吉林省吉林市2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題

吉林市普通高中2021—2022學年度高一上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題本試卷共22小題，共150分，共6頁，考試時間120分鐘，考試結(jié)束后，將答題卡和試題卷一并交回．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼、姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上．2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標號；非選擇題答案必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請按照題號在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．4．作圖可先用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、單項選擇題：本大題共8題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合A,B,接著求出，根據(jù)集合的交集運算求得答案.【詳解】，，故故，故選：D2.命題“R，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定方法即可解答.【詳解】命題的否定是“”.故選：C.3.若為第三象限角，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角所在象限，可判斷其三角函數(shù)值的正負，即可得答案.【詳解】為第三象限角，則，，，，由此可得：A，B，D錯誤，C正確，故選：C.4.下列函數(shù)中與是同一個函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)相等的定義是：定義域相同且對應(yīng)關(guān)系相同，逐個分析可得答案.【詳解】對于A，的定義域為，與的定義域為不同，故A不正確；對于B，與是同一函數(shù)，故B正確；對于C，與的對應(yīng)關(guān)系不同，故C不正確；對于D，與的定義域不同，故D不正確.故選：B5.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】因，所以，故選：D6.若，則（）A B. C.3 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進行計算.【詳解】解：由題意得：故選：A7.已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間，上單調(diào)遞增，若，則不等式等價為，即，即，故不等式的解集為：.故選：B．8.屏風文化在我國源遠流長，可追溯到漢代.某屏風工藝廠設(shè)計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為，內(nèi)環(huán)弧長為，徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為，若不計外框，則扇環(huán)內(nèi)需要進行工藝制作的面積的估計值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，內(nèi)環(huán)半徑為，外環(huán)半徑為，根據(jù)題設(shè)可得和，從而可求扇環(huán)的面積.【詳解】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，內(nèi)環(huán)半徑為，外環(huán)半徑為，則，由題意可知，，，所以，所以扇環(huán)內(nèi)需要進行工藝制作的面積的估計值為.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為符號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】分別由不等式的同加同乘性質(zhì)可得，注意選項B中為0的情況.【詳解】選項A：，在不等式兩邊同除以得，A正確；選項B：當時，，B錯誤；選項C：同向不等式相加，不等號方向不變，C正確；選項D：，，兩邊同除以得，，D正確.故選：ACD.10.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義判斷和基本函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】A.的定義域為R，因為，所以是奇函數(shù)，因為是增函數(shù)，所以是減函數(shù)；B.的定義域為R，因為，所以是奇函數(shù)，因為是增函數(shù)，則是減函數(shù)，所以是減函數(shù)；C.定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)；D.的定義域為，因為，所以是奇函數(shù)，在定義域上不單調(diào).故選：AB11.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依題意可得、兩個數(shù)一個大于，一個大于且小于，再分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：令，解得、，根據(jù)二次函數(shù)圖形可知，、兩個數(shù)一個大于，一個大于且小于，①當，時，則在定義域上單調(diào)遞增，且，即，所以滿足條件的函數(shù)圖形為C；②當，時，則在定義域上單調(diào)遞減，且，所以滿足條件的函數(shù)圖形為A；故選：AC12.已知函數(shù)，下列結(jié)論中不正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為且圖象關(guān)于對稱B.函數(shù)的對稱中心是C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象可以由的圖象向右平移個單位得到【答案】BC【解析】【分析】首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．【詳解】函數(shù)，∴函數(shù)的最小正周期為，故A正確；令，即，函數(shù)的對稱中心是，故B錯誤；時，，顯然在其上不單調(diào)，故C錯誤；的圖象向右平移個單位得到，故D正確.故選：BC三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．其中第16題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．13.已知，，若，則的最小值為____________．【答案】8【解析】【分析】由基本不等式求得最小值．【詳解】因為，，，所以，當且僅當即時等號成立，故答案為：8.14.已知冪函數(shù)的圖象過點，則______．【答案】3【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法代入點的坐標，求出冪函數(shù)的解析式，再求的值.【詳解】設(shè)，由于圖象過點,得，，，故答案為3.【點睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，以及根據(jù)解析式求函數(shù)值，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知，均銳角，若，則值為____________．【答案】【解析】【分析】由兩角和的余弦公式求得的值，再由特殊角的三角函數(shù)值得結(jié)果．【詳解】由已知，又，均為銳角，所以，所以．故答案為：．16.已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，，，，則____________；若關(guān)于的方程有個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是____________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性，即可求解的值，再令令，根據(jù)有8個不等的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為在有2個不同的實數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，根函數(shù)的圖象變換，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，在坐標系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示，函數(shù)有4個零點，，，，可得，所以；令，則方程可化為，因為有8個不等的實數(shù)根，則方程必有4個實數(shù)根，所以，所以在有2個不同的實數(shù)根，令，可得其對稱軸的方程為，則滿足?54=所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當時，求，；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合B，進而求出交集和并集；（2）根據(jù)是的充分不必要條件得到A是B的真子集，進而得到不等式組，求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】．當時，所以，；【小問2詳解】是的充分不必要條件∴A是B的真子集，故即所以實數(shù)m的取值范圍是.18.已知函數(shù)（1）化簡函數(shù)，并求；（2）在以原點為圓心的單位圓中，已知角終邊與單位圓的交點為，求的值．【答案】（1），；（2）－1.【解析】【分析】(1)根據(jù)誘導公式化簡即可，化簡后將x＝代入計算；(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tanα，再利用正切的差角公式即可計算.【小問1詳解】，；【小問2詳解】角終邊與單位圓的交點為，，，.19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，求得，，得到，將點，代入，結(jié)合，求得，即可求得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.小問1詳解】解：由函數(shù)圖象，可得，，所以，因為，可得，所以，又因為圖象過點，可得，所以，解得，又由，所以，所以的解折式為.【小問2詳解】解：將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得到令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.20.已知函數(shù)且，且．（1）求值及函數(shù)的定義域；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）2，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)代入即可求出參數(shù)的值，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零得到不等式，解得即可；（2）依題意函數(shù)與在區(qū)間上有公共點，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出在上的值域，即可求出參數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】解：因為且，且，所以，所以，令，解得，所以的定義域為【小問2詳解】解：方程在區(qū)間上有解，所以函數(shù)與在區(qū)間上有公共點，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，取最小值0，當時，取最大值2，所以函數(shù)的值域為，所以實數(shù)m的取值范圍為時，函數(shù)與在區(qū)間上有公共點，綜上：實數(shù)m的取值范圍為21.當前新冠肺炎疫情防控形勢依然嚴峻，要求每個公民對疫情防控都不能放松．科學使用防護用品是減少公眾交叉感染、有效降低傳播風險、防止疫情擴散蔓延、確保群眾身體健康的有效途徑．某疫情防護用品生產(chǎn)廠家年投入固定成本萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本（萬元）．當年產(chǎn)量不足萬件時，；當年產(chǎn)量不小于萬件時，．通過市場分析，若每萬件售價為400萬元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的防護用品能全部售完．(利潤=銷售收入－總成本)（1）求出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的解析式；（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠在這一防護用品生產(chǎn)中所獲利潤最大？并求出利潤的最大值．【答案】（1）Lx（2）當年產(chǎn)量為90萬件時，該廠在這一防護商品生產(chǎn)中所獲利潤最大為1050萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意直接利用利潤=銷售收入－總成本，寫出分段函數(shù)的解析式即可；（2）利用二次函數(shù)及其基本不等式分別求出各段的最大值，再取兩個最大的即可.【小問1詳解】當且時，，當且時，綜上：L【小問2詳解】當且時，∴當時，取最大值（萬元）當且時，當且僅當，即時等號成立．∴當時，取最大值（萬元）∵，綜上所述，當年產(chǎn)量為90萬件時，該廠在這一防護商品生產(chǎn)中所獲利潤最大為1050萬元.22.已知實數(shù)，函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知且，若對于，，使得恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）