概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論部分1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論部分1§5.條件概率(一)條件概率:

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A,B是事件,要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,這就是條件概率問題.例1.將一枚硬幣擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設(shè)A—“至少有一次正面”,B—“兩次擲出同一面”求：A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.1.定義:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.2§5.條件概率(一)條件概率:例1.將一枚硬幣擲兩次,2.性質(zhì):條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件,即此外,條件概率具有無條件概率類似性質(zhì).例如：32.性質(zhì):條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件,即此外,注當(dāng)A＝S時(shí),P(B｜S)=P(B),條件概率化為無條件概率,因此無條件概率可看成條件概率.計(jì)算條件概率有兩種方法:1.公式法：4注當(dāng)A＝S時(shí),P(B｜S)=P(B),條件概率化為無2.縮減樣本空間法：在A發(fā)生的前提下,確定B的縮減樣本空間,并在其中計(jì)算工B發(fā)生的概率,從而得到P(B|A).例2.在1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)碼中,每次取一個(gè)數(shù)碼,取后不放回,連取兩次,求在第1次取到偶數(shù)的條件下,第2次取到奇數(shù)的概率.例3.3只一等品2只二等品任取一只,不放回再任取一只A—第一次取到的是一等品B—第二次取到的是一等品,求P(B|A).52.縮減樣本空間法：例2.在1,2,3,4,5這(二)乘法定理:P(AB)>0,則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,則有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).推廣6(二)乘法定理:P(AB)>0,則有P(ABC)=Pr只紅球○t只白球○例4.每次任取一只球觀察顏色后,放回,再放回a只同色球在袋中連續(xù)取球4次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.例5.透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為獲0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.

7r只紅球○t只白球○例4.每次任取一只球觀察顏色后,放回(三)全概率公式和貝葉斯公式:1.樣本空間的劃分SB1B2B3...Bn注(1)若B1,B2,…,Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分,則每次試驗(yàn)中,事件B1,B2,…,Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.8(三)全概率公式和貝葉斯公式:1.樣本空間的劃分SB1B2.全概率公式:稱為全概率公式.3.貝葉斯公式:92.全概率公式:稱為全概率公式.3.貝葉斯公式:9利用全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率的關(guān)鍵是找出樣本空間的一個(gè)劃分,即完備事件組B1,…,Bn.說明其要點(diǎn)為：(1)事件A必須伴隨著n個(gè)互不相容的事件B1,B2,...,Bn之一發(fā)生,求A的概率就可用全概率公式計(jì)算.(2)如果我們已知事件A發(fā)生了,求事件Bi(i=1,2,…,n)的概率,則用貝葉斯公式.即用貝葉斯公式所計(jì)算的是條件概率P(Bi|A),i=1,2,…,n.10利用全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率的關(guān)鍵是找出樣本空間的一個(gè)例1只紅球4只白球2只紅球3只白球3只紅球132現(xiàn)從任意一箱中任取一球，求取得紅球的概率。11例1只紅球2只紅球3只紅球132現(xiàn)從任意一箱中任取一球，求取例7.某商店出售玻璃杯,每箱20只。假設(shè)其中各箱中有0,1,2只次品的概率依次為0.8,0.1,0.1,一顧客欲購(gòu)買一箱玻璃杯，在購(gòu)買時(shí)售貨員隨機(jī)取一箱，顧客隨機(jī)查看4只，若無次品便買下否則退回,試求:(1)顧客買下玻璃杯的概率(2)顧客買下的這箱杯子中確實(shí)無次品的概率，12例7.某商店出售玻璃杯,每箱20只。假設(shè)其中各箱中12§1.6獨(dú)立性設(shè)A,B是試驗(yàn)E的兩事件,當(dāng)P(A)>0,可以定義P(B|A).一般地,P(B|A)≠P(B),但當(dāng)A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生的概率沒有影響時(shí),有P(B|A)=P(B),由乘法公式有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).1.定義:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件.13§1.6獨(dú)立性設(shè)A,B是試驗(yàn)E的兩事件,當(dāng)P(A)>0,由定義可知:1)零概率事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.2)由對(duì)稱性,A,B相互獨(dú)立,必有B,A相互獨(dú)立.2.定義推廣:設(shè)A1,A2,…,An是任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立.如果對(duì)于任意的k(k≤n),任意的1≤i1<i2<…<ik≤n都有:P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立.14由定義可知:1)零概率事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.2)3.定理:設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,則A,B相互獨(dú)立的充要條件是:P(B|A)=P(B).有關(guān)結(jié)論:153.定理:設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,則A,B相互三.利用獨(dú)立性計(jì)算古典概率:1.計(jì)算相互獨(dú)立的積事件的概率：若已知n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)2.計(jì)算相互獨(dú)立事件的和的概率：若已知n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則例1.兩架飛機(jī)依次輪番對(duì)同一目標(biāo)投彈,每次投下一顆炸彈,每架飛機(jī)各帶3顆炸彈,第1架扔一顆炸彈擊中目標(biāo)的概率為0.3,第2架的概率為0.4,求炸彈未完全耗盡而擊中目標(biāo)的概率。(續(xù))古典概型概率的間接計(jì)算:16三.利用獨(dú)立性計(jì)算古典概率:1.計(jì)算相互獨(dú)立的積事件的概例2.設(shè)有8個(gè)元件,每個(gè)元件的可靠性均為p(元件能正常工作的概率),按如下兩種方式組成系統(tǒng),試比較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性.

A1

B1

A2

B2

B3

B4

A3

A4系統(tǒng)二:先并聯(lián)后串聯(lián)系統(tǒng)一:先串聯(lián)后并聯(lián)A1B1A2B2A3B3A4B417例2.設(shè)有8個(gè)元件,每個(gè)元件的可靠性均為p(元件能A1例3.100件樂器,驗(yàn)收方案是從中任取3件測(cè)試(相互獨(dú)立的),3件測(cè)試后都認(rèn)為音色純則接收這批樂器,測(cè)試情況如下:經(jīng)測(cè)試認(rèn)為音色純認(rèn)為音色不純樂器音色純0.990.01樂器音色不純0.050.95若100件樂器中恰有4件音色不純,試問:這批樂器被接收的概率是多少?18例3.100件樂器,驗(yàn)收方案是從中任取3件測(cè)試(相互獨(dú)立第一章習(xí)題課一、主要內(nèi)容:樣本空間隨機(jī)事件概率定義及性質(zhì)古典概型條件概率全概率公式Bayes公式事件的獨(dú)立性19第一章習(xí)題課一、主要內(nèi)容:樣本空間隨機(jī)事件概率定義及性質(zhì)二、課堂練習(xí):1.選擇題:(1)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生,事件C必發(fā)生,則有()(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A∪B)(C)P(C)≥P(A)+P(B)-1(D)P(C)≤P(A)+P(B)-120二、課堂練習(xí):1.選擇題:202.填空題：(2)設(shè)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立,A,B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生而B不發(fā)生的概率與B發(fā)生而A不發(fā)生的概率相等,則P(A)=______.3.計(jì)算題：課本的13題，35題，36題.212.填空題：(2)設(shè)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立,A,B概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論部分22概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論部分1§5.條件概率(一)條件概率:

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A,B是事件,要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,這就是條件概率問題.例1.將一枚硬幣擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設(shè)A—“至少有一次正面”,B—“兩次擲出同一面”求：A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.1.定義:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.23§5.條件概率(一)條件概率:例1.將一枚硬幣擲兩次,2.性質(zhì):條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件,即此外,條件概率具有無條件概率類似性質(zhì).例如：242.性質(zhì):條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件,即此外,注當(dāng)A＝S時(shí),P(B｜S)=P(B),條件概率化為無條件概率,因此無條件概率可看成條件概率.計(jì)算條件概率有兩種方法:1.公式法：25注當(dāng)A＝S時(shí),P(B｜S)=P(B),條件概率化為無2.縮減樣本空間法：在A發(fā)生的前提下,確定B的縮減樣本空間,并在其中計(jì)算工B發(fā)生的概率,從而得到P(B|A).例2.在1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)碼中,每次取一個(gè)數(shù)碼,取后不放回,連取兩次,求在第1次取到偶數(shù)的條件下,第2次取到奇數(shù)的概率.例3.3只一等品2只二等品任取一只,不放回再任取一只A—第一次取到的是一等品B—第二次取到的是一等品,求P(B|A).262.縮減樣本空間法：例2.在1,2,3,4,5這(二)乘法定理:P(AB)>0,則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,則有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).推廣27(二)乘法定理:P(AB)>0,則有P(ABC)=Pr只紅球○t只白球○例4.每次任取一只球觀察顏色后,放回,再放回a只同色球在袋中連續(xù)取球4次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.例5.透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為獲0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.

28r只紅球○t只白球○例4.每次任取一只球觀察顏色后,放回(三)全概率公式和貝葉斯公式:1.樣本空間的劃分SB1B2B3...Bn注(1)若B1,B2,…,Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分,則每次試驗(yàn)中,事件B1,B2,…,Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.29(三)全概率公式和貝葉斯公式:1.樣本空間的劃分SB1B2.全概率公式:稱為全概率公式.3.貝葉斯公式:302.全概率公式:稱為全概率公式.3.貝葉斯公式:9利用全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率的關(guān)鍵是找出樣本空間的一個(gè)劃分,即完備事件組B1,…,Bn.說明其要點(diǎn)為：(1)事件A必須伴隨著n個(gè)互不相容的事件B1,B2,...,Bn之一發(fā)生,求A的概率就可用全概率公式計(jì)算.(2)如果我們已知事件A發(fā)生了,求事件Bi(i=1,2,…,n)的概率,則用貝葉斯公式.即用貝葉斯公式所計(jì)算的是條件概率P(Bi|A),i=1,2,…,n.31利用全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率的關(guān)鍵是找出樣本空間的一個(gè)例1只紅球4只白球2只紅球3只白球3只紅球132現(xiàn)從任意一箱中任取一球，求取得紅球的概率。32例1只紅球2只紅球3只紅球132現(xiàn)從任意一箱中任取一球，求取例7.某商店出售玻璃杯,每箱20只。假設(shè)其中各箱中有0,1,2只次品的概率依次為0.8,0.1,0.1,一顧客欲購(gòu)買一箱玻璃杯，在購(gòu)買時(shí)售貨員隨機(jī)取一箱，顧客隨機(jī)查看4只，若無次品便買下否則退回,試求:(1)顧客買下玻璃杯的概率(2)顧客買下的這箱杯子中確實(shí)無次品的概率，33例7.某商店出售玻璃杯,每箱20只。假設(shè)其中各箱中12§1.6獨(dú)立性設(shè)A,B是試驗(yàn)E的兩事件,當(dāng)P(A)>0,可以定義P(B|A).一般地,P(B|A)≠P(B),但當(dāng)A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生的概率沒有影響時(shí),有P(B|A)=P(B),由乘法公式有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).1.定義:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件.34§1.6獨(dú)立性設(shè)A,B是試驗(yàn)E的兩事件,當(dāng)P(A)>0,由定義可知:1)零概率事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.2)由對(duì)稱性,A,B相互獨(dú)立,必有B,A相互獨(dú)立.2.定義推廣:設(shè)A1,A2,…,An是任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立.如果對(duì)于任意的k(k≤n),任意的1≤i1<i2<…<ik≤n都有:P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立.35由定義可知:1)零概率事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.2)3.定理:設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,則A,B相互獨(dú)立的充要條件是:P(B|A)=P(B).有關(guān)結(jié)論:363.定理:設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,則A,B相互三.利用獨(dú)立性計(jì)算古典概率:1.計(jì)算相互獨(dú)立的積事件的概率：若已知n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)2.計(jì)算相互獨(dú)立事件的和的概率：若已知n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則例1.兩架飛機(jī)依次輪番對(duì)同一目標(biāo)投彈,每次投下一顆炸彈,每架飛機(jī)各帶3顆炸彈,第1架扔一顆炸彈擊中目標(biāo)的概率為0.3,第2架的概率為0.4,求炸彈未完全耗盡而擊中目標(biāo)的概率。(續(xù))古典概型概率的間接計(jì)算:37三.利用獨(dú)立性計(jì)算古典概率:1.計(jì)算相互獨(dú)立的積事件的概例2.設(shè)有8個(gè)元件,每個(gè)元件的可靠性均為p(元件能正常工作的概率),按如下兩種方式組成系統(tǒng),試比較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性.

A1

B1

A2

B2

B3

B4

A