華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)

附錄：函數(shù)的基本知識(shí)(1)定義(2)函數(shù)的遞推公式時(shí)，有為正整數(shù)特別的，當(dāng)(3)當(dāng)時(shí)1華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!第五章貝塞爾函數(shù)在應(yīng)用分離變量法解其他偏微分方程的定解問(wèn)題時(shí)，也會(huì)導(dǎo)出其他形式的常微分方程邊值問(wèn)題，從而引出各種各樣坐標(biāo)函數(shù)系。這些坐標(biāo)函數(shù)系就是人們常說(shuō)的特殊函數(shù)。本章，我們將通過(guò)在柱坐標(biāo)系中對(duì)定解問(wèn)題進(jìn)行分離變量，導(dǎo)出貝塞爾方程；然后討論這個(gè)方程的解法及解的有關(guān)性質(zhì)；最后再來(lái)介紹貝塞爾函數(shù)在解決數(shù)學(xué)物理中有關(guān)定解問(wèn)題的一些應(yīng)用。2華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!5.1貝塞爾方程及貝塞爾函數(shù)一、貝塞爾方程的導(dǎo)出在應(yīng)用分離變量法解決圓形膜的振動(dòng)問(wèn)題或薄圓盤(pán)上瞬時(shí)溫度分布規(guī)律時(shí)，我們就會(huì)遇到貝塞爾方程。下面，我們以圓盤(pán)的瞬時(shí)溫度分布為例來(lái)導(dǎo)出貝塞爾方程。設(shè)有半徑為的圓形薄盤(pán)，上下兩面絕熱，圓盤(pán)邊界上的溫度始終保持0度，且初始溫度分布為已知，求圓盤(pán)內(nèi)的瞬時(shí)溫度分布規(guī)律。我們用來(lái)表示時(shí)刻處的溫度函數(shù)。圓盤(pán)上點(diǎn)3華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!于是有(2)(1)(3)(4)(5)方程(4)的解為亥姆霍茲方程由邊界條件(2)有(6)4華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!(7)(8)再令代入方程(7)得兩端乘以移項(xiàng)得于是有(9)(10)5華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!(9)(10)將代入方程(10)得(11)該方程叫做階貝塞爾方程。由邊界條件(8)可知另外，由于圓盤(pán)上的溫度是有限的，特別在圓心處也應(yīng)如此，由此可得6華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!二、貝塞爾函數(shù)(12)由微分方程解的理論知：方程(12)有如下形式的廣義冪級(jí)數(shù)解：(13)其中為常數(shù)，下面來(lái)確定為此，將(13)以及帶入方程(12)7華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!(12)(13)8華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!(13)(15)(16)情形1如果不為整數(shù)(包括0)和半奇數(shù)，則也不為整數(shù)。先取代入(15)得代入(16)得(17)由(17)可知9華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!由于是任意常數(shù)，我們可以這樣取值：使一般項(xiàng)系數(shù)中與有相同的次數(shù)，并且同時(shí)使分母簡(jiǎn)化。為此取利用遞推公式則一般項(xiàng)系數(shù)變?yōu)閷⒋讼禂?shù)表達(dá)式代回(13)中，(13)10華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!(13)(15)(16)再令代入(15)得代入(16)得由上公式可知11華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!由于是任意常數(shù)，我們可以這樣取值：使一般項(xiàng)系數(shù)中與有相同的次數(shù)，并且同時(shí)使分母簡(jiǎn)化。為此取利用遞推公式則一般項(xiàng)系數(shù)變?yōu)閷⒋讼禂?shù)表達(dá)式代回(13)中，(13)12華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!(12)(20)(22)如果在(20)中取則得方程(12)的另一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的特解，記作(21)因此方程(12)的通解可寫(xiě)成稱為第二類貝塞爾函數(shù)或諾伊曼函數(shù)。13華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!(18)(19)(23)注意當(dāng)為整數(shù)時(shí)，利用函數(shù)的遞推公式可得從而特解之一(18)可化為而此時(shí)函數(shù)與線性相關(guān)。14華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!(23)則化簡(jiǎn)得與當(dāng)為整數(shù)時(shí)是這就說(shuō)明了線性相關(guān)的。為了求出貝塞爾方程的通解，我們還需要求出一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的特解。15華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!應(yīng)用洛必達(dá)法則經(jīng)過(guò)冗長(zhǎng)的推演(可參閱H.H.列別捷夫著，張燮譯《特殊函數(shù)及其應(yīng)用》，高等教育出版社，1987），得16華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!(12)是否為整數(shù)，綜上所述，不論為任意實(shí)數(shù)。其中為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)。當(dāng)為半奇數(shù)時(shí)，留在下一節(jié)討論。貝塞爾方程(12)的通解都可表示為另外，由推出，情形3為整數(shù)時(shí)，17華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!(25)(26)事實(shí)上，在(18)式的兩邊乘上然后對(duì)求導(dǎo)，得令得18華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!(25)(26)如果將以上兩式左端的導(dǎo)數(shù)表出，化簡(jiǎn)后則得先后消去與則得(27)(28)顯然(25)(26)式與(27)(28)式是等價(jià)的。19華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!(25)(26)特別的，當(dāng)時(shí)，由(26)式得當(dāng)時(shí)，由(25)式得(29)(27)(28)20華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!對(duì)于第二類貝塞爾函數(shù)，也有如下的遞推公式成立：21華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!(18)(27)從而(30)同樣可得(31)應(yīng)用公式(27)得22華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!一般的，有23華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為求解下列定解問(wèn)題：(2)(1)(3)應(yīng)用分離變量法求這個(gè)問(wèn)題的解。為此，令代入方程(1)得用乘之，得24華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!(2)(1)(3)為了求解方程(5)滿足條件(6)的非零解，(5)(6)我們采用平面上的極坐標(biāo)系，則得定解問(wèn)題(7)(8)25華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!(9)(10)由于溫度函數(shù)是單值的，所以也必是單值函數(shù)，即求解常微分方程的邊值問(wèn)題可得26華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!因此，原定解問(wèn)題的最后解決就歸結(jié)為求問(wèn)題的固有值與固有函數(shù)。若令并記(11)將上式代入方程(11)可得則(12)方程(12)是具有變系數(shù)的二階線性常微分方程，它的解稱為貝塞爾函數(shù)。(有時(shí)稱之為柱函數(shù))。27華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!(12)(13)可得28華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!(13)比較上式兩邊系數(shù)則有(14)(15)(16)由于從(14)可得下面分三種情形討論29華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!(13)(17)另外30華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!(12)(13)得到方程(12)的一個(gè)特解，記作(18)稱為階類貝塞爾函數(shù)。又由于則由達(dá)朗貝爾判別法可知級(jí)數(shù)(18)在整個(gè)實(shí)軸上是絕對(duì)收斂的。31華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!(13)另外32華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!(12)(13)得到方程(12)的另外一個(gè)特解，記作稱為階類貝塞爾函數(shù)。(19)由于所以與線性無(wú)關(guān)，由齊次線性常微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知，方程(12)的通解為其中為兩個(gè)任意常數(shù)。(20)稱為階類貝塞爾函數(shù)。與線性無(wú)關(guān)，33華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!(13)(16)情形2如果為整數(shù)(包括0)，則也為整數(shù)。依照之前的做法，同樣可得方程(12)的兩個(gè)特解(18)(19)(12)34華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!事實(shí)上，我們不妨設(shè)為某正整數(shù)當(dāng)時(shí)，將是(23)(19)負(fù)整數(shù)與0，對(duì)于這些值為無(wú)窮大，所以令得35華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!而當(dāng)為整數(shù)時(shí)，不為整數(shù)。與當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，其中為整數(shù)，(21)由(21)式知，是由于于是(21)式的右端成為形式的不定型，此時(shí)我們很自然地定義而當(dāng)為整數(shù)時(shí)，與當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，由(21)式知，是由于為整數(shù)時(shí)，與當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，由(21)式知，是線性無(wú)關(guān)的，36華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!階貝塞爾方程與線性無(wú)關(guān)其中稱為歐拉常數(shù)。顯然是特解。無(wú)窮大37華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁(yè)!5.2貝塞爾函數(shù)的遞推公式不同階的貝塞爾函數(shù)之間有一定的聯(lián)系，本節(jié)來(lái)建立反映這種聯(lián)系的遞推公式。(18)(21)由的表達(dá)式(18)可推出下列兩個(gè)基本遞推公式：(25)(26)38華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁(yè)!同樣可以證明公式(25)。(25)(26)事實(shí)上，在(18)式的兩邊乘上然后對(duì)求導(dǎo)，得39華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁(yè)!(25)(26)(27)(28)與若已知之值，由(27)式可算出之值。這樣一來(lái)，通過(guò)(27)式，可以用0階與1階貝塞爾函數(shù)來(lái)表示任意正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)。特別的，當(dāng)時(shí)，由(26)式得40華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁(yè)!例(27)(28)(29)求解由(27)式知，則有41華中科技大學(xué)貝塞爾函數(shù)共44頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁(yè)!當(dāng)(1