精選-大連理工大學(xué)至第一學(xué)期計(jì)算方法期末考試試題A

大連理工大學(xué)2007至2008學(xué)年第一學(xué)期計(jì)算方法期末考試試題大連理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2005級(jí)試卷課程名稱：計(jì)算方法課程名稱：計(jì)算方法授課院（系）：應(yīng)用數(shù)學(xué)系考試日期：2007年11月日 試卷共_ 6_頁一二三四五六七八九十總分標(biāo)準(zhǔn)分4281515155////100得分、填空（每一空2分，共42分）.為了減少運(yùn)算次數(shù)，應(yīng)將表達(dá)式.X+16x^+8x-l改寫為 .給定3個(gè)求積節(jié)點(diǎn)：與二°,耳=05和馬二1，則用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分Jo 求得的近似值為,用Simpson公式求得的近似值為。1.設(shè)函數(shù)K力4（T°J）,若當(dāng)工《一1時(shí)，滿足K力二°,則其可表示為4,已知加二Q加二&1口）=12,則插』=710X2]=,逼近f（力的Newton插值多項(xiàng)式為。5,用于求大工）二小一1一工二°的根工二°的具有平方收斂的Newton迭代公式為:。[00小101.已知1°° ,則，的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是;.設(shè)/是界階正規(guī)矩陣，則Ml=；.求解一階常微分方程初值問題叫）=（產(chǎn)T*kf,的向后（隱式）Euler法的顯式化的格式為：.設(shè)”二211_00112為工的近似值，且上吸則m至少有位有效數(shù)字;10將工=值4『10將工=值4『0112,用二分法求方程/（力=2廿一現(xiàn)一】二°在區(qū)間[13]內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為,進(jìn)行二步后根所在區(qū)間為.若加啟%泗為Newton-Cotes求積公式，則=,若為Gauss型求積公式，則上』2].設(shè)有I2一寸，則在Schur分解4=1?即中，.可取為。dI〕.貯=.設(shè)10°人則dL也。二、（8分）已知近似值 ,2 ,儂二9一81均為有效數(shù)字，試估計(jì)算術(shù)運(yùn)算 胃的相對(duì)誤差界（15分）設(shè)線性方程組:

耳+3x； =43對(duì)+巧=42H+巧+4巧=7(1)列主元消元法求出上述方程組的解，并計(jì)算M1和況；(2)試問用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組是否收斂？(3)請(qǐng)給出可求出上述方程組解的收斂的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并說明其收斂性。四、(15分)對(duì)于如下求解一階常微分方程初值問題幽二加通幅)二%的數(shù)值方法一不，4-不，=人■?+8九1+1)2 』o①證明其收斂性；求出它的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)及絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間；②要用此方法解V=-20h,M0)=l。為使方法絕對(duì)穩(wěn)定，求出步長A的取值范圍并以或。=1,噸二1初值/=0_。1為步長，求出血(0購的近似值與五、(15分)(1)用Schimidt正交化方法，構(gòu)造【一1口上以N力三1權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系：。⑨，地，煙,財(cái)(2)構(gòu)造計(jì)算 '具有5次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式;的數(shù)值解。(3)利用2)的結(jié)果求出工的數(shù)值解。六、證明題(5分)任選一題1.設(shè)43eC"均為可逆矩陣，且齊次線性方程組(/* 二。有非零解,證明：對(duì)于中的任何矩陣范數(shù)H,證明：對(duì)于中的任何矩陣范數(shù)H,都有AaB>1A-收斂。2.已知

收斂。大連理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2005級(jí)試A卷答案課程名稱： 計(jì)算方法 授課院（系）： 應(yīng)用數(shù)學(xué)系考試日期：2007年11月日 試卷共6頁一二三四五六七八九十總分標(biāo)準(zhǔn)分4281515155////100得分一、填空（每一空2分，共42分）16f17f,18?.4-—13x7.為了減少運(yùn)算次數(shù)，應(yīng)將表達(dá)式.r+16?+8x-l奧氏-17卜）眸-1小-砸-1改寫為 舶-0卜*16卜+紙-1 ；.給定3個(gè)求積節(jié)點(diǎn)：與二°,與二帖和馬二】，則用復(fù)化梯形公式計(jì)算如加書+?）積分Jd 求得的近似值為，用Simpson公式求得的近似值為6。1.設(shè)函數(shù)K力￡羽（T&1）,若當(dāng)工＜T時(shí)，滿足K力二°,則其可表示為可力=&&+理+謁+n/一44,已知加二Q加二&fQ）=12,則加川二6 ,710期=0 逼近f（力的Newton插值多項(xiàng)式為6及＜5,用于求大工）二/一1一工二°的根工二°的具有平方收斂的Newton迭代公式為:%二為:%二q-2xA.=「0A.=「0-]6.已知Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是1°。町或1?。町;.設(shè)/是界階正規(guī)矩陣，則⑷廣山）；.求解一階常微分方程初值問題叫）=（產(chǎn)TX",4）=。的向后（隱式）彳Euler法的顯式化的格式為：『一1+麻-己1）.設(shè)"2ii_oMi2為工的近似值，且卜一，c（r,則m至少有5位有效數(shù)字;24]TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"5 54 3.將工=（工牙，化為『=（士0|的Householder矩陣為：一引;-仰oYf20、HUoj=bJ11? ?12,用二分法求方程/（力=比一乳一】二°在區(qū)間￡3]內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為進(jìn)行二步后根所在區(qū)間為H2）。求積公式，則13.1而展電4分）（■泌為Newt-求積公式，則Z4s=-J2,若為Gauss型求積公式，則上』，2] 1口.設(shè)夙2川，則在Schur分解.二以獷中，度可取為1°一1J或r-l0、也JJ也.設(shè)

（8分）已知近似值面二121,,二3￡5,儂=9￡1均為有效數(shù)字，試估計(jì)算術(shù)運(yùn)算 力的相對(duì)誤差界。解：由已知，%-小Lit尸二IxM忖-勺,1又娟 -^|<-xir22 2 ；1 2 ；1 12令危死出卜耳乜/（%勺收）二生曳?%玉 %由函數(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)式fk刈巧）一/（4，當(dāng)）Ai/）+￡（，?,陶h啊，）=h一&善F）“-芳戶7從而，相對(duì)誤差可寫成1/（用陽.電）1/（用陽.電）-44母;的J1/（%與,的）三、（15分）設(shè)線性方程組：5+g =4■藥士巧 =42jq+巧+4x^=7（1）列主元消元法求出上述方程組的解，并利用得到的上三角矩陣計(jì)算出㈣匈（要有換元、消元過程）；（2）試問用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組是否收斂？（3）請(qǐng)給出可求出上述方程組解的收斂的 Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并說明其收斂性。解：（1）

故a(L1jF2

--004

18-302

--004

18-30A30TOC\o"1-5"\h\z3240=4八361=4加-9）=0拆⑼0T-昨.iu ，則4/J=oD9,故=9>1,從而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散又由于Jacobi迭代法的迭代矩陣為：（ X0 -30鳥=-300「「彳。1de儂一訃*易）=°3-3,故H易卜3>1,從而Jacobi迭代法發(fā)散。（3）將上述方程組的第一個(gè)方程與第二個(gè)方程對(duì)調(diào)后，新的方程組的系數(shù)「3104、N=1304矩陣為： （2147J是嚴(yán)格對(duì)角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收斂。且新的方程組與原方程組同解。守=*-以）鏟=；（4-好）孝同守=*-以）鏟=；（4-好）孝同=；（7—潭一則4染'=*-?。╃P=32x產(chǎn)-刊4四、（15分）對(duì)于如下求解一階常微分方程初值問題幽二加通『（3/的數(shù)值方法-彳^4-不,二40九2+8Aj1+￡）2 』o①證明其收斂性；求出它的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)及絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間；②要用此方法解一二-如，則）T。為使方法絕對(duì)穩(wěn)定，求出步長1A的取值范圍并以端=1,即T初值，入二0-01為步長，求出M0叫）的近似值修解:（1）解:（1）注意,肥■，從而-Q+嗎=。；+24）-1（1*2；+24）-1（1*2、1）=一X o,148故此為線性隱式二步三階法，其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為:⑵令,,得4⑵令,,得4二1,為一一5,滿足根條件；又方法階P=3>],故此差分格式收斂。⑶又對(duì)于模型問題："二川（*<0）,取*二的⑷產(chǎn)響“一沖⑷產(chǎn)響“一沖產(chǎn)撲〃-+A2而要使得-+?21-A

8-+?21-A

8<2<1.4二1一士<2.3匚 8-3A1——11

1*2 幽W而iT嘉,自然成立?，F(xiàn)在冉由18-3/8」荻得-4+tt<4+fflJ<4-4*<=>-l+k<l+2*<l-S由-1+A<1+2A,可推出-2<%{0,即*w(-2<)。#五、(15分)(1)用Schimidt正交化方法，構(gòu)造卜”!上以火力三】權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系：a(立a①，粼力，。國;⑵構(gòu)造計(jì)算L人力*具有5次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式;(3)利用2)的結(jié)果(3)利用2)的結(jié)果求出以Kde的數(shù)值解。解：由2。+1=5=1!=2,即應(yīng)構(gòu)造具有3個(gè)Gauss點(diǎn)的求積公式。首先構(gòu)造3次正交多項(xiàng)式，令2I 30d23d2I 30d23d2523

2502325<1527「881?-25r27-151<15x27;25-4545x25_32^3J2=B5 225r；令網(wǎng)（二）二0即得,卷A4白/一白)1352M二卷A4白/一白)1352M二0F,得取八)二1,工？，令0*4臥"。）+“￡即得到方程組:2=4+4+423/3」—=即得到方程組:2=4+4+423/3」—=-4+—435,5勺解之,得4=4=；,從而具有5次代數(shù)精度Gauss求積公式0（尬”#臥澗+:穩(wěn)⑵內(nèi)田則有“w比、秋）明.102.^550⑵內(nèi)田則有“w比、秋）明.102.^55010-2歷.’10,2布91 _1$J10+2岳一? ^^1（50+1045）+128x,ii2+shi1豈屈卜-10時(shí)36六、證明題（5分）任選一題i.設(shè)4￡eC1Ml均為可逆矩陣，且齊次線性方程組M+JJ）x=o有非零解,證明：對(duì)于