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文檔簡介

實驗二應用FFT對信號進行頻譜分析實驗目的1、加深對離散信號的DTFT和DFT的及其相互關(guān)系的理解。2、在理論學習的基礎(chǔ)上,通過本次實驗,加深對快速傅里葉變換的理解,熟悉FFT算法極其程序的編寫。3、熟悉應用FFT對典型信號進行頻譜分析的方法。4、了解應用FFT進行信號頻譜分析過程中可能出現(xiàn)的問題,以便在實際中正確應用FFT。實驗原理和方法一個連續(xù)信號的頻譜可以用它的傅里葉變換表示(2—1)如果對該信號進行理想采樣,可以得到采樣序列:(2—2)同樣可以對該序列進行Z變換,其中T為采樣周期(2—3)當?shù)脮r候,我們就得到了序列的傅里葉變換(2—4)其中稱為數(shù)字頻率,它和模擬頻域的關(guān)系為(2—5)式中的是采樣頻率,上式說明數(shù)字頻率是模擬頻率對采樣頻率的歸一化。同模擬域的情況相似,數(shù)字頻率代表了序列值變化的速率,而序列的傅里葉變換稱為序列的頻譜。序列的傅里葉變換和對應的采樣信號頻譜具有下式的對應關(guān)系:(2—6)即序列的頻譜是采樣信號頻譜的周期延拓。從式(2—6)可以看出,只要分析采樣序列的頻譜,就可以得到相應的連續(xù)信號的頻譜。注意:這里的信號必須是帶限信號,采樣也必須滿足Nyquist定理。在各種信號序列中,有限長序列在數(shù)字信號處理中占有很重要的地位。無限長的序列也往往可以用有限長序列來逼近。對于有限長的序列我們可以使用離散傅里葉變換(DFT),這一變換可以很好的放映序列的頻域特性,并且容易利用快速算法在計算機上實現(xiàn)當序列的長度是N時,我們定義離散傅里葉變化為:(2—7)其中,,它的反變換定義為:(2—8)根據(jù)式(2—3)和(2—7)令,則有(2—9)可以得到,是Z平面單位圓上幅角為的點,就是見單位圓進行N等分以后第K個點。所以,是變換在單位圓上的等距采樣,或者說是序列傅里葉變換的等距采樣。時域采樣在滿足Nyquist定理時,就不會發(fā)生頻譜混淆;同樣地,在頻率域進行采樣的時候,只要采樣間隔足夠小,也不會發(fā)生時域序列混淆。DFT時對序列傅里葉變換的等距采樣,因此可以用于序列的頻譜分析。在運用DFT進行頻譜分析的時候可能有三種誤差,分析如下:(1)混淆現(xiàn)象從式(2—6)中可以看出,序列的頻譜是采樣信號頻譜的周期延拓,周期是,因此當采樣速率不滿足Nyquist定理,即采樣頻率小于兩倍的信號(這里指的是實信號)頻率時,經(jīng)過采樣就會發(fā)生頻譜混淆。這導致采樣后的信號序列頻譜不能真實的反映原信號的頻譜。所以,在利用DFT分析連續(xù)信號頻譜的時候,必須注意這一問題。這就告訴我們,在確定信號的采樣頻率之前,需要對頻譜的性質(zhì)有所了解。在一般的情況下,為了保證高于折疊頻率的分量不會出現(xiàn),在采樣之前,先用低通模擬濾波器對信號進行濾波。(2)泄露現(xiàn)象實際中的信號序列往往很長,甚至是無線長序列。為了方便,我們往往用截短的序列來近似它們,這樣可以使用較短的DFT來對信號進行頻譜分析。這種截短等價于給原始信號序列乘以一個矩形窗函數(shù),而矩形窗函數(shù)的頻譜不是有限帶寬的,從而它和原信號的頻譜進行卷積以后會擴展原信號的頻譜。值得一提的是,泄漏時不能和混淆完全分離的,因為泄漏導致頻譜的擴展,從而造成混淆。為了減小泄漏的影響,可以選擇是黨的窗函數(shù)使頻譜的擴散減小到最小。柵欄效應因為DFT是對單位圓上Z變換的均勻采樣,所以它不可能將頻譜視為一個連續(xù)函數(shù)。這樣就產(chǎn)生了柵欄效應,從某種角度來看,用DFT來觀看頻譜就好像通過一個柵欄來觀看一幅景象,只能在離散點上看到真實的頻譜。這樣的話就會有一些頻譜的峰點或谷點被“柵欄”擋住,不能被我們觀察到。減小柵欄效應的一個方法是在原序列的末端補一些零值,從而變動DFT的點數(shù)。這種方法的實質(zhì)是人為地改變了對真是頻譜采樣的點數(shù)和位置,相當于搬動了“柵欄”的位置,從而使得原來被擋住的一些峰點或谷點顯露出來。注意,這時候每根譜線對應的頻率和原來的已經(jīng)不相同了。從上面的分析過程可以看出,DFT可以用于信號的頻譜分析,但必須注意可能產(chǎn)生的誤差,在應用過程中要盡可能減小和消除這些誤差的影響??焖俑道锶~變換FFT并不是與DFT不相同的另一種變換,而是為了減少DFT運算次數(shù)的一種快速算法。它是對變換式(2—7)進行一次次的分解,使其成為若干小數(shù)點DFT的組合,從而減小運算量。常用的FFT是以2為基數(shù),其長度。它的運算效率高,程序比較簡單,使用也十分菲娜改變。當需要進行變換的序列的長度不是2的整數(shù)次方的時候,為了使用以2為基的FFT,可以用末尾補零的方法,使其長度延長至2的整數(shù)次方。IFFT一般可以通過FFT程序來完成,比較式(2—7)和(2—8),只要對取共軛,進行FFT運算,然后再取其共軛,并乘以因子,就可以完成IFFT。實驗內(nèi)容及步驟(一)編制實驗用主程序及相應子程序1、在實驗之前,認真復習DFT和FFT有關(guān)的知識,閱讀本實驗原理與方法和實驗附錄部分中和本實驗有關(guān)的子程序,掌握子程序的原理并學習調(diào)用方法。2、編制信號產(chǎn)生子程序及本實驗的頻譜分析主程序。試驗中需要用到的基本信號包括:(1)高斯序列:(2)衰減正弦序列(3)三角波序列,(4)反三角序列,(二)上機實驗內(nèi)容1、觀察高斯序列的時域和頻域特性(1)固定信號的參數(shù)p=8,改變q的值,使q分別等于2,4,8。觀察它們的時域和幅頻特性,了解q取不同值的時候,對信號時域特性和幅頻特性的影響。(2)固定q=8,改變p,使p分別等于8,13,14,觀察參數(shù)p變化對信號序列時域及幅頻特性的影響。注意p等于多少時,會發(fā)生明顯的泄漏現(xiàn)象,繪制相應的食欲序列和幅頻特性曲線。11高斯序列n=0:15;>>p=8;q=2;x=exp(-1*(n-p).^2/q);>>closeall;subplot(3,1,1);stem(abs(fft(x)))>>p=8;q=4;x=exp(-1*(n-p).^2/q);>>subplot(3,1,2);stem(abs(fft(x)))>>p=8;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q);>>subplot(3,1,3);stem(abs(fft(x)))2衰減正弦序列n=0:15;a=0.1;f=0.0625;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);>>closeall;subplot(2,1,1);stem(n,x);>>subplot(2,1,2);stem(n,abs(fft(x)))>>3三角波序列fori=1:4x(i)=i;end>>fori=5:8x(i)=9-i;end>>closeall;subplot(2,1,1);stem(x);>>subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)));4反三角序列fori=1:4x(i)=5-i;end>>fori=5:8x(i)=i-4;end>>closeall;subplot(2,1,1);stem(x);>>subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16))).四.思考題1.實驗中的信號序列x(n)和x(n),在單位圓上的Z變換頻譜和會相同嗎?如果不同,你能說出哪一個低頻分量更多一些嗎?為什么?答:不相同,它們在單位圓上的Z變換頻譜中,xc(n)的低頻分量比xd(n)的多一些。2.對一個有限長序列進行離散傅里葉變換(DFT),等價于將該序列周期延拓后進行傅里葉級數(shù)展開。因為DFS也只是取其中一個周期來運算,所以FFT在一定條件下也可以用分析周期信號序列。如果正弦信號sin(2fn),f=0.1,用16點的FFT來做DFS運算,得到的頻譜是信號本身的真實譜嗎?答:只有當DFS變換的點數(shù)N與進行FFT變

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