現(xiàn)實(shí)空間歐氏幾何的唯一性

使圖2的B和C直線與A直線相交。除非直線的長度無限小，變成一個(gè)點(diǎn)，但那就不是線段了。圖3中B和C明明是曲線，非歐幾何卻將它們視為直線，這顯然也是違背歐氏幾何的原始含義的。可見按照歐氏幾何的原始含義，在平面上非歐幾何對第五公設(shè)的改變根本不可能實(shí)現(xiàn)。非歐幾何改變歐氏幾何第五公設(shè)的荒謬性可以用以下方式來說明。我們知道人類有23對染色體，通過染色體測定方法，可以鑒別人類與其他動物。然而有人建立另外一種標(biāo)準(zhǔn)，用膚色來鑒定人類，并聲稱皮膚深色者不是地球人！如果堅(jiān)持認(rèn)為非歐幾何對第五公設(shè)的修正是合法的，正確的做法應(yīng)當(dāng)是，采用與歐幾里得完全相同的直線定義，證明平面上可以有多條直線與原直線平行，或沒有直線與原直線平行。然而這是根本不可能的，非歐幾何對第五公設(shè)的修正只是邏輯上可行，在現(xiàn)實(shí)上不可行。因此非歐幾何在現(xiàn)實(shí)面前不堪一擊，非歐幾何提出后幾十年，數(shù)學(xué)界始終不予承認(rèn)，原因就在于此。雖然非歐幾何可以自成體系自圓其說，但幾何學(xué)不僅僅只是一個(gè)邏輯系統(tǒng)，它畢竟是用來研究現(xiàn)實(shí)空間的。離開現(xiàn)實(shí)空間背景討論抽象的邏輯演繹，顯然不是明智之舉。事實(shí)上，如果通過改變一條公設(shè)就可以建立一套新的幾何學(xué)，我們就可以有各種各樣的幾何學(xué)。比如通過改變歐幾里得幾何公理系統(tǒng)，數(shù)學(xué)家們后來還得到方德爾（Forder）系統(tǒng)，韋伯蘭（Veblen）系統(tǒng)，巴赫曼（Bachmann）系統(tǒng)，卡岡（）系統(tǒng)，彼得標(biāo)而金（）系統(tǒng)【3】。但這樣的幾何體系只能在邏輯上存在，沒有任何實(shí)際意義。4．曲面上歐氏幾何與非歐幾何沒有矛盾然而也有一些數(shù)學(xué)家堅(jiān)信非歐幾何存在的可能性，力圖為了羅巴切夫斯基幾何尋找現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。貝爾特拉米在偽球面上實(shí)現(xiàn)羅巴切夫斯基幾何，為非歐幾何找到生機(jī)。我們的問題是，偽球面上的非歐幾何平行線公設(shè)與平面上的歐氏幾何第五公設(shè)有矛盾嗎？在曲面上，羅巴切夫斯基幾何與歐氏幾何是對立的，不相容的嗎？答案顯然是，二者是相容的，沒有任何矛盾！歐氏幾何的第五公設(shè)是對平面上的直線而言。偽球面是曲面，曲面上沒有直線的定義，歐氏幾何的第五公設(shè)本來就不成立。如圖5所示，按照歐氏幾何畫圖，在平面上由曲線構(gòu)成的三角形A和B，其內(nèi)角和顯然小180度和大于180度。我們根本不需要修改歐氏幾何第五公設(shè)，平面上的非歐幾何有什么意義呢？如果非要在曲面討論第五公設(shè)，數(shù)學(xué)家面臨如何定義直線的問題?？紤]到直線代表兩點(diǎn)之間的最短距離，曲面上的直線可以看成是兩點(diǎn)之間的短程線。如果將曲面上的直線理解為短程線，在偽球面上通過短程線A外的任意點(diǎn)的確可以做多條短程線B和C等，它們可以延伸到遠(yuǎn)處，但不與原短程線相交。由三條短程線構(gòu)成的三角形，其內(nèi)角和可以小于或大于180度。這些與歐氏幾何沒有原則性的矛盾，按照歐氏幾何，曲面上也可以有這種結(jié)果。相反，如果將短程線理解為直線，圖3和圖6平面上的B和C曲線就不是短程線，因此就不是直線，也就不是A的平行線，羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何就不能自圓其說。非歐幾何對直線的定義矛盾重重，是不可能自洽的。這個(gè)事實(shí)反應(yīng)了實(shí)在空間幾何概念的唯一性，我們只可能有一種幾何，不可能有兩種幾何。5．高斯微分幾何包含了非歐幾何事實(shí)上歐幾里得只討論平面上的幾何問題，沒有討論曲面問題。研究曲面問題需要無窮小分析和微積分，在歐幾里得時(shí)代，微積分還沒有被發(fā)明。用數(shù)學(xué)研究曲面，是一千多年后的事情。高斯采用微積分方法，建立了微分幾何理論。高斯微分幾何定義了曲面第一基本形式，可以寫為：dS2■Edu2■2Fdudv■Gdv2（1）其中函數(shù)E,F,G取不同的形式，對應(yīng)于不同的曲面。利用（1）式可以定量描述各種各樣的曲面（包括偽球面和球面），曲面上的各種曲線（包括短程線），以及任意兩條曲線之間的夾角（包括兩條短程線之間的夾角）。因此采用高斯微分幾何，可以得到非歐幾何的所有結(jié)果。比如采用Gauss-Bonnet公式，可以證明偽球面上三條短程線組成的三角形內(nèi)角和小于180度，球面上三條短程線組成的三角形內(nèi)角和大于180度【4】。通過偽球面上某短程線外某點(diǎn)可以有多條短程線，它們都不與原短程線相交。而球面上的大圓都是短程線，它們彼此相交，球面上不存在不相交的短程線，等等。然而我們應(yīng)當(dāng)明白，高斯曲面理論是建立在歐氏幾何的基礎(chǔ)上的。三維歐氏幾何的空間在本質(zhì)上是平直的，二維曲面被嵌在三維平直空間中，二維和三維曲線存在于三維空間中。它們之間所謂的非歐幾何關(guān)系，實(shí)際上都可以用三維歐氏空間中的微分幾何來定量描述，都已經(jīng)包含在歐氏幾何的曲面理論中。羅巴切夫斯基幾何有時(shí)被簡稱為雙曲幾何，黎曼幾何也被簡稱為球面幾何，但它們都是（1）式的特例。比如取E■1，F(xiàn)■0和G■a2"u/a，就得到偽球面的度規(guī)。取E■a2，F(xiàn)■0，G■a2sin2v，就得到球面度規(guī)。但它們都只是歐氏空間中的一種曲面，根本沒有資格成為獨(dú)立的幾何體系。否則（1）式中E,F,G有無窮多種形式，我們就不得不認(rèn)為有無窮多種的幾何體系。由此可見，非歐幾何實(shí)際上只是歐氏幾何在曲面上的體現(xiàn)。它在平面上不可實(shí)現(xiàn)，在曲面上與歐氏幾何沒有什么兩樣，在現(xiàn)實(shí)中沒有獨(dú)立于歐氏幾何的非歐幾何。我們只有平面幾何，立體幾何，曲面幾何與曲線幾何，它們都是歐氏空間的幾何。羅巴切夫斯基等人對歐幾里得幾何第五公設(shè)的改變沒有任何現(xiàn)實(shí)意義，我們何必多此一舉，非要引入所謂的非歐幾何呢？更一般地說，幾何學(xué)描述現(xiàn)實(shí)空間是需要建立度量關(guān)系的。如果我們非要認(rèn)為存在非歐幾何，就只能將它看成描述彎曲空間的幾何，歐氏幾何則為非歐幾何提供度量標(biāo)準(zhǔn)。歐幾里得幾何學(xué)就像一把尺子，彎曲空間幾何需要以這把尺子為標(biāo)準(zhǔn)，建立各種空間關(guān)系。在這種意義上，歐氏幾何與非歐幾何是基礎(chǔ)與上層建筑的關(guān)系。它們不是相互矛盾，相互排斥的。談?wù)撈矫嫔系姆菤W幾何是沒有意義的，因?yàn)榭臻g本身就是歐氏的。非歐幾何描述彎曲空間，只能以歐氏幾何為基礎(chǔ)而存在。國內(nèi)學(xué)者楊世家最先指出這個(gè)問題，認(rèn)為非歐幾何實(shí)際上是歐氏幾何在曲面上的體現(xiàn)，所謂的非歐幾何純屬多余。以下四段話引自楊世家的文章《黎曼幾何質(zhì)疑》（文字略有修改）【5】：歐幾里得幾何第五公設(shè)不能被證明，這沒有什么好奇怪，也沒有什么可懷疑的。恰恰相反，這說明第五公設(shè)只能作為公設(shè)，不能作為定理。到此為止問題已經(jīng)解決，不需要再糾纏。后來所有的糾纏都是數(shù)學(xué)家們的意愿導(dǎo)致的，完全是多余的。貝特拉米等人把歐氏幾何中的“曲面”偷換成“平面”，“測地線”偷換成“直線”，做出直觀“模型”來解釋非歐幾何，真是荒唐遺憾。與歐氏幾何完全矛盾的羅氏幾何，竟然是用歐氏幾何來解釋的，歐氏幾何竟然支持了非歐幾何。沒有矛盾是理論體系為真理的必要條件，不是充分條件。一個(gè)理論是否正確，不能用自身來檢驗(yàn)，只有完全符合事實(shí)的理論才是真理。如果脫離現(xiàn)實(shí)世界的約束，純粹考慮數(shù)學(xué)上和邏輯上的自恰性，我們可以改變?nèi)魏我粭l公理，甚至用截然相反的陳述來建立數(shù)學(xué)和邏輯上自恰的理論體系。黎曼幾何和羅巴切夫斯基幾何就是這樣。哪種幾何適用于現(xiàn)實(shí)世界，不僅需要數(shù)學(xué)內(nèi)在的自恰性，而且還需要符合外部的客觀世界。就象用中文記錄的歷史事件不是中文本身一樣，我們不能用中文隨意“創(chuàng)造”歷史上并不存在、但符合中文語法，邏輯上沒有矛盾的事件“記錄”。6"niw"”"歐氏幾何討論三維平直空間的問題，高斯微分幾何建立后，自然需要考慮高維彎曲空間的幾何問題。黎曼是高斯的學(xué)生，他繼承了高斯的微分幾何方法，建立描述高維彎曲空間的黎曼微分幾何。黎曼幾何被看成是更高級的空間理論，它可以脫離幾何圖形的具體形象，完全用抽象的函數(shù)描述彎曲空間。黎曼幾何已經(jīng)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分，并在現(xiàn)代物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。然而可以證明，黎曼微分幾何的基礎(chǔ)存在嚴(yán)重缺陷，實(shí)際上是不成立的【6】。高斯微分幾何建立在歐氏幾何的基礎(chǔ)上，其理論和圖像直觀樸素，概念清楚，邏輯合理。但高斯也犯了一個(gè)致命的錯(cuò)誤，嚴(yán)重誤導(dǎo)后世幾何學(xué)的發(fā)展方向。他引入內(nèi)蘊(yùn)幾何概念，認(rèn)為二維曲面可以脫離三維平直背景空間獨(dú)立存在。但這實(shí)際上是不可能的。事實(shí)上，高斯微分幾何需要先在三維平直空間中定義曲面方程z■z（九y），然后再變換到曲面坐標(biāo)系，用曲面坐標(biāo)參數(shù)m和v來描述曲面。由于三維空間坐標(biāo)x,y,z之間的限制，導(dǎo)致曲面第一基本形式中的三個(gè)函數(shù)E,F,G不是獨(dú)立的。如果認(rèn)為曲面可以獨(dú)立于三維背景空間而存在，函數(shù)E,F,G就應(yīng)當(dāng)是獨(dú)立的。在這種情況下，可以舉出許多例子,證明高斯曲率公式是失效的。作為高斯的繼承人,黎曼沒有繼承高斯幾何理論直觀樸素的優(yōu)點(diǎn),卻將高斯內(nèi)蘊(yùn)幾何的錯(cuò)誤延續(xù)和放大。按照黎曼的方式,建立起來的高維彎曲空間理論從一開始就是錯(cuò)的。分析表明黎曼幾何的基礎(chǔ)漏洞百出,邏輯無法自洽,不可能與高斯幾何達(dá)到一致的。主要體現(xiàn)在以下幾方面。曲率張量是黎曼幾何的核心概念,黎曼幾何用曲率張量來表示空間曲率。然而可以證明,存在許多真正的二維曲面（不可展曲面）,用黎曼曲率張量計(jì)算是曲率卻為零,因此用黎曼幾何的曲率張量描寫空間曲率是無效的。黎曼幾何與高斯幾何存在許多不一致性。比如高斯曲面的曲率是有方向性的,但二維黎曼曲面的曲率沒有方向性,因此黎曼幾何在現(xiàn)實(shí)中是不成立的。高斯幾何理論中,曲線的曲率是一個(gè)豐富多彩的領(lǐng)域。但在黎曼幾何中,最低階的曲率張量只能描述二維曲面,因此黎曼幾何無法描述空間曲線的曲率。黎曼幾何采用活動標(biāo)架,微分弧長涉及標(biāo)架基向量的導(dǎo)數(shù)。因此黎曼度規(guī)張量實(shí)際上與聯(lián)絡(luò)有關(guān),其形式實(shí)際上比現(xiàn)有形式復(fù)雜得多。由此會導(dǎo)致黎曼幾何的重大改變,黎曼幾何中的許多內(nèi)容實(shí)際上都是不成立的。如果采用正確的度規(guī),能否找到合適的函數(shù)來描述空間曲率,仍然是一個(gè)大問題。黎曼幾何用列維-齊維塔向量平移方法推導(dǎo)曲率張量,但忽略了向量平移的法向增量,所得結(jié)果是錯(cuò)誤的【7】。列維-齊維塔向量平移回到出發(fā)點(diǎn)時(shí),角度差是由構(gòu)成回路的曲線的不連續(xù)性引起的。如果采用連續(xù)曲線回路,就沒有角度差,也就沒有曲率張量。如果不是采用4條對稱的曲線構(gòu)成回路,而是采用3條,5條和6條曲線,就得不到黎曼曲率張量的現(xiàn)有形式。因此用列維-齊維塔向量平移推導(dǎo)黎曼曲率張量是無效的。黎曼曲率張量也可以通過絕對微分算符的不對易性導(dǎo)出【8】，但其幾何意義是不明確的。結(jié)果進(jìn)一步證明黎曼曲率張量不能描述真正的空間曲率。事實(shí)上，黎曼幾何不可能獨(dú)立于高斯幾何而存在。如果沒有高斯幾何，僅憑黎曼幾何公式，我們甚至連最簡單的球面度規(guī)的形式都沒有辦法確定，更不用說其他更復(fù)雜的彎曲空間度規(guī)了。由于脫離平直空間的背景，黎曼幾何實(shí)際上變成無源之水，無根之木。為了能與高斯幾何一致，黎曼幾何不得不引入許多不恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，結(jié)果仍然無法擺脫以歐式幾何為背景的宿命。黎曼幾何實(shí)際上是依靠模仿高斯幾何而生存的，這種模仿恰恰背離了彎曲空間可以獨(dú)立存在本源，其基本概念和直觀圖像不倫不類，帶來的是更多的混亂和困惑。按目前流行的看法，黎曼幾何被看出是比高斯幾何更一般的空間理論。但如果連最簡單的一維曲線和二維曲面的曲率都不能正確描述，高維空間的黎曼幾何還會有什么實(shí)際意義呢？現(xiàn)有黎曼幾何的基礎(chǔ)存在嚴(yán)重的缺陷，作為其核心概念的度規(guī)張量和曲率張量的定義都是有問題的。高維空間的幾何理論只能按高斯微分幾何的模式拓展，事實(shí)上在許多特殊問題中，數(shù)學(xué)家已經(jīng)這樣做了。但這種做法的其前提是，維彎曲空間必須有更高維的歐氏空間為背景。非歐幾何提出一百多年，許多數(shù)學(xué)史上大名鼎鼎的人物都參與其中。一個(gè)龐大的理論體系已經(jīng)建立，并廣泛地滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代物理學(xué)的方方面面。然而非常遺憾的，數(shù)學(xué)家們至今都沒有看出，非歐幾何是沒有必要的，黎曼微分幾何的基礎(chǔ)是錯(cuò)誤的。這不是一個(gè)小錯(cuò)誤，而是一個(gè)系統(tǒng)性的錯(cuò)誤。這種錯(cuò)誤不可修補(bǔ)，非歐幾何從人類知識體系中刪除的命運(yùn)是不可避免的。至于高維彎曲空間的幾何理論，我們只能按照高斯微分幾何的方法，先建立一個(gè)更高維的平直背景空間，在這個(gè)背景空間中定義高維超曲面，然后再研究超曲面的性質(zhì)。.M.克萊因，數(shù)學(xué)：確定性的喪失，湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1997,p.62,78。.M.克萊因，西方文化中的數(shù)學(xué)，復(fù)旦大學(xué)出版社，2013,p.426。.吳開朗，數(shù)學(xué)美學(xué)，北京教育出版社，1993,p.194。.梅向明，黃敬之，微分幾何，高等教育出版社，2008,第五版，p.1