工程隨機(jī)數(shù)學(xué)-隨機(jī)變量的數(shù)字特征

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關(guān)鍵詞：

數(shù)學(xué)期望 方差 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征2問題的提出： 在一些實(shí)際問題中，我們需要了解隨機(jī)變量的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征。例：在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的 是平均產(chǎn)量；在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的 平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的 偏離程度；

考察武漢市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異 程度；3§1數(shù)學(xué)期望

例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績 如下：

評定他們的成績好壞。甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)2065158910

解：計(jì)算甲的平均成績：

計(jì)算乙的平均成績：

所以甲的成績好于乙的成績。4定義：定義：數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。5

例2：有2個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命 服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這2個(gè)電子裝置串聯(lián)聯(lián)接 組成整機(jī)，求整機(jī)壽命N(以小時(shí)計(jì))的數(shù)學(xué)期望。解：

是指數(shù)分布的密度函數(shù)問題：將2個(gè)電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)， 整機(jī)的平均壽命又該如何計(jì)算？只要求出一般指數(shù)分布的期望（即E(X1))，就可得到E(N).6

例3：設(shè)有10個(gè)同種電子元件，其中2個(gè)廢品。裝配儀器時(shí)，從這10個(gè)中任取1個(gè)，若是廢品，扔掉后重取

1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。解：X的分布律為：7

例4：設(shè)一臺(tái)機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停工。若一周5個(gè)工作日里無故障，可獲利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生2次故障獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少？ 解：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)，設(shè)Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則8

例5：9例6：10

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例7：已知某零件的橫截面是個(gè)圓，對橫截面的直徑X進(jìn)行測量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截面面積S的數(shù)學(xué)期望。13

例8：14

例9：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：

X=115

16數(shù)學(xué)期望的特性：

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量線性組合的情況17證明：下面僅對連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明：18

例11：一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場出發(fā)，旅客有10 個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就 不停車，以X表示停車的次數(shù)，求

(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅 客是否下車相互獨(dú)立)本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。

解：引入隨機(jī)變量： 19

例12：20§2方差設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時(shí)，另一半約1050小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；另一批燈泡壽命為：一半約1300小時(shí)，另一半約700小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；問題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？

單從平均壽命這一指標(biāo)無法判斷，進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時(shí)的偏離程度。

方差─正是體現(xiàn)這種意義的數(shù)學(xué)特征。21定義：22對于離散型隨機(jī)變量X，對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差得計(jì)算公式：23

例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望24

例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為： 解：25

例3：解：

26

例4：解：X的概率密度為：27

例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度 為：即對指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù)θ28方差的性質(zhì)：

29證明：30

例6：Xkpk011-pp

例7：解：33例8：設(shè)活塞的直徑(以cm計(jì)) 汽缸的直徑 X,Y相互獨(dú) 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。34表1幾種常見分布的均值與方差數(shù)學(xué)期望方差

分布率或密度函數(shù)

分布0－1分布

pp(1-p)二項(xiàng)分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布

均勻分布U(a,b)指數(shù)分布正態(tài)分布35§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

對于二維隨機(jī)變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。定義：

36協(xié)方差的性質(zhì)：思考題：37

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：續(xù)383940

例1：設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為：

X-101

P1/41/21/4

已知P(????X?=|?Y|?)=0,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否不獨(dú)立？4142

續(xù)43續(xù)4445

例3：設(shè)X,Y相互獨(dú)立服從同一分布，記U=X-Y,V=X+Y,則隨機(jī)變量U與V是否一定不相關(guān)，是否一定獨(dú)立？46§4矩、協(xié)方差矩陣

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利用協(xié)方差矩陣，可由二維正態(tài)變量的概率密度推廣，得到n維正態(tài)變量的概率密度。50n維正態(tài)變量具有以下四條重要性質(zhì)：51復(fù)習(xí)思考題41.敘述E(X)和D(X)的定義。524.試述計(jì)算隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望E[g(X)]的兩種方法。5.設(shè)X～N(μ,σ2),用如下兩種方法求E(X2)：

(1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2；

(2)E(X2)=E(X.X)=E(X).E(X)=μ2；兩種結(jié)果不一樣，哪一種錯(cuò)？為什么？6.設(shè)X和Y為兩隨機(jī)變量，且已知D(X)=6,D(Y)=7,

則D(X－Y)=D(X)－D(Y)=6－7=－1<0,這與任意一個(gè)隨機(jī)變量的方差都不小于零相矛盾，為什么？537.考慮100包水泥的總重量Y用以下兩種方式表示：

(1)設(shè)第i袋水泥的重量為Xi,i=1,2,…,100,由題意知,

Xi～N(50,2.52),Y=∑Xi,

則Y～N(100*50,100*2.52)；

(2)設(shè)一包水泥的重量為X,由題意知X～N(50,2.52)。 若將100包水泥的總重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的線性函數(shù)，則：

E(Y)=100E(X)=100*50,