課程-常微分方程2013ode復(fù)習(xí)

期末考試模擬（2013-12-要求求解下列微分方程（每小題10分dd求二階微分方程

4dx3xtet的通解； 243xtcetce3t（其中，c,c為任意常數(shù) 5 1把它代人原方程、消去et并比較t4A2AB

7A14B1xttt2et 94xtcetce3ttt2et（其中，c,c為任意常數(shù) 10 1 1求微分方 的所有 xy解（有多種解法。顯然，y1是一個(gè)解 2dx1xy3，它是一階非齊次線性微分方程 5 y y1dy y3 1 xy

ey1dyc

y23yc10 y y1 其中c

dx 2x t dty 1y 0 求初值問題微分方程組x0

的特y0 解：矩陣 2的特征值為：2,3，相應(yīng)的特征向量為 ，2，其中,為任意不為零的常數(shù) 3 2

3t 2e3t因此，基本解矩陣可取為：t ,2e e3t，其逆為 1 2e2t t5 e3t 5 xtt1tt1sfsds，其中t0ftt，1---7 yt ee

2t1

12t1e2t3e2t6e3txt

+120

20 yt

2e-2t

6t

6t ---10

e3t45 45

45e3t5e-2t5e3t （26分）解答下列問題對(duì)于一階微分方程的初值問題：

y0=1，這里x1,y1試根據(jù)解的存在唯一性定理求解的存在區(qū)間（6分 b1，Mmaxfx,ymaxyxy26，hmina,b1 4x, x, M 因此，解的存在區(qū)間為：1,1 666 試求逐步近法中的二次近似解2x（6分解：取0x1（選取其它函數(shù)也算對(duì)，則根據(jù)逐步近法中的迭代公式：xnxy0fs,n1

2 x 1sds1x 4 x1x1s1s2s1s1s22ds1x5x31x5

65 0 x; x; x;設(shè)yx;x0,y0是方程的解試

分解（亦 本上的公式給出結(jié)果注意到：dyyxy2 yycexxex（其中c為任意常數(shù)而滿足初yx0y0的特exeexexex0x01yee 0x00x;0,1

2ex2 6x;0,1

2exxex2

x;0,1

28 2exxex 2exxex求解yx;0,1經(jīng)延拓后的存在區(qū)間（6分 解：注意到：yx;0,12exxex2ex1x 3記代數(shù)方程2ex1x0的唯一負(fù)根為1x10和唯一正根為0x21此延拓解的存在區(qū)間為x1,x2 6三．（10分）證明dxaxy已知微分方程組：

，其中a0是參數(shù)，試構(gòu)造

axy函數(shù)0,0是漸近穩(wěn)定的。證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：Vx,yax2y2 4dVx,y2axx2yya2x2y2是一個(gè)定負(fù)函數(shù) 8由Lyapunov穩(wěn)定性定理知定態(tài)0,0是漸近穩(wěn)定的 10四．（30分）綜合dxyxax2y2給定平面系統(tǒng)：

，其a為系統(tǒng)參數(shù)。 xya

y0,0是系統(tǒng)的唯一定態(tài)（6分

顯然，0,0是其解xyax2y2因此是系統(tǒng)的定態(tài) 2yxax2y2xyax2y2x1ax2y220x0y0 是系統(tǒng)的唯一定態(tài) 6試分析定態(tài)0,0的穩(wěn)定性， 相應(yīng)線性化方程定態(tài)的類型（6分解：在定態(tài)0,0J

a 值為：a1，它是一對(duì)復(fù)數(shù) 2當(dāng)a0時(shí)，定態(tài)0,0是中心，它是不穩(wěn)定 6通過引進(jìn)極坐標(biāo)證明：當(dāng)a0時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)由Hopf分叉產(chǎn)生的極限環(huán)（6分；yrrrar2 2aaa由此可知：當(dāng)0r 時(shí)，r0；當(dāng)r 時(shí)，r0；因此，r aaax2ty2ta是系統(tǒng)的極限環(huán)。 4分根據(jù)第二點(diǎn)的討論知，此極限環(huán)是經(jīng)Hopf分叉產(chǎn)生的。6試證明：當(dāng)a0時(shí)，上述極限環(huán)是穩(wěn)定的（6分

xt,yt

xt,yt

我們計(jì)算極限環(huán)的特征指標(biāo)： 3是極限環(huán)的T0是極限環(huán)的其中Pxxt,ytQyxt,yt3a，因此3a0，蘊(yùn)含著極限環(huán) 6分畫出圓及箭 4畫出圓內(nèi)、外的軌線及箭 6五．證明題（4分 2試證明：二階微分方 d 2

PxdxQx0系統(tǒng)不存在閉軌,其中 Px0Qx是任意有a,b內(nèi)的連續(xù)可微函數(shù)。x1xx2x 1