高中數(shù)學集合與函數(shù)概念綜合題專題訓練含答案

…………○…………外…………○…………裝…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………高中數(shù)學集合與函數(shù)概念綜合題專題訓練含答案

姓名：__________班級：__________考號：__________一、綜合題（共16題）1、已知函數(shù).（1）求證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增；（2）設，若，求實數(shù)x的取值集合.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x2-2x．

（1）求f（0）及f（f（1））的值；

（2）求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的解析式；

（3）若關于x的方程f（x）-m=0有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．3、已知函數(shù)f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，試證明f(x)在區(qū)間(－∞，－2)上單調(diào)遞增；(2)若a>0，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．4、已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的圖象在它與x軸異于原點的交點M處的切線為l1，g（x﹣1）的圖象在它與x軸的交點N處的切線為l2，且l1與l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函數(shù)y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），給定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，對于兩個大于1的正數(shù)α，β，存在實數(shù)m滿足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．5、已知函數(shù)

(x>0),(1)

是否存在實數(shù)ａ，ｂ（ａ＜ｂ），使得函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[a,b],若存在，求出a,b的值，若不存在，說明理由(2)

若存在實數(shù)ａ，ｂ（ａ＜ｂ），使得函數(shù)y=f（x）的定義域是[a,b]時，值域為[ma,mb]，(m0),求m的取值范圍6、已知函數(shù)的定義域是．且,,當時,．(1)求證:是奇函數(shù);(2)求在區(qū)間)上的解析式;(3)是否存在正整數(shù)，使得當x∈時,不等式有解?證明你的結論．7、

已知集合，且．若存在非空集合，使得，且，并，都有，則稱集合具有性質，（）稱為集合的子集．（Ⅰ）當時，試說明集合具有性質，并寫出相應的子集；（Ⅱ）若集合具有性質，集合是集合的一個子集，設，求證：，，都有；（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)，集合具有性質．8、已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù),函數(shù)的定義域為．（1）求的值；（２）若在上遞減，根據(jù)單調(diào)性的定義求實數(shù)的取值范圍；（３）在（２）的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.9、設函數(shù)滿足：①對任意實數(shù)都有；②對任意，有；③不恒為0，且當時，。（1）求，的值；（2）判斷的奇偶性，并給出你的證明；（3）定義：“若存在非零常數(shù)T，使得對函數(shù)定義域中的任意一個，均有，則稱為以T為周期的周期函數(shù)”。試證明：函數(shù)為周期函數(shù)，并求出的值。

10、已知實數(shù)，函數(shù).（1）當時，求的最小值;（2）當時,判斷的單調(diào)性,并說明理由；（3）求實數(shù)的范圍，使得對于區(qū)間上的任意三個實數(shù)，都存在以為邊長的三角形.11、設是由個有序實數(shù)構成的一個數(shù)組，記作：.其中稱為數(shù)組的“元”，稱為的下標.如果數(shù)組中的每個“元”都是來自數(shù)組中不同下標的“元”，則稱為的子數(shù)組.定義兩個數(shù)組，的關系數(shù)為.

（Ⅰ）若，，設是的含有兩個“元”的子數(shù)組，求的最大值；（Ⅱ）若，，且，為的含有三個“元”的子數(shù)組，求的最大值.12、已知函數(shù)（1）當且時，①求的值；②求的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是，若存在，則求出的值，若不存在，請說明理由。13、對于整數(shù)，存在唯一一對整數(shù)和，使得，.特別地，當時，稱能整除，記作，已知.（Ⅰ）存在，使得，試求，的值；（Ⅱ）若，（指集合B中的元素的個數(shù)），且存在，，，則稱B為“諧和集”.請寫出一個含有元素7的“諧和集”和一個含有元素8的非“諧和集”，并求最大的，使含的集合有12個元素的任意子集為“諧和集”，并說明理由.14、（1）若某個似周期函數(shù)滿足且圖像關于直線對稱．求證：函數(shù)是偶函數(shù)；（2）當時，某個似周期函數(shù)在時的解析式為，求函數(shù)，的解析式；（3）對于確定的時，，試研究似周期函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出的取值范圍；若不可能，請說明理由．15、已知函數(shù)，x其中a>0.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；（III）當a=1時，設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M（t），最小值為m（t）,記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間上的最小值。16、給出下列命題：①是冪函數(shù)②函數(shù)的零點有2個③展開式的項數(shù)是6項④函數(shù)圖象與軸圍成的圖形的面積是⑤若，且，則其中真命題的序號是

（寫出所有正確命題的編號）。============參考答案============一、綜合題1、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由定義法先設，，且，再判斷的大小，從而證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）先判斷函數(shù)的奇偶性，再結合函數(shù)的增減性，得不等式，然后求解即可.【詳解】解：（1）證明：，任取，，且，則,..故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增..（2）由題，函數(shù)是奇函數(shù),由，則,又由復合函數(shù)的單調(diào)性可得：函數(shù)是單調(diào)遞增的函數(shù)，，即，故實數(shù)x的取值集合是.【點睛】本題考查了利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，重點考查了利用函數(shù)的性質求解不等式，屬中檔題.2、解：（1）根據(jù)題意，當x≥0時，f（x）=x2-2x，則f（0）=0，f（1）=1-2=-1，

又由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-1）=f（1）=-1，

則f（f（1））=f（-1）=-1；

（2）設x＜0，則-x＞0，

則有f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x，

又由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，

則f（x）=f（-x）=x2+2x，

則當x＜0時，f（x）=x2+2x，

即函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的解析式為f（x）=x2+2x(x<0)；

（3）若方程f（x）-m=0有四個不同的實數(shù)解，則函數(shù)y=f（x）與直線y=m有4個不同的交點，

當x=-1或1時，f(x)取最小值為-1，而y=f（x）的圖象如圖：

分析可得-1＜m＜0.

故m的取值范圍是（-1，0）．3、

(1)證明：任取x1<x2<－2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因為(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以f(x1)<f(x2)．故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－2)上單調(diào)遞增．(2)解：任取1<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因為a>0，x1－x2<0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.故a的取值范圍是(0，1]．4、（1）y=f（x）圖象與x軸異于原點的交點M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）圖象與x軸的交點N（2，0），g′（x﹣1）=由題意可得kl1=kl2，即a=1；（2分）（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]時，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]單調(diào)遞增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t圖象的對稱軸u=，拋物線開口向上，①當u=≤0，即t≥時，y最小=t2﹣t，②當u=≥e，即t≤時，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③當0＜＜e，即＜t＜時，y最小=y|u==﹣；（5分）（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F(xiàn)′（x）=≥0，所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當x≥1時，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0，①當m∈（0，1）時，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的單調(diào)性知

0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），從而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合題設．②當m≤0時，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的單調(diào)性知，F(xiàn)（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，與題設不符，③當m≥1時，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，與題設不符，∴綜合①、②、③得m∈（0，1）．（12分）5、6、解：．(1)由得,由得,

故是奇函數(shù).（3分）

(2)當x∈時,，。

而，。當x∈Z)時,，，因此。

（8分）

（3）不等式即為，即。

令，對稱軸為，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增。

因為，又為正整數(shù)，所以，因此在上恒成立，因此不存在正整數(shù)使不等式有解。（15分）

7、證明：（Ⅰ）當時，，令，,則,且對，都有，所以具有性質．相應的子集為，．

…………3分（Ⅱ）①若,由已知,又,所以．所以．②若,可設，,且，此時．所以，且．所以．③若,,，則,所以．又因為，所以．所以．所以．綜上，對于，，都有．

……………8分（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明．（1）由（Ⅰ）可知當時，命題成立，即集合具有性質．（2）假設()時，命題成立．即，且，，都有．那么當時，記,，

并構造如下個集合：,,,，，顯然．又因為，所以．下面證明中任意兩個元素之差不等于中的任一元素．①若兩個元素,,則,所以．②若兩個元素都屬于,由（Ⅱ）可知，中任意兩個元素之差不等于中的任一數(shù)．從而，時命題成立．綜上所述，對任意正整數(shù)，集合具有性質．8、解：（1）函數(shù)是奇函數(shù)

∴.

∴得.

.............2分

（２）∵在上遞減

∴任給實數(shù)，當時∴∴

.............5分（３）由（1）得，令，即.

化簡得.

或.

若是方程的根,則,此時方程的另一根為1,不符合題意.

函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個不同的零點等價于方程

(※)在區(qū)間上有且僅有一個非零的實根.

............7分

①當時,得.

若,則方程(※)的根為,符合題意;

若,則與（２）條件下矛盾,不符合題意.

.

.............9分

②當時，令

由得.

.............11分

綜上所述,所求實數(shù)的取值范圍是.

9、（1）由于不恒為0，故存在，使，于是令，有即。又令m=n=1,得又由得即，而由已知，故。（2）令得：即為偶函數(shù)。（3）由已知得，又為偶函數(shù)，有，所以為以2為周期的周期函數(shù)。令得：即：再令：得：。即：。而。由此得：又由條件（2），，，故，又是以2為周期的周期函數(shù)，故。10、解：易知的定義域為，且為偶函數(shù).（1）時,

時最小值為2.

（2）時,時，

遞增；

時，遞減；為偶函數(shù).所以只對時，說明遞增.設，所以，得

所以時，

遞增；

（3），，從而原問題等價于求實數(shù)的范圍，使得在區(qū)間上，恒有.

①當時，在上單調(diào)遞增，由得，從而；

②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由得，從而；③當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由得，從而；④當時，在上單調(diào)遞減，由得，從而；綜上，.11、解：（Ⅰ）依據(jù)題意，當時，取得最大值為2．（Ⅱ）①當是中的“元”時，由于的三個“元”都相等，及中三個“元”的對稱性，可以只計算的最大值，其中．由，得．當且僅當，且時，達到最大值，于是．②當不是中的“元”時，計算的最大值，由于，所以．

，當且僅當時，等號成立．即當時，取得最大值，此時．綜上所述，的最大值為1．12、

解：（1）∵∴在上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)．①由，且，可得且．所以．②由①知∴∵且

∴∴（2）不存在滿足條件的實數(shù)．

若存在滿足條件的實數(shù)，則①

當時，在上為減函數(shù)．故即解得故此時不存在適合條件的實數(shù).②

當時，在上是增函數(shù)．故即此時是方程的根，此方程無實根．故此時不存在適合條件的實數(shù)．當時，由于，而，故此時不存在適合條件的實數(shù)．綜上可知，不存在適合條件的實數(shù).13、【解析】（Ⅰ）因為，所以.

…2分又因為，所以.

……………4分（Ⅱ）含有元素7的一個“和諧集”.…5分含有元素8的一個非“和諧集”.…7分當時，記，，記，則.顯然對任意，不存在，使得成立.故是非“和諧集”，此時.同理，當時，存在含的集合的有12個元素的子集為非“和諧集”.因此.

…………………10分下面證明：含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”.設，若1，14，21中之一為集合的元素，顯然為“和諧集”.現(xiàn)考慮1，14，21都不屬于集合，構造集