年利潤(rùn)額的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，所以選擇回歸類型更好．（1）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得：，即，由表中數(shù)據(jù)得：，，，年廣告費(fèi)用和年利潤(rùn)額回歸方程為．（3）由（2）知：，令得：，解得：，，（十萬(wàn)元），十萬(wàn)元萬(wàn)元下一年應(yīng)至少投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用．20.如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，，為正三角形，D為AC的中點(diǎn)..（1）證明：平面平面；（2）若二面角的平面角為銳角，且三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一，可證明，，再根據(jù)線面垂直判定定理證明平面.，由此可證明平面平面；(2)根據(jù)題意，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在射線上，再根據(jù)錐體體積公式可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法，求二面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：∵，D為AC中點(diǎn)，∴.又為等邊三角形，，∴.∵，BD，平面PDB，∴平面PDB.∵平面PAC，∴平面平面.【小問(wèn)2詳解】∵為正三角形，，∴的面積為，設(shè)三棱錐的底面上的高為，，作于O，由(1)平面,所以，又，所以，所以O(shè)是DB的中點(diǎn)，記的中點(diǎn)為，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，設(shè)是平面PAB的一個(gè)法向量,取設(shè)是平面PBC的一個(gè)法向量取，設(shè)二面角的平面角為，則.21.若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：，A1，A2分別為橢圓C1的左，右頂點(diǎn)．橢圓C2以線段A1A2為短軸且與橢圓C1為“相似橢圓”．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)P為橢圓C2上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，線段PQ交橢圓C1于點(diǎn)H．求證：【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由，設(shè)橢圓的方程為，且，根據(jù)兩個(gè)橢圓“相似橢圓”，求得，即可求解；（2）不妨設(shè)，代入，求得，把代入橢圓，求得，結(jié)合，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由橢圓的離心率為，設(shè)橢圓的方程為，且，因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓“相似橢圓”，可得，解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：不妨設(shè)，其中，則，可得，把代入橢圓，可得，所以，所以，所以所以.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不大于的極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求解函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，分別討論，和三種情況下對(duì)應(yīng)的單調(diào)性；（2）由題意得，將不等式轉(zhuǎn)化為證明，令新函數(shù)，利用二次求導(dǎo)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最小值，從而證明得.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)镽，由得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，即，，因?yàn)椋裕?，則或，即在和上單調(diào)遞增．令，則，即在上單調(diào)減．當(dāng)時(shí)，令，即．因?yàn)?，所以，令，則或，即在和上單調(diào)遞增．令，則，即在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，