彈簧振子作簡諧振動的動力學(xué)方程課件

§9.1簡諧振動的動力學(xué)特征

一.基本概念

1.

平衡位置

質(zhì)點(diǎn)在某位置所受的力（或沿運(yùn)動方向受的力）等于零，該位置即為平衡位置。

2.

線性回復(fù)力

若作用于質(zhì)點(diǎn)的力與質(zhì)點(diǎn)相對于平衡位置的位移（線位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，則此作用力稱作線性回復(fù)力。

公式：是相對于平衡位置的位移。

3.

簡諧振動

質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動。力學(xué)新鄉(xiāng)學(xué)院物理系1§9.1簡諧振動的動力學(xué)特征一.基本概念1.

二、簡諧振動的幾個例子1.

彈簧振子

如圖示：彈簧自由伸展時，滑塊的位置為原點(diǎn)（即平衡位置），x表示位移：由牛頓第二定律：令，可得到如下二階常系數(shù)齊次線性方程：（1）2二、簡諧振動的幾個例子1.

彈簧振子如圖示：彈簧總結(jié)：如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的動力學(xué)方程可歸結(jié)為：的形式，且其中決定于振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)。⑴式的形式就是簡諧振動的動力學(xué)方程式。（1）彈簧振子作簡諧振動的動力學(xué)方程。3總結(jié)：如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的動力學(xué)方程可歸結(jié)為：的形式2.單擺

建立自然坐標(biāo)系：若很小，則近似：,則：因此，（2）上式即為單擺簡諧振動的動力學(xué)方程42.單擺建立自然坐標(biāo)系：若很小，則近似：3.

復(fù)擺（物理擺）

任何物體懸掛后所做的擺動叫復(fù)擺。如圖示：一剛體懸掛于O點(diǎn)，剛體的質(zhì)心C距剛體的懸掛點(diǎn)O之間的距離是a。選角增加的方向?yàn)檎较?，即：z軸垂直紙面向外，，很小時：，故：因此，53.

復(fù)擺（物理擺）任何物體懸掛后所做的擺動叫復(fù)擺。4.

L-C振蕩回路（詳見《電磁學(xué)》）

總結(jié)：任何物理量（例：長度，角度，電量等）的變化規(guī)律滿足方程⑴式，且常量決定于系統(tǒng)本身的性質(zhì)，則該物理量作簡諧振動。判斷：是否簡諧振動，看是否滿足簡諧振動的動力學(xué)方程式⑴。64.

L-C振蕩回路（詳見《電磁學(xué)》）總結(jié)：§9.2簡諧振動的運(yùn)動學(xué)

一、簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程方程的解為：（1）

上式就是簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程，該式又是周期函數(shù)，故簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動。7§9.2簡諧振動的運(yùn)動學(xué)一、簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程方程二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用的時間：對彈簧振子：2.

頻率（）單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)：的含義：個單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)，即圓頻率。8二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用3.振幅定義：物體離開平衡位置的最大位移。振幅可以由初始條件決定。如：t=0時刻，由⑴式可得：因此，（2）93.振幅定義：物體離開平衡位置的最大位移。振幅可以由4.

位相和初位相振動系統(tǒng)的狀態(tài)指：任意瞬時的位移和速度。但僅知振幅頻率還不夠，還須知道才能完全決定系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)。叫簡諧振動的相位。當(dāng) 時，叫初相位。由：可得：（3）104.

位相和初位相振動系統(tǒng)的狀態(tài)指：任意瞬時的位移和速度若已知初始條件：t=0時，，則⑶式有：⑷、⑸式中的任意二個即可確定初位相。（4）（5）11若已知初始條件：t=0時，，則相位差：兩振動相位之差。討論：（1）若是的整數(shù)倍，則振動同相位；（2）若是的奇數(shù)倍，則振動相位相反；（3）若，則稱超前；（4）若，則稱落后；相位差的不同，表明二振動有不同程度的參差錯落，振動步調(diào)不同。12相位差：兩振動相位之差。討論：（1）若例1

一彈簧振子，t＝0時，求振動的初位相。解：因此，在第一象限，13例1一彈簧振子，t＝0時，求振動的初位相例2討論振動的位移，速度和加速度之間的關(guān)系。解：設(shè)：則，所以：速度的位相比位移的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比位移的位相超前。理解：加速度對時間的積累才獲得速度，速度對時間的積累獲得位移。14例2討論振動的位移，速度和加速度之間的關(guān)系。解：設(shè)：則，總結(jié)：

⑴簡諧振動是周期性運(yùn)動；⑵簡諧振動各瞬時的運(yùn)動狀態(tài)由振幅A、頻率及初相位決定，或者說，由振幅和相位決定。⑶簡諧振動的頻率是由振動系統(tǒng)本身固有性質(zhì)決定的，而振幅和初相位不僅決定于系統(tǒng)本身性質(zhì)，而且取決于初始條件。三、簡諧振動的圖象：x-t圖線

描述：質(zhì)點(diǎn)在各個時刻的偏離平衡位置的位移。中學(xué)里經(jīng)常作正弦、余弦函數(shù)的圖象，故不再多講。15總結(jié)：⑴簡諧振動是周期性運(yùn)動；⑵簡諧振動各瞬時的運(yùn)動四、簡諧振動的矢量表示法用旋轉(zhuǎn)矢量的投影表示簡諧振動。如圖示：為一長度不變的矢量，的始點(diǎn)在坐標(biāo)軸的原點(diǎn)處，記時起點(diǎn)t=0時，矢量與坐標(biāo)軸的夾角為，矢量以角速度逆時針勻速轉(zhuǎn)動。16四、簡諧振動的矢量表示法用旋轉(zhuǎn)矢量的投影表示簡諧振動。由此可見：⑴勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影即表示一特定的簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程。⑵矢端的速度大小為，在x軸上的投影為：⑶矢端沿圓周運(yùn)動的加速度即向心加速度的大小為：，在x軸上的投影：17由此可見：⑴勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影即表示一特定的總結(jié)：

旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)沿圓周運(yùn)動的速度和加速度在坐標(biāo)軸上的投影等于特定的簡諧振動的位移、速度和加速度。因此，用旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影描述簡諧振動的方法叫簡諧振動的矢量表示法。18總結(jié)：旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)沿圓周運(yùn)動的速度和加速

例1（1）一簡諧振動的運(yùn)動規(guī)律為，若計時起點(diǎn)提前0.5s，其運(yùn)動學(xué)方程如何表示？欲使其初相為零，計時起點(diǎn)應(yīng)提前或推遲若干？（2）一簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程為，若計時起點(diǎn)推遲1s，它的初相是多少？欲使其初相為零，應(yīng)怎樣調(diào)整計時起點(diǎn)？（3）畫出上面兩中簡諧振動在計時起點(diǎn)改變前后t=0時的旋轉(zhuǎn)矢量的位置。19例1（1）一簡諧振動的運(yùn)動規(guī)律為，202021212222§9.3簡諧振動的能量轉(zhuǎn)換

簡諧振動系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒由彈簧振子系統(tǒng)：因此，故，彈簧振子的總能為：由此可見：動能和勢能互相轉(zhuǎn)化。23§9.3簡諧振動的能量轉(zhuǎn)換簡諧振動系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒由彈例若單擺的振幅為，試證明懸線所受的最大拉力等于24例若單擺的振幅為，試證明懸線所受的最大拉力等于242525§9.4簡諧振動的合成

一、同方向同頻率簡諧振動的合成設(shè)質(zhì)點(diǎn)參與同方向同頻率的兩個簡諧振動：合位移：令：26§9.4簡諧振動的合成一、同方向同頻率簡諧振動的合成設(shè)質(zhì)則：因此，（1）⑴式表明：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成后仍為一簡諧振動，其頻率和分振動頻率相同。或者：由簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法表示：、以頻率旋轉(zhuǎn)，、之間的夾角不變，也以旋轉(zhuǎn)，平行四邊形的形狀不變。

27則：因此，（1）⑴式表明：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成討論：

（1）若相位差，即同相位，則：，振幅最大；（2）若相位差，即反相位，則：，振幅最?。唬?）一般情況下，振幅A介于與之間。同方向同頻率簡諧振動的原理，在光波、聲波等的干涉和衍射中很有用。28討論：（1）若相位差，即同相位，則二、同方向不同頻率簡諧振動的合成若：兩振動的周期之比：，n，m有最小公倍數(shù)，則：二振動合成后仍有周期，但不是簡諧振動，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知。若：周期之比不是整數(shù)比（如：無理數(shù)之比)，則合振動沒有周期性。為了簡單方便，設(shè)：則：（2）29二、同方向不同頻率簡諧振動的合成若：兩振動的周期之比：假如：則：的周期遠(yuǎn)大于的周期。令：則⑵式就成為：（3）30假如：則：的周期遠(yuǎn)大于的周期。令：（3）⑶式可以看作：振幅按照緩慢變化的，而圓頻率等于的準(zhǔn)簡諧振動。即：振幅有周期變化的簡諧振動。平均圓頻率

令：調(diào)制圓頻率

⑶式就成為：（3）’31（3）⑶式可以看作：振幅按照緩慢變化的，而圓頻率等（3）（3）式即：合振動為圓頻率等于平均圓頻率的“簡諧振動”，其振幅作緩慢的周期變化。

拍：振動方向相同，頻率之和遠(yuǎn)大于頻率之差的兩個簡諧振動合成時，合振動振幅周期變化的現(xiàn)象叫拍。合振動變化一個周期叫一拍；單位時間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)叫拍頻。不論達(dá)到正的最大或負(fù)的最大，對加強(qiáng)振幅來說，都是等效的，因此拍的圓頻率為：32（3）（3）式即：合振動為圓頻率等于平均圓頻率的“簡諧振因此，拍頻為：

問題：若二分振動的振幅不同，但初位相仍都為零，則合振動仍會形成拍嗎？？注意！拍（合振動振幅周期變化的現(xiàn)象）形成的條件：

振動方向相同，頻率之和遠(yuǎn)大于頻率之差的兩個簡諧振動合成，都可形成拍！33因此，拍頻為：問題：若二分振動的振幅不同，但初位相仍三、互相垂直相同頻率簡諧振動的合成二分振動方程如下：（4）合成的振動表示：質(zhì)點(diǎn)既沿x軸運(yùn)動，又沿y軸運(yùn)動，實(shí)際上在平面上運(yùn)動。⑷式中消去時間t，得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡：（5）此為一橢圓的軌跡方程，橢圓的形狀大小及長短軸方位由振幅和以及初位相差所決定。34三、互相垂直相同頻率簡諧振動的合成二分振動方程如下：討論：1.分振動相位相同或相反時①

相位相同，即：或。則⑸式成為：（6）35討論：1.分振動相位相同或相反時①

相位相同，即：則⑹式即為：合振動的軌跡為過原點(diǎn)且在一、三象限的直線。合振動任意一點(diǎn)的位移r為：上式表明合振動也是簡諧振動，與分振動頻率相同，但振幅為②相位相反，即：，k為奇數(shù)（7）則⑸式成為：36則⑹式即為：合振動的軌跡為過原點(diǎn)且在一、三象限的直線。合則⑺式即為：合振動的軌跡為過原點(diǎn)，且在二、四象限的直線。合振動任一點(diǎn)的位移為：上式表明：合振動也是簡諧振動，與分振動頻率相同。37則⑺式即為：合振動的軌跡為過原點(diǎn)，且在二、四象限的直線。2.

相位差為時，則⑻式表明：合振動的軌跡為以x和y軸為軸的橢圓。若，即x方向的振動比y方向的振動超前，即：⑸式變?yōu)椋海?）如某一瞬間，，則：。經(jīng)過很短的時間后，略大于0，y將略小于為正，而大于，x為負(fù)，故質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到第二象限，即質(zhì)點(diǎn)沿橢圓逆時針方向運(yùn)動。382.

相位差為時，則⑻式3.

振幅相等，頻率相同，相位差為時合振動的軌跡為一圓周運(yùn)動：總之：兩振動方向垂直、頻率相同的簡諧振動，合振動的軌跡為直線、圓或橢圓，軌跡的形狀和運(yùn)動方向由分振動的振幅和相位差決定。393.

振幅相等，頻率相同，相位差為時合振動的四、互相垂直、不同頻率簡諧振動的合成利薩如圖形一般來說，互相垂直的分振動頻率不同的條件下，合振動的軌跡不能形成穩(wěn)定的圖案。但如果分振動的頻率成整數(shù)比，則合振動的軌跡為穩(wěn)定的曲線，曲線的花樣和分振動的頻率比、初位相有關(guān)，得出的圖形叫利薩如圖。

利薩如圖形的應(yīng)用：利用利薩如圖形的花樣判斷二分振動的頻率比，再由已知頻率測量未知頻率。40四、互相垂直、不同頻率簡諧振動的合成利薩如圖形一般來說不同頻率比例的利薩如圖形1:11:11:24:34:38:69:78:6(方波)7:4利薩如圖形的演示及繪制41不同頻率比例的利薩如圖形1:11:11:2

例

彈簧下面懸掛物體，不計彈簧質(zhì)量和阻力，證明在平衡位置附近的振動是簡諧振動。

解：以彈簧和物塊靜止時的位置為原點(diǎn)O，此時彈簧的伸長長度為，設(shè)物塊處于任一位置x時：42例彈簧下面懸掛物體，不計彈簧質(zhì)量和阻力，證明在平衡位置§9.6阻尼振動

振動系統(tǒng)因受阻力而作振幅減小的運(yùn)動叫阻尼振動。一、阻尼振動的動力學(xué)方程假設(shè)：振動速度較小時，摩擦力正比于質(zhì)點(diǎn)的速率。即：對物塊應(yīng)用牛頓第二定律：令：則：（1）為二階線性常系數(shù)齊次方程，即阻尼振動的動力學(xué)方程。43§9.6阻尼振動振動系統(tǒng)因受阻力而作振幅減小的運(yùn)動叫阻尼二、阻尼振動方程的解上述⑴式方程的特征根：即：（說明振動變慢，由于阻力作用）解為：（2）

1.欠阻尼時44二、阻尼振動方程的解上述⑴式方程的特征根：即：（說明振幅為隨時間的推移，呈指數(shù)遞減，越大，振動衰減越快；越小，振幅衰減越慢。表示阻尼大小的標(biāo)志，稱對數(shù)減縮，即經(jīng)過一個周期后，振幅的衰減系數(shù)。定義：45振幅為隨時間的推移，呈指數(shù)遞減，越大，振動2.

過阻尼狀態(tài)即：，則方程的解為：（3）其中：由初始條件決定。隨時間的推移，質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)單調(diào)地趨于零。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動是非周期的，甚至不是往復(fù)的。將質(zhì)點(diǎn)移開平衡位置后釋放，質(zhì)點(diǎn)便慢慢回到平衡位置停下來，即過阻尼狀態(tài)。462.

過阻尼狀態(tài)即：，則方程的解為：（3）其中：3.

臨界阻尼狀態(tài)

即：，則方程的解為：（4）其中：由初始條件決定。應(yīng)用：例如：天平的指針最好處于臨界阻尼狀態(tài)。（理想）電流表、電壓表的指針最好處于臨界阻尼狀態(tài)，有時處于欠阻尼狀態(tài)。此種狀態(tài)，質(zhì)點(diǎn)仍不往復(fù)運(yùn)動。由于阻力較前者小，質(zhì)點(diǎn)移開平衡位置釋放后，質(zhì)點(diǎn)很快回到平衡位置并停下來。如圖示。473.

臨界阻尼狀態(tài)即：，則方程的解為：（4）其中：某阻尼振動的振幅經(jīng)過一周期后減為原來的1/3，問震動頻率比震動系統(tǒng)的固有頻率少幾分之幾？（弱阻尼狀態(tài)）例題48某阻尼振動的振幅經(jīng)過一周期后減為原來的1/3，問震動頻§9.7受迫振動振動系統(tǒng)在連續(xù)的周期性外力作用下進(jìn)行的振動叫受迫振動。一、受迫振動的動力學(xué)方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到：彈性力，阻尼力，周期性外力（驅(qū)動力）。由牛二定律得：令：則上式變?yōu)椋海?）⑴式就是受迫振動的動力學(xué)方程形式，是一個二階常系數(shù)線性非齊次微分方程。49§9.7受迫振動振動系統(tǒng)在連續(xù)的周期性外力作用下進(jìn)行的振二、受迫振動動力學(xué)方程的解1.方程的通解（齊次方程的解）設(shè)：，欠阻尼狀態(tài)，則受迫振動動力學(xué)方程的通解為：其中：，和由初始條件決定。2.特解（非齊次方程）其中：、待定，代入方程來確定；而、是由初始條件來確定的參數(shù)。50二、受迫振動動力學(xué)方程的解1.方程的通解（齊次方程的解）設(shè)3.非齊次方程的通解：（2）下面來確定和：代入非齊次方程中得：利用和差化積公式得：513.非齊次方程的通解：（2）下面來確定和：代入非齊所以，（3）52所以，（3）52討論：

受迫振動方程的解（2）式：（2）式由二項(xiàng)之和組成。第一項(xiàng)表示阻尼振動隨著時間的增加而趨于零；第二項(xiàng)是簡諧振動，振幅為，頻率為。隨著時間的增加，第一項(xiàng)的阻尼振動可忽略不計，質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行由第二項(xiàng)所決定的與驅(qū)動力同頻率的振動，不是簡諧振動。（因?yàn)椴皇窍到y(tǒng)固有的頻率，而是策動力的頻率）（2）另外，用矢量圖法也可求得和的大?。?矢量超前矢量由圖可知：，且有：53討論：受迫振動方程的解（2）式：（2）式由二項(xiàng)之和組成54544.穩(wěn)態(tài)解的位相由上圖可知：討論：①策動力頻率時：即：穩(wěn)定狀態(tài)振動的位移與驅(qū)動力的相位差為零，二者同步。②時，在第四象限，即：位移的相位落后于驅(qū)動力的相位。554.穩(wěn)態(tài)解的位相由上圖可知：討論：①策動力頻率關(guān)于受迫振動位移與驅(qū)動力的相位差和驅(qū)動力頻率的關(guān)系如圖所示。④時，在第三象限。③時，即：位移的相位落后于驅(qū)動力的相位。⑤時，，即：位移的相位落后于驅(qū)動力的相位，即二者相位相反。56關(guān)于受迫振動位移與驅(qū)動力的相位差和驅(qū)動力頻率的關(guān)系如圖所示。三、位移共振由⑶式可知：受迫振動振幅隨驅(qū)動力頻率變化情況：對于一定振動系統(tǒng)，在阻尼一定的條件下，最初，振幅隨驅(qū)動力頻率的增加而增加，達(dá)到最大后，又隨驅(qū)動力頻率的增加而減小，最后，驅(qū)動力達(dá)到很高頻率而質(zhì)點(diǎn)幾乎不動。位移共振：振動系統(tǒng)受迫振動時，振幅達(dá)極大值的現(xiàn)象叫位移共振。（3）利用微分法關(guān)于極大值的判據(jù)：⑶式中對求一階導(dǎo)數(shù)等于0，二階導(dǎo)數(shù)小于0，則該點(diǎn)就是振幅的極大處。位移共振條件：驅(qū)動力的圓頻率為（4）57三、位移共振由⑶式可知：受迫振動振幅隨驅(qū)動力頻率變化情由此可知：位移共振頻率不等于系統(tǒng)的固有頻率，僅當(dāng)阻尼無限小時，共振頻率無限接近于固有頻率。當(dāng)時，產(chǎn)生極激烈的位移共振。共振時，位移與驅(qū)動力的相位差為：（5）所以，當(dāng)時，58由此可知：位移共振頻率不等于系統(tǒng)的固有頻率，僅當(dāng)阻四、受迫振動的能量轉(zhuǎn)換由于彈簧彈性力是保守力，動能和勢能互相轉(zhuǎn)化，不影響總機(jī)械能。如果阻力做負(fù)功，機(jī)械能損失。那么驅(qū)動力做功如何呢？下面我們來分析：所以，穩(wěn)定態(tài)振動時位移為：當(dāng)與同相位時，做功恒為正，不同相位時，做功時正時負(fù)，機(jī)械能增加，位移越大。（阻尼較小時）當(dāng)相位相同時，即：，此時振幅最大。59四、受迫振動的能量轉(zhuǎn)換由于彈簧彈性力是保守力，動能和勢§9.1簡諧振動的動力學(xué)特征

一.基本概念

1.

平衡位置

質(zhì)點(diǎn)在某位置所受的力（或沿運(yùn)動方向受的力）等于零，該位置即為平衡位置。

2.

線性回復(fù)力

若作用于質(zhì)點(diǎn)的力與質(zhì)點(diǎn)相對于平衡位置的位移（線位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，則此作用力稱作線性回復(fù)力。

公式：是相對于平衡位置的位移。

3.

簡諧振動

質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動。力學(xué)新鄉(xiāng)學(xué)院物理系60§9.1簡諧振動的動力學(xué)特征一.基本概念1.

二、簡諧振動的幾個例子1.

彈簧振子

如圖示：彈簧自由伸展時，滑塊的位置為原點(diǎn)（即平衡位置），x表示位移：由牛頓第二定律：令，可得到如下二階常系數(shù)齊次線性方程：（1）61二、簡諧振動的幾個例子1.

彈簧振子如圖示：彈簧總結(jié)：如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的動力學(xué)方程可歸結(jié)為：的形式，且其中決定于振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)。⑴式的形式就是簡諧振動的動力學(xué)方程式。（1）彈簧振子作簡諧振動的動力學(xué)方程。62總結(jié)：如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的動力學(xué)方程可歸結(jié)為：的形式2.單擺

建立自然坐標(biāo)系：若很小，則近似：,則：因此，（2）上式即為單擺簡諧振動的動力學(xué)方程632.單擺建立自然坐標(biāo)系：若很小，則近似：3.

復(fù)擺（物理擺）

任何物體懸掛后所做的擺動叫復(fù)擺。如圖示：一剛體懸掛于O點(diǎn)，剛體的質(zhì)心C距剛體的懸掛點(diǎn)O之間的距離是a。選角增加的方向?yàn)檎较?，即：z軸垂直紙面向外，，很小時：，故：因此，643.

復(fù)擺（物理擺）任何物體懸掛后所做的擺動叫復(fù)擺。4.

L-C振蕩回路（詳見《電磁學(xué)》）

總結(jié)：任何物理量（例：長度，角度，電量等）的變化規(guī)律滿足方程⑴式，且常量決定于系統(tǒng)本身的性質(zhì)，則該物理量作簡諧振動。判斷：是否簡諧振動，看是否滿足簡諧振動的動力學(xué)方程式⑴。654.

L-C振蕩回路（詳見《電磁學(xué)》）總結(jié)：§9.2簡諧振動的運(yùn)動學(xué)

一、簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程方程的解為：（1）

上式就是簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程，該式又是周期函數(shù)，故簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動。66§9.2簡諧振動的運(yùn)動學(xué)一、簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程方程二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用的時間：對彈簧振子：2.

頻率（）單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)：的含義：個單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)，即圓頻率。67二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用3.振幅定義：物體離開平衡位置的最大位移。振幅可以由初始條件決定。如：t=0時刻，由⑴式可得：因此，（2）683.振幅定義：物體離開平衡位置的最大位移。振幅可以由4.

位相和初位相振動系統(tǒng)的狀態(tài)指：任意瞬時的位移和速度。但僅知振幅頻率還不夠，還須知道才能完全決定系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)。叫簡諧振動的相位。當(dāng) 時，叫初相位。由：可得：（3）694.

位相和初位相振動系統(tǒng)的狀態(tài)指：任意瞬時的位移和速度若已知初始條件：t=0時，，則⑶式有：⑷、⑸式中的任意二個即可確定初位相。（4）（5）70若已知初始條件：t=0時，，則相位差：兩振動相位之差。討論：（1）若是的整數(shù)倍，則振動同相位；（2）若是的奇數(shù)倍，則振動相位相反；（3）若，則稱超前；（4）若，則稱落后；相位差的不同，表明二振動有不同程度的參差錯落，振動步調(diào)不同。71相位差：兩振動相位之差。討論：（1）若例1

一彈簧振子，t＝0時，求振動的初位相。解：因此，在第一象限，72例1一彈簧振子，t＝0時，求振動的初位相例2討論振動的位移，速度和加速度之間的關(guān)系。解：設(shè)：則，所以：速度的位相比位移的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比位移的位相超前。理解：加速度對時間的積累才獲得速度，速度對時間的積累獲得位移。73例2討論振動的位移，速度和加速度之間的關(guān)系。解：設(shè)：則，總結(jié)：

⑴簡諧振動是周期性運(yùn)動；⑵簡諧振動各瞬時的運(yùn)動狀態(tài)由振幅A、頻率及初相位決定，或者說，由振幅和相位決定。⑶簡諧振動的頻率是由振動系統(tǒng)本身固有性質(zhì)決定的，而振幅和初相位不僅決定于系統(tǒng)本身性質(zhì)，而且取決于初始條件。三、簡諧振動的圖象：x-t圖線

描述：質(zhì)點(diǎn)在各個時刻的偏離平衡位置的位移。中學(xué)里經(jīng)常作正弦、余弦函數(shù)的圖象，故不再多講。74總結(jié)：⑴簡諧振動是周期性運(yùn)動；⑵簡諧振動各瞬時的運(yùn)動四、簡諧振動的矢量表示法用旋轉(zhuǎn)矢量的投影表示簡諧振動。如圖示：為一長度不變的矢量，的始點(diǎn)在坐標(biāo)軸的原點(diǎn)處，記時起點(diǎn)t=0時，矢量與坐標(biāo)軸的夾角為，矢量以角速度逆時針勻速轉(zhuǎn)動。75四、簡諧振動的矢量表示法用旋轉(zhuǎn)矢量的投影表示簡諧振動。由此可見：⑴勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影即表示一特定的簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程。⑵矢端的速度大小為，在x軸上的投影為：⑶矢端沿圓周運(yùn)動的加速度即向心加速度的大小為：，在x軸上的投影：76由此可見：⑴勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影即表示一特定的總結(jié)：

旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)沿圓周運(yùn)動的速度和加速度在坐標(biāo)軸上的投影等于特定的簡諧振動的位移、速度和加速度。因此，用旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影描述簡諧振動的方法叫簡諧振動的矢量表示法。77總結(jié)：旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)沿圓周運(yùn)動的速度和加速

例1（1）一簡諧振動的運(yùn)動規(guī)律為，若計時起點(diǎn)提前0.5s，其運(yùn)動學(xué)方程如何表示？欲使其初相為零，計時起點(diǎn)應(yīng)提前或推遲若干？（2）一簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程為，若計時起點(diǎn)推遲1s，它的初相是多少？欲使其初相為零，應(yīng)怎樣調(diào)整計時起點(diǎn)？（3）畫出上面兩中簡諧振動在計時起點(diǎn)改變前后t=0時的旋轉(zhuǎn)矢量的位置。78例1（1）一簡諧振動的運(yùn)動規(guī)律為，792080218122§9.3簡諧振動的能量轉(zhuǎn)換

簡諧振動系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒由彈簧振子系統(tǒng)：因此，故，彈簧振子的總能為：由此可見：動能和勢能互相轉(zhuǎn)化。82§9.3簡諧振動的能量轉(zhuǎn)換簡諧振動系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒由彈例若單擺的振幅為，試證明懸線所受的最大拉力等于83例若單擺的振幅為，試證明懸線所受的最大拉力等于248425§9.4簡諧振動的合成

一、同方向同頻率簡諧振動的合成設(shè)質(zhì)點(diǎn)參與同方向同頻率的兩個簡諧振動：合位移：令：85§9.4簡諧振動的合成一、同方向同頻率簡諧振動的合成設(shè)質(zhì)則：因此，（1）⑴式表明：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成后仍為一簡諧振動，其頻率和分振動頻率相同。或者：由簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法表示：、以頻率旋轉(zhuǎn)，、之間的夾角不變，也以旋轉(zhuǎn)，平行四邊形的形狀不變。

86則：因此，（1）⑴式表明：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成討論：

（1）若相位差，即同相位，則：，振幅最大；（2）若相位差，即反相位，則：，振幅最?。唬?）一般情況下，振幅A介于與之間。同方向同頻率簡諧振動的原理，在光波、聲波等的干涉和衍射中很有用。87討論：（1）若相位差，即同相位，則二、同方向不同頻率簡諧振動的合成若：兩振動的周期之比：，n，m有最小公倍數(shù)，則：二振動合成后仍有周期，但不是簡諧振動，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知。若：周期之比不是整數(shù)比（如：無理數(shù)之比)，則合振動沒有周期性。為了簡單方便，設(shè)：則：（2）88二、同方向不同頻率簡諧振動的合成若：兩振動的周期之比：假如：則：的周期遠(yuǎn)大于的周期。令：則⑵式就成為：（3）89假如：則：的周期遠(yuǎn)大于的周期。令：（3）⑶式可以看作：振幅按照緩慢變化的，而圓頻率等于的準(zhǔn)簡諧振動。即：振幅有周期變化的簡諧振動。平均圓頻率

令：調(diào)制圓頻率

⑶式就成為：（3）’90（3）⑶式可以看作：振幅按照緩慢變化的，而圓頻率等（3）（3）式即：合振動為圓頻率等于平均圓頻率的“簡諧振動”，其振幅作緩慢的周期變化。

拍：振動方向相同，頻率之和遠(yuǎn)大于頻率之差的兩個簡諧振動合成時，合振動振幅周期變化的現(xiàn)象叫拍。合振動變化一個周期叫一拍；單位時間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)叫拍頻。不論達(dá)到正的最大或負(fù)的最大，對加強(qiáng)振幅來說，都是等效的，因此拍的圓頻率為：91（3）（3）式即：合振動為圓頻率等于平均圓頻率的“簡諧振因此，拍頻為：

問題：若二分振動的振幅不同，但初位相仍都為零，則合振動仍會形成拍嗎？？注意！拍（合振動振幅周期變化的現(xiàn)象）形成的條件：

振動方向相同，頻率之和遠(yuǎn)大于頻率之差的兩個簡諧振動合成，都可形成拍！92因此，拍頻為：問題：若二分振動的振幅不同，但初位相仍三、互相垂直相同頻率簡諧振動的合成二分振動方程如下：（4）合成的振動表示：質(zhì)點(diǎn)既沿x軸運(yùn)動，又沿y軸運(yùn)動，實(shí)際上在平面上運(yùn)動。⑷式中消去時間t，得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡：（5）此為一橢圓的軌跡方程，橢圓的形狀大小及長短軸方位由振幅和以及初位相差所決定。93三、互相垂直相同頻率簡諧振動的合成二分振動方程如下：討論：1.分振動相位相同或相反時①

相位相同，即：或。則⑸式成為：（6）94討論：1.分振動相位相同或相反時①

相位相同，即：則⑹式即為：合振動的軌跡為過原點(diǎn)且在一、三象限的直線。合振動任意一點(diǎn)的位移r為：上式表明合振動也是簡諧振動，與分振動頻率相同，但振幅為②相位相反，即：，k為奇數(shù)（7）則⑸式成為：95則⑹式即為：合振動的軌跡為過原點(diǎn)且在一、三象限的直線。合則⑺式即為：合振動的軌跡為過原點(diǎn)，且在二、四象限的直線。合振動任一點(diǎn)的位移為：上式表明：合振動也是簡諧振動，與分振動頻率相同。96則⑺式即為：合振動的軌跡為過原點(diǎn)，且在二、四象限的直線。2.

相位差為時，則⑻式表明：合振動的軌跡為以x和y軸為軸的橢圓。若，即x方向的振動比y方向的振動超前，即：⑸式變?yōu)椋海?）如某一瞬間，，則：。經(jīng)過很短的時間后，略大于0，y將略小于為正，而大于，x為負(fù)，故質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到第二象限，即質(zhì)點(diǎn)沿橢圓逆時針方向運(yùn)動。972.

相位差為時，則⑻式3.

振幅相等，頻率相同，相位差為時合振動的軌跡為一圓周運(yùn)動：總之：兩振動方向垂直、頻率相同的簡諧振動，合振動的軌跡為直線、圓或橢圓，軌跡的形狀和運(yùn)動方向由分振動的振幅和相位差決定。983.

振幅相等，頻率相同，相位差為時合振動的四、互相垂直、不同頻率簡諧振動的合成利薩如圖形一般來說，互相垂直的分振動頻率不同的條件下，合振動的軌跡不能形成穩(wěn)定的圖案。但如果分振動的頻率成整數(shù)比，則合振動的軌跡為穩(wěn)定的曲線，曲線的花樣和分振動的頻率比、初位相有關(guān)，得出的圖形叫利薩如圖。

利薩如圖形的應(yīng)用：利用利薩如圖形的花樣判斷二分振動的頻率比，再由已知頻率測量未知頻率。99四、互相垂直、不同頻率簡諧振動的合成利薩如圖形一般來說不同頻率比例的利薩如圖形1:11:11:24:34:38:69:78:6(方波)7:4利薩如圖形的演示及繪制100不同頻率比例的利薩如圖形1:11:11:2

例

彈簧下面懸掛物體，不計彈簧質(zhì)量和阻力，證明在平衡位置附近的振動是簡諧振動。

解：以彈簧和物塊靜止時的位置為原點(diǎn)O，此時彈簧的伸長長度為，設(shè)物塊處于任一位置x時：101例彈簧下面懸掛物體，不計彈簧質(zhì)量和阻力，證明在平衡位置§9.6阻尼振動

振動系統(tǒng)因受阻力而作振幅減小的運(yùn)動叫阻尼振動。一、阻尼振動的動力學(xué)方程假設(shè)：振動速度較小時，摩擦力正比于質(zhì)點(diǎn)的速率。即：對物塊應(yīng)用牛頓第二定律：令：則：（1）為二階線性常系數(shù)齊次方程，即阻尼振動的動力學(xué)方程。102§9.6阻尼振動振動系統(tǒng)因受阻力而作振幅減小的運(yùn)動叫阻尼二、阻尼振動方程的解上述⑴式方程的特征根：即：（說明振動變慢，由于阻力作用）解為：（2）

1.欠阻尼時103二、阻尼振動方程的解上述⑴式方程的特征根：即：（說明振幅為隨時間的推移，呈指數(shù)遞減，越大，振動衰減越快；越小，振幅衰減越慢。表示阻尼大小的標(biāo)志，稱對數(shù)減縮，即經(jīng)過一個周期后，振幅的衰減系數(shù)。定義：104振幅為隨時間的推移，呈指數(shù)遞減，越大，振動2.

過阻尼狀態(tài)即：，則方程的解為：（3）其中：由初始條件決定。隨時間的推移，質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)單調(diào)地趨于零。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動是非周期的，甚至不是往復(fù)的。將質(zhì)點(diǎn)移開平衡位置后釋放，質(zhì)點(diǎn)便慢慢回到平衡位置停下來，即過阻尼狀態(tài)。1052.

過阻尼狀態(tài)即：，則方程的解為：（3）其中：3.

臨界阻尼狀態(tài)

即：，則方程的解為：（4）其中：由初始條件決定。應(yīng)用：例如：天平的指針最好處于臨界阻尼狀態(tài)。（理想）電流表、電壓表的指針最好處于臨界阻尼狀態(tài)，有時處于欠阻尼狀態(tài)。此種狀態(tài)，質(zhì)點(diǎn)仍不往復(fù)運(yùn)動。由于阻力較前者小，質(zhì)點(diǎn)移開平衡位置釋放后，質(zhì)點(diǎn)很快回到平衡位置并停下來。如圖示。1063.

臨界阻尼狀態(tài)即：，則方程的解為：（4）其中：某阻尼振動的振幅經(jīng)過一周期后減為原來的1/3，問震動頻率比震動系統(tǒng)的固有頻率少幾分之幾？（弱阻尼狀態(tài)）例題107某阻尼振動的振幅經(jīng)過一周期后減為原來的1/3，問震動頻§9.7受迫振動振動系統(tǒng)在連續(xù)的周期性外力作用下進(jìn)行的振動叫受迫振動。一、受迫