立體幾何中探索問題

.1如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，PAAB，CDAD，1BCCDAD，E為AD的中點.2P（Ⅰ）求證：PACD；（Ⅱ）求證：平面PBD平面PAB；（Ⅲ）在平．．面PAB內是否存在M，使得直線CM平面PBE，請說明理由.C BD E A1證明：（Ⅰ）因為平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，又因為PAAB，所以PA平面ABCD.則PACD.???????5分（Ⅱ）由已知，BCED，且BC＝ED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，又CDAD，BCCD，所以四邊形BCDE是正方形，P連接CE，所以BDCE，又因為BCAE,BCAE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以CEAB，則BDAB.由（Ⅰ）知PAM平面ABCD，所以PABD，B又因為PAABA，C則BD平面PAB，DEA且BD平面PBD，所以平面PBD平面PAB.???????10分（Ⅲ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M(M∈平面PAB)，點M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BCED，且BC＝ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以CDEB，即CMEB，;...又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.????????????????????????1 4分2.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形，PC平面ABCD，點E在棱PA上.（Ⅰ）求證：直線BD平面PAC；（Ⅱ）若PC//平面BDE，求證：AEEP；P（Ⅲ）是否存在點E，使得四面體ABDE的體積等于四面體PBDC的體積的1？若存在，求出PE的值；若不存在，請說明DE理由.3PACAB;...3．（本小題滿分 14分）如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為正方形， PA 底面ABCD，PA AC．過點A的平面與棱PB,PC,PD分別交于點 E,F,G（E,F,G三點均不在棱的端點處） ．（Ⅰ）求證：平面 PAB 平面PBC；（Ⅱ）若PC 平面AEFG，求PF的值；PC（Ⅲ）直線 AE是否可能與平面 PCD平行？證明你的結論．;...3．（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）因為PA平面ABCD，所以PABC．[1分]因為ABCD為正方形，所以ABBC，[2分]所以BC平面PAB．[3分]所以平面PAB平面PBC．[4分]（Ⅱ）連接AF．[5分]因為PC平面AEFG，所以PCAF．[7分]又因為PAAC，所以F是PC的中點．[8分]所以PF1．[9分]PC2（Ⅲ）AE與平面PCD不可能平行．[10分]證明如下：假設AE//平面PCD，因為AB//CD，AB平面PCD．所以AB//平面PCD．[12分]而AE，AB平面PAB，所以平面PAB//平面PCD，這顯然矛盾！[13分]所以假設不成立，即AE與平面PCD不可能平行．[14分]4．（本小題滿分14分）如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EF//CD，CDEA，CD2EF2，ED3．M為棱FC上一點，平面ADM與棱FB交于點N．（Ⅰ）求證：EDCD；（Ⅱ）求證：AD//MN；（Ⅲ）若ADED，試問平面BCF是否可能與平面ADMN垂直？若能，求出FM的值；若不能，說明理FC由．;...3．（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）因為ABCD為矩形，所以CDAD．[1分]又因為CDEA，[2分]所以CD平面EAD．[3分]所以EDCD．[4分]（Ⅱ）因為ABCD為矩形，所以AD//BC，[5分]所以AD//平面FBC．[7分]又因為平面ADMN平面FBCMN，所以AD//MN．[8分]（Ⅲ）平面ADMN與平面BCF可以垂直．證明如下：[9分]連接DF．因為ADED，ADCD，所以AD平面CDEF．[10分]所以ADDM．因為AD//MN，所以DMMN．[11分]因為平面ADMN平面BCFMN，若使平面ADMN平面BCF，則DM平面BCF，所以DMFC．[12分]在梯形CDEF中，因為EF//CD，EDCD，CD2EF2，ED3，所以DFDC2．所以若使DMFC能成立，則M為FC的中點．所以FM1．[14分]FC24．（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD//BC，BAD90，PAPD，ABPA，AD2，ABBC1．（Ⅰ）求證：ABPD；（Ⅱ）若E為PD的中點，求證：CE//平面PAB；（Ⅲ）設平面PAB平面PCDPM，點M在平面ABCD上．當PA PD時，求PM的長．;...4．（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）因為BAD90，所以ABAD，[1分]又因為ABPA，[2分]所以AB平面PAD，[3分]所以ABPD．[4分]（Ⅱ）取PA的中點F，連接BF，EF．[5分]1，因為E為棱PD中點，所以EF//AD，EFAD2又因為BC//AD，BC1AD，2所以BC//EF，BCEF．所以四邊形BCEG是平行四邊形，EC//BF．[8分]又BF平面PAB，CE平面PAB，所以CE//平面PAB．[9分]（Ⅲ）在平面 ABCD上，延長AB，CD交于點M．因為M AB，所以M 平面PAB；又M CD，所以M 平面PCD，所以平面PAB 平面PCD PM．[11分]在△ADM中，因為BC//AD，BC 1AD，2所以 AM 2AB 2．[12分]因為PA PD，所以△APD是等腰直角三角形，所以 PA 2．[13分]由（Ⅰ）得 AM 平面PAD，所以AM PA．在直角△PAM中，PM PA2 AM2 6．[14分];...6（12分）在四棱錐 A BCDE中，底面BCDE為菱形，側面ABE為等邊三角形，且側面ABE 底面BCDE，O,F分別為BE,DE的中點． A（Ⅰ）求證： AO CD；（Ⅱ）求證：平面AOF平面ACE；EFD（Ⅲ）側棱AC上是否存在點P，使得BP//平面AOF?APO若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．BCPC6.解：（Ⅰ）因為 ABE為等邊三角形，O為BE的中點，所以AO BE．又因為平面 ABE 平面BCDE，平面ABE 平面BCDE BE，AO 平面ABE，所以AO 平面BCDE．又因為CD 平面BCDE，所以AO CD．??????????????????????3分（Ⅱ）連結 BD，因為四邊形 BCDE為菱形，所以CE BD．因為O,F分別為BE,DE的中點，所以OF//BD，所以CE OF．由（Ⅰ）可知， AO 平面BCDE．因為CE 平面BCDE，所以AO CE.因為AO OF O，所以CE 平面AOF．又因為CE 平面ACE，;...所以平面AOF 平面ACE．???????????????????7分（Ⅲ）當點P為AC上的三等分點（靠近 A點）時，BP//平面AOF．證明如下：A設CE與BD,OF的交點分別為 M,N，連結AN,PM．P因為四邊形 BCDE為菱形，O,F分別為BE,DE的中點，所以NM1EFD．ONMC2BM設P為AC上靠近A點的三等分點，C則APNM1，所以PM//AN．PCMC2因為AN平面AOF，PM平面AOF，所以PM//平面AOF．由于BD//OF，OF平面AOF，BD平面AOF，所以BD//平面AOF，即BM//平面AOF．因為BMPMM，所以平面BMP//平面AOF．因為BP平面BMP，所以BP//平面AOF.可見側棱AC上存在點P，使得BP//平面AOF，且AP1．??????12分PC27如圖，在多面體ABCDEF中，側面ABFE底面ABCD,底面ABCD為矩形，四邊形ABFE為梯形，AB//EF,EAAB,AB3EF,AEEBG為線段CD上的一點，若AFFG.EF,GE（1）求DG的值；GC（）若ADAE，點A到平面CDE的距離為G2;...8．（本小題滿分 12分）如圖，直角三角形 ABC中，A＝60°，沿斜邊AC上的高BD，將△ABD折起到△PBD的位置，點E在線段CD上．1）求證：PE⊥BD；2）過點D作DM⊥BC交BC于點M，點N為PB中點，若 PE∥平面DMN，求DE的值．DC8.解析：（1）因為BD是AC邊上的高，所以BDCD,BDPD，又PDCDD，∴BD平面PCD.∵PE平面PCD，所以PEBD.?????????6分（2）連接BE，交DM與點F，PE//平面DMN，且PE平面PEB，平面PEB平面DMNNF，∴PE//NF,∴DF1BEEF，又BCD900600300，∴DEF是等邊三角形2DE1設DEa，則BD3a，DC3BD3a，∴DC.??????12分39． 如圖，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，側面 ACC1A1與側面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2 3．（1）求證：ABl⊥CCl；（2）若AB1＝3 2，D1為線段A1C1上的點，且三 棱錐 C—B1C1D1;...的體積為 3，求A1D1 的值．C1D110如圖（1），已知平行四邊形 ACDP中，AD⊥AP，AD＝AP，延長PA至B，使得1AB＝ AP＝1，連接BC?，F(xiàn)沿AD進行4翻折，使得平面 ABCD⊥平面ADP，連接PB、PC，得到如圖（2）所示的空間圖形，點Q在線段PC上，且CQ＝m．PQ（1）若BQ∥平面ADP，求m的值；（2）在（1）的條件下，求點Q到平面ABP的距離．;...11.(本小題滿分12分）如圖，四棱錐P ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側面 PAD是邊長為2的正三角形，ABBD5,PB7.（Ⅰ）求證：平面PAD平面ABCD；（Ⅱ）設Q是棱PC上的點，當PA//平面BDQ時，求QB與面ABCD成角的正弦值。解答：（1）取AD中點O，連結OP,OB，因為PAD是邊長為2的正三角形，所以OPAD,OP3，ABBD5OBAD,OB2，OB2OP2PB2OPOBOPABCDOPPAD平面PAD平面ABCD（2）3311;...12已知等腰梯形(圖1),AB//EC,ABBC14,0,D是EC,ADE2沿AD折起,構成四棱錐PABCD(圖2),M,N分別是BC,PC的中點.1）求證:AD平面DMN;（2）當平面PAD平面ABCD時,求點C到平面PAB的距離.PEDCNDCABMA圖1圖2B證明：取AD的中點O,連接PO,OB,BD.PAD, ABD都是等邊三角形 , PO AD,BO AD,PO BO O, AD 平面POB.M,N分別為BC,PC的中點, MN//PB,AD//BC OD//BM, 四邊形OBMD是平行四邊形 . DM//OBMN DM M, 平面DMN//平面POB AD 平面DMN設點C到平面PAB的距離為h平面PAD 平面ABCD,PO AD PO 平面ABCDVCPABVPABC,PO23,SABC43,SPAB215SABCPO=415.hSPAB513（1）證明：