統(tǒng)計學基礎(chǔ)知識

一、數(shù)據(jù)的特征值（一）數(shù)據(jù)的位置特征值1）平均值如果從總體中抽取一個樣本，得到一批數(shù)據(jù)x1，x2，x3….xn，則樣本的平均值x為：n-數(shù)據(jù)個數(shù)；xi-第i個數(shù)據(jù)數(shù)；∑-求和。2）中位數(shù)有時，為減少計算，將數(shù)據(jù)x1，x2，x3….xn按大小次序排列，用位居于正中的那個數(shù)或中間兩個數(shù)的平均值（當數(shù)據(jù)為偶數(shù)時）表示數(shù)據(jù)的總體平均水平。3）中值M 測定值中的最大值xmax與最小值xmin的平均值，用M表示。4）眾數(shù)在用頻數(shù)分布表示測定值時，頻數(shù)最多的值即為眾數(shù)。若測定值按區(qū)間做頻數(shù)分布時，頻數(shù)最多的區(qū)間代表值（一般取區(qū)間中值）也稱眾數(shù)。（二）數(shù)據(jù)的離散特征值1）極差R測定值中的最大值xmax與最小值xmin之差稱為極差。通常R用于個數(shù)n小于10的情況下，n大于10時，一般采用標準偏差s表示。2）偏差平方和SS==各測定值xiS==無偏方差各個測定值的偏差平方和除以（n-1）后所得的值稱為無偏方差（簡稱方差），用s2表示：標準偏差s方差s2的平方根為標準偏差（簡稱標準差），用s表示：（三）變異系數(shù)以上反映數(shù)據(jù)離散程度的特征值，只反映產(chǎn)品質(zhì)量的絕對波動大小。在工程實踐中，測量較大的產(chǎn)品，絕對誤差一般較大，反之亦然。因此要考慮相對波動的大小，在統(tǒng)計技術(shù)上用變異系數(shù)CV來表達： 上式中σ和μ為總體均值和總體標準差，當過程在受控狀態(tài)下，且樣本容差較大時，可用樣本標準差s和樣本均值估計。Ca、Cp、Cpk的計算過程準確度指數(shù)（Ca值）：表示過程特性中心位置的偏移程度，越小越好Ca=（樣本平均值-規(guī)格中心值）/（規(guī)格公差/2）等級A：|Ca|≦12.5%表示作業(yè)員遵守作業(yè)規(guī)范,并達規(guī)格要求等級B：12.5%<|Ca|≦25%表示必要時盡可能提升至A級等級C：25%<|Ca|≦50%表示作業(yè)員可能看錯或未按標準作業(yè)，或須修改規(guī)格及作業(yè)標準。等級D：50%<|Ca|表示應(yīng)采取緊急措施，全面整改可能影響之因素，必要時應(yīng)停止生產(chǎn)。過程精密度能力系數(shù)（Cp值）：表示過程特性分散的程度，值越大越集中。Cp=(規(guī)格上限-規(guī)格下限)/（6×標準差）合格：1.33≦Cp表示能力足夠警告：1.00≦Cp<1.33表示能力無足夠?qū)挾?平均值稍有偏差時,不良率既會增加。不合格：Cp<1.00表示能力不足，有不合格品，須全數(shù)篩選，并設(shè)法縮小變異或整改規(guī)格公差。過程綜合能力系數(shù)(Cpk值)：同時考慮“偏移”程度及“分散程度Cpk=(1-Ca)×Cp此系數(shù)為過程評價用系數(shù)，用于過程改善客戶指定Cpk值時，欲達到此Cpk值，可先探討Ca及Cp值：“準確度”“精密度”是否有適當能力一般客戶是指定值多數(shù)為≧1.33；Cpk值≧3.00時，表示過程能力已經(jīng)足夠了，繼續(xù)維持即可；若想進一步改善，應(yīng)考慮成本效益。Cp=(Ucl-Lsl)/6δCpku=(Ucl-Xbar)/3δCpkl=(Xbar-Lsl)/3δCpk=min(Cpku:Cpkl)二、回歸分析(一)什么是回歸分析回歸分析是用來研究一個指標與幾個變量間的相關(guān)關(guān)系的方法。設(shè)有兩個變量x和y，前者為自變量,后者為因變量,并均為隨機變量。當自變量X變化時，Y會產(chǎn)生相應(yīng)的變化，如果具有大量或較多的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（xi,yi），則可以用數(shù)學方法找出兩者之間的統(tǒng)計關(guān)系y＝f(x)，這種數(shù)學方法稱為回歸分析。當y＝a＋bx時，稱之為一元線性回歸；當y＝f(x)為非線性函數(shù)關(guān)系時，稱之為非線性回歸；當x變量不止1個，有幾個時，即有（x1，x2···，xn），則y＝f（x1，x2···，xn）稱之為多元回歸。當有y＝a＋b1x1＋b2x2＋···＋bnxn時，稱之為多元線性回歸，否則為多元非線性回歸?；貧w分析可用于預測、質(zhì)量控制等方面。(二)一元線性回歸方程的計算方法設(shè)一元線性回歸方程的表達式為:y=a+bx現(xiàn)在給出了n對數(shù)據(jù)(xi,yi),要求根據(jù)這些數(shù)據(jù)去估計a與b的值。則：其中Lxx:----x的離差平方和Lyy----y的離差平方和Lxy----x，y的離差成積之和三、統(tǒng)計過程控制基本概念StatisticalProcessControl（SPC---統(tǒng)計過程控制）的概念是：應(yīng)用統(tǒng)計技術(shù)對過程中的各個階段進行評估和檢察，保持過程處于可接受的和穩(wěn)定的水平，以保證產(chǎn)品與服務(wù)滿足要求的均勻性。 這里的統(tǒng)計技術(shù)涉及到數(shù)理統(tǒng)計內(nèi)容，但所應(yīng)用的主要工具是控制圖。 SPC可以判斷過程的異常，及時告警。但是不能告知此異常是什么因素引起的，發(fā)生于何處。20世紀80年代起，我國的張公緒先生提出StatisticalProcessDiagnosis理論（SPD---統(tǒng)計過程診斷）。20世紀90年代起又發(fā)展為StatisticalProcessAdjustment（SPA---統(tǒng)計過程調(diào)整）。三者循環(huán)關(guān)系如下：SPC---告訴過程是否有異常SPD---告訴過程是否有異常，若異常，告知問題出在哪里SPA---告訴過程是否有異常，若異常，告知問題出在哪里，如何進行調(diào)整所以SPC是質(zhì)量改進循環(huán)的首要步驟，應(yīng)該熟練掌握運用。四、控制圖的應(yīng)用統(tǒng)計過程控制的主要工具是控制圖（SPC圖）?？刂茍D是將一個過程定期收集的樣本數(shù)據(jù)按順序描點繪制成曲線的一種技術(shù)，可以發(fā)現(xiàn)過程異常，是采取預防措施的重要手段。1984年日本名古屋工業(yè)大學調(diào)查了上百家中小型企業(yè)，發(fā)現(xiàn)平均每家企業(yè)采用137張控制圖。美國柯達一共應(yīng)用了35000張控制圖。（一）控制圖的原理 當質(zhì)量特性值x服從正態(tài)分布時，由兩個參數(shù)決定分布曲線的位置與形狀，即平均值μ和標準差σ。不論μ和σ取什么值，產(chǎn)品質(zhì)量特性值x落在［μ-３σ，μ+3σ］區(qū)間內(nèi)的概率為99.73%。根據(jù)小概率事件可以忽略的原則，若變量x超出±３σ范圍，則認為過程存在異常。 一個控制圖有三條線：中心線，簡稱CL線。CL=μ上控制線，簡稱UCL線。UCL=μ+3σ下控制線，簡稱LCL線。LCL=μ-3σ將正態(tài)分布曲線圖旋轉(zhuǎn)180度，即得到控制圖。（二）如何利用控制圖判斷過程異常多數(shù)點子在μ±1σ范圍內(nèi)（68%左右），小部分點子在μ±2σ和μ±1σ之間（27%左右），點子隨機排列，是過程控制的理想狀態(tài)。中心線一側(cè)的點子明顯比另一側(cè)多，應(yīng)考慮均值可能產(chǎn)生偏移。較多的點子接近上下控制線，說明標準差已經(jīng)變大。中心線一側(cè)連續(xù)出現(xiàn)多個點子或點子連續(xù)上升/下降，證明有系統(tǒng)因素干擾。點子按一定時間間隔呈周期性變化，可能工藝、環(huán)境等因素失控。（三）常規(guī)控制圖（休哈特控制圖）常規(guī)控制圖即休哈特控制圖，參見下表“常規(guī)控制圖”。常規(guī)控制圖分布控制圖代號控制圖名稱控制圖界限備注正態(tài)分布（計量值）均值-極差控制圖正態(tài)分布的參數(shù)μ與σ互相獨立，控制正態(tài)分布需要分別控制μ與σ，故正態(tài)分布控制圖都有兩張控制圖，前者控制μ，后者控制σ。二項分布與泊松分布則并非如此。均值-標準差控制圖中位數(shù)-極差控制圖單值-移動極差控制圖二項分布（計件值）不合格品率控制圖左列兩圖可由通用不合格品數(shù)npr圖代替。不合格品數(shù)控制圖泊松分布（計點值

）單位不合格數(shù)控制圖左列兩圖可由通用缺陷數(shù)cr圖代替。不合格數(shù)控制圖五、過程能力分析、過程能力指數(shù)計算（一）、過程能力分析 過程能力（processcapability）指過程加工質(zhì)量方面的能力，決定因素是人、機、料、法、測和環(huán)（即5M1E），與公差無關(guān)。分析過程能力只能在穩(wěn)態(tài)的基礎(chǔ)上，即統(tǒng)計控制狀態(tài)。 過程能力決定于由偶因造成的總變差σ，當過程處于穩(wěn)態(tài)時，產(chǎn)品的計量質(zhì)量特性值有99.73%在μ±3σ范圍內(nèi)，即幾乎全部產(chǎn)品的特性值包含在6σ范圍之內(nèi)。故常用6倍標準差（6σ）表示過程能力，它的數(shù)值越小，表示過程能力越強。（二）、過程能力指數(shù)計算當產(chǎn)品質(zhì)量特性分布的均值μ與公差中心M重合時1、對于公差的上、下限都有要求時， 過程能力指數(shù)計算公式如下：T為公差，TU為公差上限，TL為公差下限，是質(zhì)量特性總體標準差的估計值。在上述過程能力指數(shù)中，T反映對產(chǎn)品的技術(shù)要求（或客戶對產(chǎn)品的要求），而σ反映本企業(yè)過程加工的質(zhì)量。比值CP反映過程加工質(zhì)量滿足產(chǎn)品技術(shù)要求的程度。根據(jù)T與6σ的比值，可以得到下圖所示三種典型的情況。CP值越大，表明加工質(zhì)量越好，但對設(shè)備和人員的要求也越高，加工成本相應(yīng)升高。當CP=1，似乎既滿足要求也節(jié)約成本，但由于過程的波動，分布中心一有偏移，不合格品率就要增加，因此，CP應(yīng)取>1。一般情況下，當CP=1.33，T=8σ，整個分布基本上都在上下規(guī)范限度內(nèi)，且留有變動空間。故ISO8258：1991要求CP≥1.33。2、只對單側(cè)公差限有規(guī)定時只規(guī)定上限時，只規(guī)定下限時，當產(chǎn)品質(zhì)量特性分布的均值μ與公差中心M有偏離時這種情況下，需要對無偏離CP乘上一個修正系數(shù)（1-K）。有偏離情況下的過程能力指數(shù)是：過程能力指數(shù)與不合格品率的關(guān)系考慮過程能力指數(shù)與不合格品率的關(guān)系時，直接查@正態(tài)分布表比較方便。當公差中心M與數(shù)據(jù)分布中心μ重合時，當公差中心M與數(shù)據(jù)分布中心μ有偏離時，例：在無偏離情況下，求CP=0.7時的不合格品率P。解答：CP=0.7,3CP=2.1查“正態(tài)分布表”，得到不合格品率為：P=2-2x0.98214=0.035726.4.3.36σ控制方法6σ控制方法，即過程能力指數(shù)達到2以上，不合格品率0.08197316,幾乎達到零缺陷。執(zhí)行6σ需要多方面的專業(yè)技能和知識，包括：SPC、MSA、DOE、可靠度工程、FMEA、TQM、QFD、田口方法、ISO9000、質(zhì)量成本QCOST、數(shù)理統(tǒng)計、顧客滿意、同步工程、價值工程、綠色設(shè)計等等。所用的工具可以是：SPC度量、分析、改進和監(jiān)控過程的波動DOE/田口方法優(yōu)化設(shè)計技術(shù)，通過DOE，改進過程設(shè)計，使過程能力達到最優(yōu)水平FMEA風險分析技術(shù)，輔助確定改進項目，制定改進目標QFD顧客需求分析技術(shù)，輔助將顧客需求正確地轉(zhuǎn)換為內(nèi)部工作要求防錯從根本上防止錯誤發(fā)生的方法平均值加減標準差表示的是什么標準差，標準差的平方是方差，方差就是為了統(tǒng)計這組數(shù)據(jù)偏離平均值的程度，也可以說是這組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。例如兩個人打靶，A打6,7,8,9,10，平均值是8，方差就是[（-2）^2+（-1）^2+0+1^2+2^2]/5=2，標準差等于根號2B打8,8,8,8,8，平均值是8，方差就是0，這樣來說B的成績更穩(wěn)定。平均數(shù)加減標準差的范圍內(nèi)代表大概率事件，范圍外代表小概率事件。用成績?yōu)闃颖?，則范圍內(nèi)的成績?yōu)檎５拇蟛糠挚忌某煽?，范圍外的為特殊的少部分考生的成績（包括特別好的和特別差的）。通常，一次考試的成績都是成正態(tài)分布的，平均數(shù)加減標準差的范圍內(nèi)的成績應(yīng)該達到85%以上。如果沒有成正態(tài)分布，則說明試卷沒有出好，出得太難或者太簡單了。對某一個人所有考試的成績看平均數(shù)和標準差就夠了，對平均數(shù)加減標準差的分析沒有多大意義。但是，某一個人在一段時間內(nèi)某一特定科目的所有考試成績又可以用平均數(shù)加減標準差來分析了。平均數(shù)只能顯示總體情況，而標準差能夠看出變異程度。標準差越大，數(shù)據(jù)越離散。比如以下兩組數(shù)：a.22222b.11233兩組的均數(shù)相等，而a組數(shù)據(jù)集中（向均數(shù)集中），b組離散，a組標準差小于b組P值與α值的關(guān)系？P值（Pvalue）就是當原假設(shè)為真時所得到的樣本觀察結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率。α值是一個臨界概率值。它表示在“統(tǒng)計假設(shè)檢驗”中，用樣本資料推斷總體時，犯拒絕“假設(shè)”錯誤的可能性大小。α越小，犯拒絕“假設(shè)”的錯誤可能性越小。P是“拒絕原假設(shè)時犯錯誤概率”又或者說是“如果你拒絕掉原假設(shè)實際上是在冤枉好人的概率”。不管怎么表達理解上都有點繞，所以你還是看例子吧。比如你做一個假設(shè)（nullhypothesis）：你的女性朋友平均身高2米，輸入你統(tǒng)計的樣本數(shù)據(jù)后，計算機給你返回的p值是0.03。這意味著如果你拒絕“女性朋友平均